9.3.2　向量的坐标表示、向量线性运算的坐标表示 讲义 （word版含解析）

9．3.2　向量坐标表示与运算
向量的坐标表示、向量线性运算的坐标表示
学习指导 核心素养
1.理解向量坐标表示的意义．2.掌握两个向量的和、差及向量数乘的坐标运算法则．3.理解坐标表示的平面向量共线的条件，并会解决向量共线问题． 1.数学抽象、直观想象：向量的坐标表示．2.数学运算：向量线性运算的坐标表示．
1．向量的坐标表示
如图1，在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对有序实数(x，y)，使得a＝xi＋yj.
我们把有序实数对(x，y)称为向量a的(直角)坐标，记作a＝(x，y).
如图2，作＝a，即有＝xi＋yj，则的坐标(x，y)就是终点A的坐标；反过来，点A的坐标(x，y)就是向量的坐标．
由向量坐标的定义知，两向量相等的充要条件是它们的横、纵坐标对应相等，即a＝b x1＝x2且y1＝y2，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).
2．平面向量的坐标运算
(1)已知向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)和实数λ，那么
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)；
a－b＝(x1－x2，y1－y2)；
λa＝(λx1，λy1)．
(2)一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标．
“若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x1－x2，y1－y2)”对吗？
提示：不对，应该用终点坐标减去始点坐标．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)点的坐标与向量的坐标相同．(　　)
(2)零向量的坐标是(0，0).(　　)
(3)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同.(　　)
(4)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
2．(2021·江苏泰州市泰州中学高一月考)若向量＝(2，3)，＝(－4，－7)，则＝(　　)
A．(－2，－4)　 B．(2，4)
C．(6，10) D．(－6，－10)
解析：选A．＝＋＝(2，3)＋(－4，－7)＝(－2，－4).故选A．
3．已知两点A(4，1)，B(7，－3)，则与向量同向的单位向量是(　　)
A． B．
C． D．
解析：选A．因为与同向的单位向量为，
＝(7，－3)－(4，1)＝(3，－4)，
＝＝5，所以＝，故选A．
4．设i＝(1，0)，j＝(0，1)，a＝3i＋4j，b＝－i＋j，则a＋b与a－b的坐标分别为__________．
答案：(2，5)，(4，3)
探究点1　平面向量的坐标表示
已知O是坐标原点，点A在第一象限，||＝4，∠xOA＝60°.
(1)求向量的坐标；
(2)若B(，－1)，求的坐标．
【解】　(1)设点A(x，y)，则x＝||cos 60°＝4cos 60°＝2，y＝||sin 60°＝4sin 60°＝6，
即A(2，6)，所以＝(2，6).
(2)＝(2，6)－(，－1)＝(，7).
求点和向量坐标的常用方法
(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标．
(2)求一个向量的坐标时，可以首先求出这个向量的始点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标得到该向量的坐标．
已知长方形ABCD的长为4，宽为3，建立如图所示的平面直角坐标系，i是x轴上的单位向量，j是y轴上的单位向量，试求和的坐标．
解：由题图知，CB⊥x轴，CD⊥y轴，
因为AB＝4，AD＝3，所以＝4i＋3j，
所以＝(4，3).
因为＝＋＝－＋，
所以＝－4i＋3j，所以＝(－4，3).
探究点2　平面向量的坐标运算
(1)已知向量a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，若c满足3a－2b＋c＝0，则c＝(　　)
A．(－23，－12)　 B．(23，12)
C．(7，0) D．(－7，0)
(2)已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且＝3 ，＝2 ，求点M，N的坐标．
【解】　(1)选A．因为a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，且c满足3a－2b＋c＝0，所以c＝2b－3a＝2(－4，－3)－3(5，2)＝(－8－15，－6－6)＝(－23，－12).
(2)方法一：因为A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，
所以＝(－2，4)－(－3，－4)＝(1，8)，
＝(3，－1)－(－3，－4)＝(6，3).
因为＝3 ，＝2 ，
所以＝3(1，8)＝(3，24)，＝2(6，3)＝(12，6).
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
所以＝(x1＋3，y1＋4)＝(3，24)，
＝(x2＋3，y2＋4)＝(12，6)，
所以
解得
所以M(0，20)，N(9，2).
方法二：设O为坐标原点，则由＝3 ，＝2 ，
可得－＝3(－)，－＝2(－)，
所以＝3 －2 ，＝2 －.
所以＝3(－2，4)－2(－3，－4)＝(0，20)，
＝2(3，－1)－(－3，－4)＝(9，2).
所以M(0，20)，N(9，2).
平面向量坐标(线性)运算的方法
(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行．
(2)若已知有向线段两端点的坐标，则必须先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．
(3)向量的线性坐标运算可类比数的运算进行．　
1．已知A，B，C的坐标分别为(2，－4)，(0，6)，(－8，10)，则＋2＝____________，－＝____________．
解析：因为A(2，－4)，B(0，6)，C(－8，10)，
所以＝(－2，10)，＝(－8，4)，＝(－10，14)，
所以＋2＝(－18，18)，－＝(－3，－3).
答案：(－18，18)　(－3，－3)
2．已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．
解析：由题意得ma＋nb＝(2m，m)＋(n，－2n)＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，即解得m＝2，n＝5，所以m－n＝－3.
答案：－3
探究点3　向量坐标运算的综合应用
已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)，及＝＋t.
(1)t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？
(2)四边形OABP能为平行四边形吗？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
【解】　(1)＝＋t＝(1，2)＋t(3，3)＝(1＋3t，2＋3t).
若点P在x轴上，则2＋3t＝0，
所以t＝－.若点P在y轴上，则1＋3t＝0，
所以t＝－.若点P在第二象限，则
所以－＜t＜－.
(2)＝(1，2)，＝(3－3t，3－3t).若四边形OABP为平行四边形，则＝，所以该方程组无解．
故四边形OABP不能为平行四边形．
[变问法]若保持本例条件不变，问t为何值时，B为线段AP的中点？
解：由＝＋t，得＝t.
所以当t＝2时，＝2，B为线段AP的中点．
向量中含参数问题的求解策略
(1)向量的坐标含有两个量：横坐标和纵坐标，如果纵坐标或横坐标是一个变量，则表示向量的点的坐标的位置会随之改变．
(2)解答这类由参数决定点的位置的题目，关键是列出满足条件的含参数的方程(组)，解这个方程(组)，就能达到解题的目的．　
1．已知在平行四边形ABCD中，A(0，0)，B(5，0)，D(2，4)，对角线AC，BD相交于点M，则的坐标是(　　)
A． B．
C． D．
解析：选A．＝＝[(5，0)－(2，4)]＝(3，－4)＝.
2．已知在非平行四边形ABCD中，AB∥DC，且A，B，D三点的坐标分别为(0，0)，(2，0)，(1，1)，则顶点C的横坐标的取值范围是________．
解析：当ABCD为平行四边形时，
则＝＋＝(2，0)＋(1，1)＝(3，1)，
故满足题意的顶点C的横坐标的取值范围是(1，3)∪(3，＋∞).
答案：(1，3)∪(3，＋∞)
1．已知向量a＝(2，4)，b＝(－1，1)，则2a－b＝(　　)
A．(5，7)　　 B．(5，9)
C．(3，7) D．(3，9)
答案：A
2．在平行四边形ABCD中，A(1，2)，B(3，5)，＝(－1，2)，则＋＝(　　)
A．(－2，4) B．(4，6)
C．(－6，－2) D．(－1，9)
解析：选A．在平行四边形ABCD中，因为A(1，2)，B(3，5)，所以＝(2，3).又＝(－1，2)，所以＝＋＝(1，5)，＝－＝(－3，－1)，所以＋＝(－2，4).故选A．
3．已知A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，0)，D(x，y)，且＝2，则x＋y＝________．
解析：因为＝(－2，0)－(－1，－2)＝(－1，2)，＝(x，y)－(2，3)＝(x－2，y－3)，又2＝，即(2x－4，2y－6)＝(－1，2)，
所以解得
所以x＋y＝.
答案：
4．已知点B(1，0)是向量a的终点，向量b，c均以原点O为起点，且b＝(－3，4)，c＝(－1，1)，与a的关系为a＝3b－2c，求向量a的起点坐标．
解：a＝3b－2c＝3(－3，4)－2(－1，1)＝(－7，10)，
设a的起点为A(x，y)，则a＝＝(1－x，－y)，
所以所以
所以A(8，－10).
即a的起点坐标为(8，－10).
[A　基础达标]
1．设＝，＝，则＝(　　)
A．(4，1) B．(4，－1)
C．(－4，1) D．(－4，－1)
解析：选D．因为＝，＝，
所以＝＝[(－5，－1)－(3，1)]＝，故选D．
2．设向量a＝(1，2)，b＝(－3，5)，c＝(4，x)，若a＋b＝λc(λ∈R)，则λ＋x的值为(　　)
A．－ B．
C．－ D．
解析：选C．由已知，可得(1，2)＋(－3，5)＝λ(4，x)，所以解得所以λ＋x＝－，故选C．
3．已知向量a，b满足a－b＝，a＋2b＝，则b＝(　　)
A．(1，2) B．(1，－2)
C．(－1，2) D．(－1，－2)
解析：选C．两个向量相减得3b＝(－3，6)，所以b＝(－1，2).故选C．
4．(多选)在平面上的点A(2，1)，B(0，2)，C(－2，1)，O(0，0)，下面结论正确的是(　　)
A．－＝ B．＋＝
C．＝－2 D．＋2＝
解析：选BC．点A(2，1)，B(0，2)，C(－2，1)，O(0，0)
选项A中，＝，＝，＝，所以－≠，故错误；
选项B中，＝，＝，＝，所以＋＝成立，故正确；
选项C中，＝，＝，＝，所以＝－2成立，故正确；
选项D中，＝，＝，＝，所以＋2≠，故错误．故选BC．
5．已知A(－3，0)，B(0，2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，且∠AOC＝45°，设＝λ＋(1－λ)(λ∈R)，则λ的值为(　　)
A． B．
C． D．
解析：选C．如图所示，因为∠AOC＝45°，
所以设C(x，－x)，
则＝(x，－x).
又因为A(－3，0)，B(0，2)，
所以λ＋(1－λ)＝(－3λ，2－2λ)，
所以解得λ＝.
6．已知两点A，B，若点C使得＝－2，则点C的坐标为__________．
解析：设点C的坐标为，
因为A，B，所以＝，＝，
因为＝－2，即＝－2，
可得解得因此，点C的坐标为.
答案：
7．已知向量a＝(1，2)，b＝(－2，3)，c＝(4，1)，若用a和b表示c，则c＝________．
解析：设c＝xa＋yb，
则(x，2x)＋(－2y，3y)＝(x－2y，2x＋3y)＝(4，1).
故解得
所以c＝2a－b.
答案：2a－b
8．已知A(－1，2)，B(2，8).若＝，＝－，则的坐标为________．
解析：＝＝(3，6)＝(1，2)，
＝－＝－(3，6)＝(－2，－4)，
＝＋＝(－1，－2)，
所以＝(1，2).
答案：(1，2)
9．已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4).设＝a，＝b，＝c.
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n的值．
解：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8).
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42).
(2)因为mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，
所以解得
10．已知向量＝(4，3)，＝(－3，－1)，点A(－1，－2).
(1)求线段BD的中点M的坐标；
(2)若点P(2，y)满足＝λ(λ∈R)，求λ与y的值．
解：(1)设B(x1，y1)，
因为＝(4，3)，A(－1，－2)，
所以(x1＋1，y1＋2)＝(4，3).
所以
所以
所以B(3，1).
同理可得D(－4，－3).
设BD的中点M(x2，y2)，
则x2＝＝－，y2＝＝－1.
所以M.
(2)由＝(3，1)－(2，y)＝(1，1－y)，
＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)，
又＝λ(λ∈R)，
所以(1，1－y)＝λ(－7，－4)＝(－7λ，－4λ).
所以所以
[B　能力提升]
11．对于向量m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，定义m?n＝(x1x2，y1y2).已知a＝(2，－4)，且a＋b＝a?b，那么向量b＝(　　)
A． B．
C． D．
解析：选A．设b＝(x，y)，由新定义及a＋b＝a?b，可得(2＋x，y－4)＝(2x，－4y)，所以2＋x＝2x，y－4＝－4y，解得x＝2，y＝，所以向量b＝.
12．(多选)已知向量e1＝(－1，2)，e2＝(2，1)，若向量a＝λ1e1＋λ2e2，则可使λ1λ2<0成立的a可能是(　　)
A．(1，0) B．(0，1)
C．(－1，0) D．(0，－1)
解析：选AC．a＝λ1e1＋λ2e2＝(－λ1＋2λ2，2λ1＋λ2)，
若a＝(1，0)，则解得λ1＝－，λ2＝，λ1λ2<0，满足题意；
若a＝(0，1)，则解得λ1＝，λ2＝，λ1λ2>0，不满足题意；
因为向量(－1，0)与向量(1，0)共线，所以向量(－1，0)也满足题意．故选AC．
13．已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10).若点P满足＝＋λ(λ∈R)，则当点P在第一象限时，实数λ的取值范围是________．
解析：设点P的坐标为(x，y)，则＝(x－2，y－3)，＝(3，1)，＝(5，7).
所以＋λ＝(3＋5λ，1＋7λ).因为＝＋λ，所以(x－2，y－3)＝(3＋5λ，1＋7λ).
所以解得
要使点P在第一象限，只需，解得λ＞－，
所以实数λ的取值范围是.
答案：
14．设a＝(1－k，2)，b＝(－1，－k)，c＝(2－k，1)，k∈R.
(1)若k＝2且a＝xb＋yc，求x，y的值；
(2)若a＝xb＋yc成立，是否存在唯一的x，y满足上述条件？若存在，写出x，y的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)当k＝2时，a＝(－1，2)，b＝(－1，－2)，c＝(0，1)，
因为a＝xb＋yc，所以(－1，2)＝(－x，－2x)＋(0，y)＝(－x，－2x＋y)，
则解得x＝1，y＝4.
(2)不存在．理由如下：因为 a＝xb＋yc，
所以(1－k，2)＝(－x，－kx)＋(2y－ky，y)＝，
则得到x＝3－k，
当k＝1时，等式x＝3－k不成立，
所以x＝.
因为k∈R，所以x的值不唯一，即x，y的值不唯一，
即不存在唯一的x，y，使a＝xb＋yc成立．
[C　拓展探究]
15．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2).　
(1)若＋＋＝0，求的坐标；
(2)若＝m＋n(m，n∈R)，且点P在函数y＝x＋1的图象上，试求m－n的值．
解：(1)设点P的坐标为(x，y)，因为＋＋＝0，
又＋＋＝(1－x，1－y)＋(2－x，3－y)＋(3－x，2－y)＝(6－3x，6－3y).
所以解得
所以点P的坐标为(2，2)，
故＝(2，2).
(2)设点P的坐标为(x0，y0)，
因为A(1，1)，B(2，3)，C(3，2).
所以＝(2，3)－(1，1)＝(1，2)，
＝(3，2)－(1，1)＝(2，1).
因为＝m＋n，
所以(x0，y0)＝m(1，2)＋n(2，1)＝(m＋2n，2m＋n).
所以
两式相减得m－n＝y0－x0.
又因为点P在函数y＝x＋1的图象上，
所以y0－x0＝1，所以m－n＝1.