第9章平面向量 章末综合检测(九)（word含答案解析）

章末综合检测(九)
(时间：120分钟，满分：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设向量a，b均为单位向量，且|a＋b|＝1，则a与b的夹角θ为(　　)
A．　　 B．　　
C．　　 D．
2．在△ABC中，已知D是边AB上一点，若＝2，＝＋λ，则λ＝(　　)
A． B．
C． D．
3．设点A(－1，2)，B(2，3)，C(3，－1)，且＝2－3，则点D的坐标为(　　)
A．(2，16) B．(－2，－16)
C．(4，16) D．(2，0)
4．已知非零向量a，b满足＝，且⊥b，则a与b的夹角为(　　)
A． B．
C． D．
5．若四边形ABCD满足＋＝0，(－)·＝0，则该四边形一定是(　　)
A．正方形 B．矩形
C．菱形 D．直角梯形
6．在△ABC中，BC边上的中线AD的长为2，BC＝2，则·＝(　　)
A．1 B．2
C．－2 D．－1
7.如图，在△ABC中，∠BAC＝，＝2，P为CD上一点，且满足＝m＋，若AC＝3，AB＝4，则·的值为(　　)
A．－3 B．－
C． D．－
8．在△ABC中，若||＝1，||＝，|＋|＝||，则＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．对任意向量a，b，下列关系式中恒成立的是(　　)
A．|a·b|≤|a||b|
B．|a－b|≤||a|－|b||
C．(a＋b)2＝|a＋b|2
D．(a＋b)·(a－b)＝a2－b2
10．设向量a＝，b＝，则下列叙述错误的是(　　)
A．若k<－2时，则a与b的夹角为钝角
B．的最小值为2
C．与b共线的单位向量只有一个为
D．若＝2，则k＝2或－2
11．如图，“六芒星”是由两个全等正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行，点A，B是“六芒星”(如图)的两个顶点，动点P在“六芒星”上(内部以及边界)，若＝x＋y，则x＋y的取值可能是(　　)
A．－6 B．1
C．5 D．9
12．若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的值可能为(　　)
A．－1 B．1
C． D．2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知e1，e2是单位向量，m＝e1＋2e2，n＝5e1－4e2.若m⊥n，则e1与e2的夹角为________．
14．已知平面上四个互异的点A，B，C，D满足·＝0，则△ABC 的形状是____________．
15．已知＝(－1，1)，＝(0，－1)，＝(1，m)，若A，B，C三点共线，则实数m的值为____________，·的值为________．
16.在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝4，AC＝6，＝2，＝2，＝2，则·的值为__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)已知向量e1，e2，且|e1|＝|e2|＝1，〈e1，e2〉＝.
(1)求证：(2e1－e2)⊥e2；
(2)若m＝λe1＋e2，n＝3e1－2e2，且|m|＝|n|，求λ的值．
18．(本小题满分12分)已知在直角坐标系中(O为坐标原点)，＝，＝，＝.
(1)若A，B，C共线，求x的值；
(2)当x＝6时，直线OC上存在点M使⊥，求点M的坐标．
19．(本小题满分12分)在△ABC中，点D为边AB的中点．
(1)若CB＝4，CA＝3，求·；
(2)若·＝2·，试判断△ABC的形状．
20. (本小题满分12分)如图，已知正方形ABCD中，E，F分别是CD，AD的中点，BE，CF交于点P.求证：
(1)BE⊥CF；
(2)AP＝AB.
21．(本小题满分12分)如图，已知河水自西向东流速为＝1 m/s，设某人在静水中游泳的速度为v1，在流水中实际速度为v2.
(1)若此人朝正南方向游去，且|v1|＝ m/s，求他实际前进方向与水流方向的夹角α和v2的大小；
(2)若此人实际前进方向与水流方向垂直，且|v2|＝ m/s，求他游泳的方向与水流方向的夹角β和v1的大小．
22．(本小题满分12分)在平行四边形ABCD中，边AB＝2，AD＝1，∠ADC＝120°，若M，N分别是边BC，CD上的点，且满足＝＝k，k∈(0，1).
(1)当k＝时，若＝α＋β，求α＋β；
(2)试求·的取值范围．
章末综合检测(九)
(时间：120分钟，满分：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设向量a，b均为单位向量，且|a＋b|＝1，则a与b的夹角θ为(　　)
A．　　 B．　　
C．　　 D．
解析：选C．因为|a＋b|＝1，所以|a|2＋2a·b＋|b|2＝1.所以cos θ＝－.又θ∈[0，π]，所以θ＝.
2．在△ABC中，已知D是边AB上一点，若＝2，＝＋λ，则λ＝(　　)
A． B．
C． D．
解析：选B．由已知得＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，因此λ＝，故选B．
3．设点A(－1，2)，B(2，3)，C(3，－1)，且＝2－3，则点D的坐标为(　　)
A．(2，16) B．(－2，－16)
C．(4，16) D．(2，0)
解析：选A．设D(x，y)，由题意可知＝(x＋1，y－2)，＝(3，1)，＝(1，－4).所以2－3＝2(3，1)－3(1，－4)＝(3，14)，所以解得故选A．
4．已知非零向量a，b满足＝，且⊥b，则a与b的夹角为(　　)
A． B．
C． D．
解析：选B．因为⊥b，所以·b＝0，
即a·b－|b|2＝0 |a|·|b|cos 〈a，b〉－|b|2＝0，
又|a|＝|b|，所以|b|2cos 〈a，b〉－|b|2＝0，即cos 〈a，b〉＝.
又〈a，b〉∈，所以〈a，b〉＝.故选B．
5．若四边形ABCD满足＋＝0，(－)·＝0，则该四边形一定是(　　)
A．正方形 B．矩形
C．菱形 D．直角梯形
解析：选C．由＋＝0，即＝，可得四边形ABCD 为平行四边形，由(－)·＝0，即·＝0，可得⊥，所以四边形一定是菱形，故选C．
6．在△ABC中，BC边上的中线AD的长为2，BC＝2，则·＝(　　)
A．1 B．2
C．－2 D．－1
解析：选C．·＝(＋)·(＋)＝(＋)·(－)＝2－2＝4－6＝－2.
7.如图，在△ABC中，∠BAC＝，＝2，P为CD上一点，且满足＝m＋，若AC＝3，AB＝4，则·的值为(　　)
A．－3 B．－
C． D．－
解析：选C．因为＝m＋，＝2，
即＝且＝＋，
所以＝m＋，又C，P，D三点共线，有m＋＝1，即m＝，
即＝＋，而＝＋，
所以＝(＋)＋＝＋＝－，
所以·＝(＋)(－)＝2－·－2＝－2－＝，故选C．
8．在△ABC中，若||＝1，||＝，|＋|＝||，则＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
解析：选B．由向量的平行四边形法则，知当|＋|＝||时，∠A＝90°.又||＝1，||＝，故∠B＝60°，∠C＝30°，||＝2，所以＝＝－.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．对任意向量a，b，下列关系式中恒成立的是(　　)
A．|a·b|≤|a||b|
B．|a－b|≤||a|－|b||
C．(a＋b)2＝|a＋b|2
D．(a＋b)·(a－b)＝a2－b2
解析：选ACD．|a·b|＝|a||b|·|cos 〈a，b〉|≤|a|·|b|，故A正确；由向量的运算法则知C，D正确；当b＝－a≠0时，|a－b|>||a|－|b||，故B错误．故选ACD．
10．设向量a＝，b＝，则下列叙述错误的是(　　)
A．若k<－2时，则a与b的夹角为钝角
B．的最小值为2
C．与b共线的单位向量只有一个为
D．若＝2，则k＝2或－2
解析：选CD．对于A选项，若a与b的夹角为钝角，则a·b<0且a与b不共线，则
解得k<2且k≠－2，A选项中的命题正确；
对于B选项，|a|＝≥＝2，当且仅当k＝0时，等号成立，B选项中的命题正确；
对于C选项，|b|＝，与b共线的单位向量为±，即与b共线的单位向量为或，C选项中的命题错误；
对于D选项，因为|a|＝2|b|＝2，即＝2，解得k＝±2，D选项中的命题错误．
故选CD．
11．如图，“六芒星”是由两个全等正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行，点A，B是“六芒星”(如图)的两个顶点，动点P在“六芒星”上(内部以及边界)，若＝x＋y，则x＋y的取值可能是(　　)
A．－6 B．1
C．5 D．9
解析：选BC．如图所示，设＝a，＝b，求x＋y的最大值，只需考虑图中以O为起点，6个顶点为终点向量即可，讨论如下：
(1)因为＝a，所以(x，y)＝(1，0)；
(2)因为＝b，所以(x，y)＝(0，1)；
(3)因为＝＋＝a＋2b，所以(x，y)＝(1，2)；
(4)因为＝＋＝＋＝2－＝2a＋3b，所以(x，y)＝(2，3)；
(5)因为＝＋＝a＋b，所以(x，y)＝(1，1)；
(6)因为＝＋＝a＋3b，所以(x，y)＝(1，3)﹒所以x＋y的最大值为2＋3＝5﹒根据其对称性，可知x＋y的最小值为－5﹒故x＋y的取值范围是[－5，5]，观察选项，选项B、C均符合题意．故选BC．
12．若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的值可能为(　　)
A．－1 B．1
C． D．2
解析：选AB．|a＋b－c|2＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2a·b－2a·c－2b·c＝3－2(a·c＋b·c).
因为(a－c)·(b－c)＝a·b－a·c－b·c＋|c|2＝1－(a·c＋b·c)≤0，所以a·c＋b·c≥1，
所以|a＋b－c|2≤1，所以|a＋b－c|≤1.故选AB．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知e1，e2是单位向量，m＝e1＋2e2，n＝5e1－4e2.若m⊥n，则e1与e2的夹角为________．
解析：因为m⊥n，|e1|＝|e2|＝1，所以m·n＝(e1＋2e2)·(5e1－4e2)＝5e＋6e1·e2－8e＝－3＋6e1·e2＝0.所以e1·e2＝.设e1与e2的夹角为θ，则cos θ＝＝.因为θ∈[0，π]，所以θ＝.
答案：
14．已知平面上四个互异的点A，B，C，D满足·＝0，则△ABC 的形状是____________．
解析：2－－＝(＋)＋(＋)＝＋，由·＝0，即(－)·(＋)＝0，||＝||，可得△ABC的形状是等腰三角形．
答案：等腰三角形
15．已知＝(－1，1)，＝(0，－1)，＝(1，m)，若A，B，C三点共线，则实数m的值为____________，·的值为________．
解析：因为＝(－1，1)，＝(0，－1)，＝(1，m)，
所以＝－＝(1，－2)，
＝－＝(1，m＋1).
因为A，B，C三点共线，
所以∥，所以1×(m＋1)＝(－2)×1，
所以m＝－3，所以＝(1，－3).
所以＝－＝(－2，4)，
＝－＝(－1，2).
所以·＝(－2)×(－1)＋4×2＝10.
答案：－3　10
16.在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝4，AC＝6，＝2，＝2，＝2，则·的值为__________．
解析：由AB＝4，AC＝6，∠BAC＝60°，
即有·＝4×6×cos 60°＝24×＝12，则·＝(－)·(－)
＝·＝·(－)
＝2＋2－·＝×36＋×16－×12＝4.
答案：4
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)已知向量e1，e2，且|e1|＝|e2|＝1，〈e1，e2〉＝.
(1)求证：(2e1－e2)⊥e2；
(2)若m＝λe1＋e2，n＝3e1－2e2，且|m|＝|n|，求λ的值．
解：(1)证明：因为|e1|＝|e2|＝1，〈e1，e2〉＝，
所以(2e1－e2)·e2＝2e1·e2－e＝2|e1||e2|·cos －|e2|2＝2×1×1×－12＝0，所以(2e1－e2)⊥e2.
(2)由|m|＝|n|得(λe1＋e2)2＝(3e1－2e2)2，
即(λ2－9)e＋(2λ＋12)e1·e2－3e＝0.
因为|e1|＝|e2|＝1，〈e1，e2〉＝，
所以e＝e＝1，e1·e2＝1×1×cos ＝，
所以(λ2－9)×1＋(2λ＋12)×－3×1＝0，
即λ2＋λ－6＝0.所以λ＝2或λ＝－3.
18．(本小题满分12分)已知在直角坐标系中(O为坐标原点)，＝，＝，＝.
(1)若A，B，C共线，求x的值；
(2)当x＝6时，直线OC上存在点M使⊥，求点M的坐标．
解：(1)＝－＝，＝－＝
因为A，B，C共线，所以∥，
所以2＋4＝0，所以x＝.
(2)因为M在直线OC上，所以设＝λ＝，
所以＝－＝，＝－＝，
因为⊥，所以＋＝0，
即45λ2－48λ＋11＝0，解得λ＝或λ＝.
所以＝或＝.
所以点M的坐标为或.
19．(本小题满分12分)在△ABC中，点D为边AB的中点．
(1)若CB＝4，CA＝3，求·；
(2)若·＝2·，试判断△ABC的形状．
解：(1)因为·＝(－)·(＋)＝(2－2)＝ ＝.
(2)因为·＝2·，
所以·＝2·＝·(＋)＝2＋·(－)＝22－·，
所以2＝·，即·(－)＝·＝0，故△ABC为直角三角形．
20. (本小题满分12分)如图，已知正方形ABCD中，E，F分别是CD，AD的中点，BE，CF交于点P.求证：
(1)BE⊥CF；
(2)AP＝AB.
证明：如图建立平面直角坐标系，其中A为原点，不妨设AB＝2，
则A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，E(1，2)，F(0，1).
(1)＝－＝(1，2)－(2，0)＝(－1，2)，
＝－＝(0，1)－(2，2)＝(－2，－1)，
因为·＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0，
所以⊥，即BE⊥CF.
(2)设P(x，y)，则＝(x，y－1)，＝(－2，－1).
因为∥，所以－x＝－2(y－1)，即x＝2y－2.
同理由∥，得y＝－2x＋4，代入x＝2y－2，
解得x＝，所以y＝，即P.
所以||2＝2＋2＝4＝||2，
所以||＝||，即AP＝AB.
21．(本小题满分12分)如图，已知河水自西向东流速为＝1 m/s，设某人在静水中游泳的速度为v1，在流水中实际速度为v2.
(1)若此人朝正南方向游去，且|v1|＝ m/s，求他实际前进方向与水流方向的夹角α和v2的大小；
(2)若此人实际前进方向与水流方向垂直，且|v2|＝ m/s，求他游泳的方向与水流方向的夹角β和v1的大小．
解：如图，设＝v0，＝v1，＝v2，
则由题意知v2＝v0＋v1，＝1，
根据向量加法的平行四边形法则得四边形OACB为平行四边形．
(1)由此人朝正南方向游去得四边形OACB为矩形，且＝AC＝，如图所示，
则在Rt△OAC中，＝OC＝＝2，
tan ∠AOC＝＝，又α＝∠AOC∈，所以α＝.
(2)由题意知α＝∠OCB＝，且＝＝，BC＝1，如图所示，
则在Rt△OBC中，|v1|＝OB＝＝2，
tan ∠BOC＝＝，又∠BOC∈，所以∠BOC＝，则β＝＋＝.
22．(本小题满分12分)在平行四边形ABCD中，边AB＝2，AD＝1，∠ADC＝120°，若M，N分别是边BC，CD上的点，且满足＝＝k，k∈(0，1).
(1)当k＝时，若＝α＋β，求α＋β；
(2)试求·的取值范围．
解：(1)因为k＝，
所以＝＋，＝＋，＝＋，
所以＝＋，又因为＝α＋β，所以α＋β＝.
(2)如图所示，建立平面直角坐标系，
则A(0，0)，B(2，0)，C，D(，)，＝，＝(－2，0)，
因为＝＝k，k∈(0，1)，
则＝k＝，＝k＝(－2k，0)，
所以＝＋＝(2，0)＋＝，
＝＋＝＋(－2k，0)＝，
·＝＋k·＝－k2－2k＋5，
设f(k)＝·＝－k2－2k＋5，
f(k)在(0，1)上是减函数，f(1)所以·的取值范围是(2，5).