全等三角形证明辅助线作法--倍长中线问题

巧添辅助线——倍长中线
【夯实基础】
例：中，AD是的平分线，且BD=CD，求证AB=AC
方法1：作DE⊥AB于E，作DF⊥AC于F，证明二次全等
方法2：辅助线同上，利用面积
方法3：倍长中线AD
【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线
△ABC中 方式1： 延长AD到E，
AD是BC边中线 使DE=AD，
连接BE
方式2：间接倍长
作CF⊥AD于F， 延长MD到N，
作BE⊥AD的延长线于E 使DN=MD，
连接BE 连接CD
【经典例题】
例1：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围
提示：画出图形，倍长中线AD，利用三角形两边之和大于第三边
例2：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE
方法1：过D作DG∥AE交BC于G，证明ΔDGF≌ΔCEF
方法2：过E作EG∥AB交BC的延长线于G，证明ΔEFG≌ΔDFB
方法3：过D作DG⊥BC于G，过E作EH⊥BC的延长线于H
证明ΔBDG≌ΔECH
例3：已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF
提示：倍长AD至G，连接BG，证明ΔBDG≌ΔCDA
三角形BEG是等腰三角形
例4：已知：如图，在中，，D、E在BC上，且DE=EC，过D作交AE于点F，DF=AC.
求证：AE平分
提示：
方法1：倍长AE至G，连结DG
方法2：倍长FE至H，连结CH
例5：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAE
提示：倍长AE至F，连结DF
证明ΔABE≌ΔFDE（SAS）
进而证明ΔADF≌ΔADC（SAS）
【融会贯通】
1、在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F。试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论
提示：延长AE、DF交于G
证明AB=GC、AF=GF
所以AB=AF+FC
2、如图，AD为的中线，DE平分交AB于E，DF平分交AC于F. 求证：
提示：
方法1：在DA上截取DG=BD，连结EG、FG
证明ΔBDE≌ΔGDE ΔDCF≌ΔDGF
所以BE=EG、CF=FG
利用三角形两边之和大于第三边
方法2：倍长ED至H，连结CH、FH
证明FH=EF、CH=BE
利用三角形两边之和大于第三边
3、已知：如图，ABC中，C=90，CMAB于M，AT平分BAC交CM于D，交BC于T，过D作DE//AB交BC于E，求证：CT=BE.
提示：过T作TN⊥AB于N
证明ΔBTN≌ΔECD