近五年（2018—2022）数学高考真题分类汇编08：三角函数与解三角形（含解析）

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八：三角函数与解三角形
一：选择题
1.（2022·全国甲（文）T5）将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
2.（2022·全国甲（理）T11）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
3.（2022·全国乙（文）T11） 函数在区间的最小值、最大值分别为（ ）
A. B. C. D.
4.（2022·新高考Ⅰ卷T6） 记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（ ）
A. 1 B. C. D. 3
5.（2022·北京卷T5） 已知函数，则（ ）
A. 在上单调递减 B. 在上单调递增
C. 在上单调递减 D. 在上单调递增
6.（2022·北京卷T10） 在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7.（2022·浙江卷T6） 为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ）
A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度
8.（2022·新高考Ⅱ卷T6） 角满足，则（ ）
A. B.
C. D.
9.（2022·新高考Ⅱ卷T9）函数的图象以中心对称，则（ ）
A. 在单调递减
B. 在有2个极值点
C. 直线是一条对称轴
D. 直线是一条切线
10．（2021·全国）若，则（ ）
A． B． C． D．
11．（2021·全国（文））函数的最小正周期和最大值分别是（ ）
A．和 B．和2 C．和 D．和2
12．（2021·浙江）已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
13．（2021·全国（文））在中，已知，，，则（ ）
A．1 B． C． D．3
14．（2021·全国（理））2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（ ）
A．346 B．373 C．446 D．473
15．（2021·全国（文））若，则（ ）
A． B． C． D．
16．（2021·全国（理））已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
17．（2021·全国（理））魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高（ ）
A．表高 B．表高
C．表距 D．表距
18．（2021·全国（理））把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）
A． B．
C． D．
19．（2021·全国（文））（ ）
A． B． C． D．
20．（2020·天津）已知函数．给出下列结论：
①的最小正周期为；②是的最大值；
③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．① B．①③ C．②③ D．①②③
21．（2020·北京）2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（ Day）．历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数充分大时，计算单位圆的内接正边形的周长和外切正边形（各边均与圆相切的正边形）的周长，将它们的算术平均数作为的近似值．按照阿尔·卡西的方法，的近似值的表达式是（ ）．
A． B．
C． D．
22．（2020·全国（文））已知，则（ ）
A． B． C． D．
23．（2020·全国（理））设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（ ）
A． B．
C． D．
24．（2019·北京（文））如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为
A．4β+4cosβ B．4β+4sinβ C．2β+2cosβ D．2β+2sinβ
25．（2019·天津（文））已知函数是奇函数，将的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为.若的最小正周期为，且，则
A． B． C． D．
26．（2019·全国（理））设函数=sin（）(＞0)，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论：
①在（）有且仅有3个极大值点
②在（）有且仅有2个极小值点
③在（）单调递增
④的取值范围是[)
其中所有正确结论的编号是
A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④
27．（2019·全国（文））若x1=，x2=是函数f(x)=(>0)两个相邻的极值点，则=
A．2 B．
C．1 D．
28．（2019·全国（文））△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，cosA=－，则=
A．6 B．5 C．4 D．3
29．（2019·全国（文））函数f(x)=在[—π，π]的图像大致为
A． B．
C． D．
30．（2018·北京（文））在平面直角坐标系中，是圆上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角以O 为始边，OP为终边，若，则P所在的圆弧是
A． B．
C． D．
31．（2018·全国（理））的内角的对边分别为，，，若的面积为，则
A． B． C． D．
32．（2018·全国（文））函数的最小正周期为
A． B． C． D．
33．（2018·全国（文））已知函数，则
A．的最小正周期为，最大值为
B．的最小正周期为，最大值为
C．的最小正周期为，最大值为
D．的最小正周期为，最大值为
34．（2018·全国（文））若在是减函数，则的最大值是
A． B． C． D．
35．（2018·全国（文））已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则
A． B． C． D．
36．（2020·海南）下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （ ）
B． C． D．
二：填空题
37（2022·全国甲（文）T16）. 已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________．
38.（2022·全国甲（理）T16）已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________．
39.（2022·全国乙（理）T15） 记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为____________．
40.（2022·北京卷T13） 若函数的一个零点为，则________；________．
41.（2022·浙江卷T11） 我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边，则该三角形的面积___________．
42.（2022·浙江卷T13） 若，则__________，_________．
43．（2021·全国（文））已知函数的部分图像如图所示，则_______________.
44．（2021·全国（理））已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为________．
45．（2020·北京）若函数的最大值为2，则常数的一个取值为________．
46．（2020·江苏）在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是________．
47．（2020·江苏）将函数y=的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是____.
48．（2020·全国（理））如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB=______________.
49．（2019·江苏）已知，则的值是_____.
50．（2018·江苏）在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．
51．（2018·江苏）已知函数的图象关于直线对称，则的值是________．
52．（2018·北京（理））设函数，若对任意的实数都成立，则的最小值为__________．
53．（2018·全国（文））△的内角的对边分别为，已知，，则△的面积为________．
54．（2021·浙江）在中，，M是的中点，，则___________，___________.
55．（2018·北京（文））若的面积为,且∠C为钝角，则∠B=_________；的取值范围是_________.
三：解答题
56.（2022·全国乙（文）T17）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．
（1）若，求C；
（2）证明：
57.（2022·全国乙（理）T17）记的内角的对边分别为，已知．
（1）证明：；
（2）若，求的周长．
58.（2022·新高考Ⅰ卷T18）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）若，求B；
（2）求的最小值．
59.（2022·新高考Ⅱ卷T18） 记的三个内角分别为A，B，C，其对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．
（1）求的面积；
（2）若，求b．
60.（2022·北京卷T16）在中，．
（1）求；
（2）若，且的面积为，求的周长．
61.（2022·浙江卷T18） 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
（1）求的值；
（2）若，求的面积．
62．（2021·全国）记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.
（1）证明：；
（2）若，求.
63．（2021·浙江）设函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在上的最大值.
64．（2020·天津）在中，角所对的边分别为．已知 ．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）求的值；
（Ⅲ）求的值．
65．（2020·北京）在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
（Ⅰ）a的值：
（Ⅱ）和的面积．
条件①：；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
66．（2020·浙江）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（I）求角B的大小；
（II）求cosA+cosB+cosC的取值范围．
67．（2020·海南）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
68．（2020·江苏）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求的值；
（2）在边BC上取一点D，使得，求的值．
69．（2020·全国（文））的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=150°.
（1）若a=c，b=2，求的面积；
（2）若sinA+sinC=，求C.
70．（2020·全国（理））中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．
（1）求A；
（2）若BC=3，求周长的最大值.
71．（2020·全国（文））△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求A；
（2）若，证明：△ABC是直角三角形．
72．（2019·江苏）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．
（1）若a=3c，b=，cosB=，求c的值；
（2）若，求的值．
73．（2019·天津（文）） 在中，内角所对的边分别为.已知，.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值.
74．（2019·北京（理））在△ABC中，a=3，b c=2，cosB=．
（Ⅰ）求b，c的值；
（Ⅱ）求sin（B–C）的值．
75．（2019·全国（理））的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．
（1）求A；
（2）若，求sinC．
76．（2019·全国（理））的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
77．（2019·上海）已知等差数列的公差，数列满足，集合.
（1）若，求集合；
（2）若，求使得集合恰好有两个元素；
（3）若集合恰好有三个元素：，是不超过7的正整数，求的所有可能的值.
78．（2018·上海）设常数，函数．
（1）若为偶函数，求的值；
（2）若，求方程在区间上的解．
79．（2018·北京（文））已知函数.
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）若在区间上的最大值为，求的最小值.
80．（2018·浙江）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（）．
（Ⅰ）求sin（α+π）的值；
（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．
81．（2018·天津（理））在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.
（1）求角B的大小；
（2）设a=2，c=3，求b和的值.
八：参考答案
1.C
【解析】由题意知：曲线为，又关于轴对称，则，
解得，又，故当时，的最小值为.故选：C.
2.C
【解析】解：依题意可得，因为，所以，
要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示：
则，解得，即．
3.D
【解析】【详解】，
所以在区间和上，即单调递增；
在区间上，即单调递减，
又，，，
所以在区间上的最小值为，最大值为.故选：D
4.A
【解析】由函数的最小正周期T满足，得，解得，
又因为函数图象关于点对称，所以，且，
所以，所以，，
所以.故选：A
5.C
【解析】因为.
对于A选项，当时，，则在上单调递增，A错；
对于B选项，当时，，则在上不单调，B错；
对于C选项，当时，，则在上单调递减，C对；
对于D选项，当时，，则在上不单调，D错.
故选：C.
6.D
【解析】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，
因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，
设，，
所以，，
所以
，其中，，
因为，所以，即；
故选：D
7.D
【解析】因为，所以把函数图象上的所有点向右平移个单位长度即可得到函数的图象．故选：D.
8.D
【解析】由已知得：,
即：，
即：,
所以,
故选：D
9 .AD
【解析】由题意得：，所以，，
即，
又，所以时，，故．
对A，当时，，由正弦函数图象知在上是单调递减；
对B，当时，，由正弦函数图象知只有1个极值点，由，解得，即为函数的唯一极值点；
对C，当时，，，直线不是对称轴；
对D，由得：，
解得或,
从而得：或,
所以函数在点处的切线斜率为，
切线方程为：即．
故选：AD．
10．C
【解析】
将式子进行齐次化处理得：
．
故选：C．
11．C
【解析】
由题，，所以的最小正周期为，最大值为.
故选：C．
12．C
【解析】
法1：由基本不等式有，
同理，，
故，
故不可能均大于.
取，，，
则，
故三式中大于的个数的最大值为2，
故选：C.
法2：不妨设，则，
由排列不等式可得：
，
而，
故不可能均大于.
取，，，
则，
故三式中大于的个数的最大值为2，
故选：C.
13．D
【解析】
设，
结合余弦定理：可得：，
即：，解得：（舍去），
故.
故选：D.
14．B
【解析】
过作，过作，
故，
由题，易知为等腰直角三角形，所以．
所以．
因为，所以
在中，由正弦定理得：
，
而，
所以，
所以．
故选：B．
15．A
【解析】
，
，，，解得，
，.
故选：A.
16．A
【解析】
因为，由双曲线的定义可得，
所以，；
因为,由余弦定理可得，
整理可得，所以，即.
故选：A
17．A
【解析】
如图所示：
由平面相似可知，，而，所以
，而，
即＝．故选：A.
18．B
【解析】
解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象，
根据已知得到了函数的图象，所以，
令,则,
所以,所以；
解法二：由已知的函数逆向变换，
第一步：向左平移个单位长度，得到的图象，
第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，
即为的图象，所以.故选：B.
19．D
【解析】
由题意，.故选：D.
20．B
【解析】
因为，所以周期，故①正确；
，故②不正确；
将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象，
故③正确.
故选：B.
21．A
【解析】
单位圆内接正边形的每条边所对应的圆心角为，每条边长为 ，
所以，单位圆的内接正边形的周长为，
单位圆的外切正边形的每条边长为，其周长为，
，
则.故选：A.
22．B
【解析】
由题意可得：，
则：，，
从而有：，即.
故选：B.
23．C
【解析】
由图可得：函数图象过点，
将它代入函数可得：
又是函数图象与轴负半轴的第一个交点，
所以，解得：
所以函数的最小正周期为
故选：C
24．B
【解析】
观察图象可知，当P为弧AB的中点时，阴影部分的面积S取最大值，
此时∠BOP=∠AOP=π-β, 面积S的最大值为+S△POB+ S△POA=4β+
.
故选B.
25．C
【解析】
因为为奇函数，∴；
又
，，又
∴，
故选C．
26．D
【解析】当时，，
∵f（x）在有且仅有5个零点，∴，
∴，故④正确，
由，知时，
令时取得极大值，①正确；
极小值点不确定，可能是2个也可能是3个，②不正确；
因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案，
当时，，
若f（x）在单调递增，则 ，即 ，
∵，故③正确．
故选D．
27．A
【解析】
由题意知，的周期，得．故选A．
28．A
【解析】
解析：由已知及正弦定理可得，由余弦定理推论可得
，故选A．
29．D
【解析】
由，得是奇函数，其图象关于原点对称．又．故选D．
30．C
【解析】
分析：逐个分析A、B、C、D四个选项，利用三角函数的三角函数线可得正确结论.
解析：由下图可得：有向线段为余弦线，有向线段为正弦线，有向线段为正切线.
A选项：当点在上时，，
，故A选项错误；
B选项：当点在上时，，，
，故B选项错误；
C选项：当点在上时，，，
，故C选项正确；
D选项：点在上且在第三象限，，故D选项错误.
综上，故选C.
小结：此题考查三角函数的定义，解题的关键是能够利用数形结合思想，作出图形，找到所对应的三角函数线进行比较.
31．C
【解析】
分析：利用面积公式和余弦定理进行计算可得．
解析：由题可知
所以
由余弦定理
所以
故选C.
32．C
【解析】
分析:将函数进行化简即可
解析：由已知得
的最小正周期
故选C.
33．B
【解析】
根据题意有，
所以函数的最小正周期为，
且最大值为，故选B.
34．A
【解析】
分析：先确定三角函数单调减区间，再根据集合包含关系确定的最大值.
解析：因为，
所以由得
因此，从而的最大值为，选A.
小结：函数的性质：
(1). (2)周期 (3)由 求对称轴， (4)由求增区间；
由求减区间.
35．B
【解析】
由三点共线，从而得到，
因为，
解得，即，
所以，故选B.
36．BC
【解析】
由函数图像可知：，则，所以不选A,
当时，，
解得：，
即函数的解析式为：
.
而
故选：BC.
二：填空题
37.或
【解析】设，
则在中，，
在中，，
所以
，
当且仅当即时，等号成立，
所以当取最小值时，.
故答案为：.
38.或
【解析】
【详解】设，
则在中，，
在中，，
所以
，
当且仅当即时，等号成立，
所以当取最小值时，.
故答案为：.
39 .
【解析】解： 因为，（，）
所以最小正周期，因为，
又，所以，即，
又为的零点，所以，解得，
因为，所以当时；
故答案为：
40. ①. 1 ②.
【解析】∵，∴
∴
故答案为：1，
41. .
【解析】
因为，所以．
故答案为：.
42. ①. ②.
【解析】
，∴，即，
即，令，，
则，∴，即，
∴ ，
则．
故答案为：；．
43．
【解析】
由题意可得：，
当时，，
令可得：，
据此有：.
故答案为：.
44．2
【解析】
由图可知，即，所以；
由五点法可得，即；
所以.
因为，；
所以由可得或；
因为，所以，
方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足，即，
解得，令，可得，
可得的最小正整数为2.
方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足，又，符合题意，可得的最小正整数为2.
故答案为：2.
45．（均可）
【解析】
因为，
所以，解得，故可取.
故答案为：（均可）.
46．或0
【解析】
∵三点共线，∴可设，
∵，∴，即，
若且，则三点共线，∴，即，
∵，∴，∵,,，∴，
设，，则，.
∴根据余弦定理可得，，
∵，∴，解得，
∴的长度为.
当时， ，重合，此时的长度为，
当时，，重合，此时，不合题意，舍去.
故答案为：0或.
47．
【解析】
当时
故答案为：
48．
【解析】
，，，
由勾股定理得，
同理得，，
在中，，，，
由余弦定理得，
，
在中，，，，
由余弦定理得.
故答案为：.
49．.
【解析】
由，
得，解得，或.
，
当时，上式
当时，上式=
综上，
50．9
【解析】
解析：由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此
当且仅当时取等号，则的最小值为.
51．.
【解析】
解析：由题意可得，所以，因为，所以
52．
【解析】
因为对任意的实数x都成立，所以取最大值，
所以，
因为，所以当时，取最小值为.
53．.
【解析】
因为，
结合正弦定理可得，
可得，因为，
结合余弦定理，可得，
所以为锐角，且，从而求得，
所以的面积为，故答案是.
54．
【解析】由题意作出图形，如图，
在中，由余弦定理得，
即，解得（负值舍去），
所以，
在中，由余弦定理得，
所以；
在中，由余弦定理得.
故答案为：；.
55．
【解析】
，，即，
，
则，
为钝角，，
，故.
故答案为，.
三：解答题
56.【解析】
【小问1详解】
由，可得，，而，所以，即有，而，显然，所以，，而，，所以．
【小问2详解】
由可得，
，再由正弦定理可得，
，然后根据余弦定理可知，
，化简得：
，故原等式成立．
57.【解析】
【小问1详解】
证明：因为，
所以，
所以，
即，
所以；
【小问2详解】
解：因为，
由（1）得，
由余弦定理可得，
则，
所以，
故，
所以，
所以的周长为.
58.【解析】
【小问1详解】
因为，即，
而，所以；
【小问2详解】
由（1）知，，所以，
而，
所以，即有．
所以
．
当且仅当时取等号，所以的最小值为．
59.【解析】
【小问1详解】
由题意得，则，
即，由余弦定理得，整理得，则，又，
则，，则；
【小问2详解】
由正弦定理得：，则，则，.
60.【解析】
【小问1详解】
解：因为，则，由已知可得，
可得，因此，.
【小问2详解】
解：由三角形的面积公式可得，解得.
由余弦定理可得，，
所以，的周长为.
61.【解析】
【小问1详解】
由于， ，则．因为，
由正弦定理知，则．
【小问2详解】
因为，由余弦定理，得，
即，解得，而，，
所以的面积．
62．（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）由题设，，由正弦定理知：，即，
∴，又，
∴，得证.
（2）由题意知：，
∴，同理，
∵，
∴，整理得，又，
∴，整理得，解得或，
由余弦定理知：，
当时，不合题意；当时，；
综上，.
63．（1）；（2）.
【解析】
（1）由辅助角公式得，
则，
所以该函数的最小正周期;
（2）由题意，
，
由可得，
所以当即时，函数取最大值.
64．（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.
【解析】
（Ⅰ）在中，由及余弦定理得
，
又因为，所以；
（Ⅱ）在中，由， 及正弦定理，可得；
（Ⅲ）由知角为锐角，由，可得 ，
进而，
所以.
65．选择条件①（Ⅰ）8（Ⅱ）, ；
选择条件②（Ⅰ）6（Ⅱ）, .
【解析】
选择条件①（Ⅰ）
（Ⅱ）
由正弦定理得：
选择条件②（Ⅰ）
由正弦定理得：
（Ⅱ）
66．（I）；（II）
【解析】
（I）由结合正弦定理可得：
△ABC为锐角三角形，故.
（II）结合(1)的结论有：
.
由可得：，，
则，.
即的取值范围是.
67．详见解析
【解析】
解法一：
由可得：，
不妨设，
则：，即.
选择条件①的解析：
据此可得：，，此时.
选择条件②的解析：
据此可得：，
则：，此时：，则：.
选择条件③的解析：
可得，，
与条件矛盾，则问题中的三角形不存在.
解法二：∵,
∴,
，
∴,∴,∴,∴,
若选①，,∵,∴,∴c=1;
若选②，,则,;
若选③,与条件矛盾.
68．（1）；（2）.
【解析】
（1）由余弦定理得，所以.
由正弦定理得.
（2）由于，，所以.
由于，所以，所以.
所以
.
由于，所以.
所以.
69．（1）；（2）.
【解析】
（1）由余弦定理可得，
的面积；
（2），
，
，
.
70．（1）；（2）.
【解析】
（1）由正弦定理可得：，
，
，.
（2）由余弦定理得：，
即.
（当且仅当时取等号），
，
解得：（当且仅当时取等号），
周长，周长的最大值为.
71．（1）；（2）证明见解析
【解析】
（1）因为，所以，
即，
解得，又，
所以；
（2）因为，所以，
即①，
又②， 将②代入①得，，
即，而，解得，
所以，
故，
即是直角三角形．
72．（1）；（2）.
【解析】
（1）因为，
由余弦定理，得，即.
所以.
（2）因为，
由正弦定理，得，所以.
从而，即，故.
因为，所以，从而.
因此.
73．(Ⅰ) ；
(Ⅱ) .
【解析】
(Ⅰ)在中，由正弦定理得，
又由，得，即.
又因为，得到，.
由余弦定理可得.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得，
从而，.
故.
74．(Ⅰ) ；
(Ⅱ) .
【解析】
(Ⅰ)由题意可得：，解得：.
(Ⅱ)由同角三角函数基本关系可得：，
结合正弦定理可得：，
很明显角C为锐角，故，
故.
75．（1）；（2）.
【解析】
（1）
即：
由正弦定理可得：
（2），由正弦定理得：
又，
整理可得：
解得：或
因为所以，故.
（2）法二：，由正弦定理得：
又，
整理可得：，即
由，所以
.
76．(1) ;(2).
【解析】
(1)根据题意，由正弦定理得，因为，故，消去得．
，因为故或者，而根据题意，故不成立，所以，又因为，代入得，所以.
(2)因为是锐角三角形，由（1）知，得到，
故，解得.
又应用正弦定理，，
由三角形面积公式有：
.
又因,故，
故.
故的取值范围是
77．（1）；（2）或；（3）
【解析】
（1）， ，，
，，，
由周期性可知，以为周期进行循环
（2），，
恰好有两个元素
或
即或
或
（3）由恰好有个元素可知：
当时，，集合，符合题意；
当时，，
或
因为为公差的等差数列，故
又，故
当时，如图取，，符合条件
当时，，
或
因为为公差的等差数列，故
又，故
当时，如图取，，符合条件
当时，，
或
因为为公差的等差数列，故
又，故
当时，如图取时，，符合条件
当时，，
或
因为为公差的等差数列，故
又，故
当时，因为对应个正弦值，故必有一个正弦值对应三个点，必然有，即，即，,不符合条件；
当时，因为对应个正弦值，故必有一个正弦值对应三个点，必然有，即，即，不是整数，故不符合条件；
当时，因为对应个正弦值，故必有一个正弦值对应三个点，必然有或
若，即，不是整数，
若，即，不是整数，
故不符合条件；
综上：
78．(1);(2)或或.
【解析】
（1）∵，
∴，
∵为偶函数，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，或，
∴，或，
∵，
∴或或
79．（Ⅰ） ；（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ），
所以的最小正周期为.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知.
因为，所以.
要使得在上的最大值为，
即在上的最大值为1.
所以，即.
80．（Ⅰ）；（Ⅱ） 或 .
【解析】
解析：（Ⅰ）由角的终边过点得，
所以.
（Ⅱ）由角的终边过点得，
由得.
由得，
所以或.
81．(Ⅰ)；(Ⅱ)，.
【解析】
分析：（Ⅰ）由题意结合正弦定理边化角结合同角三角函数基本关系可得，则B=．
（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理可得b=．结合二倍角公式和两角差的正弦公式可得
解析：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理，可得，
又由，得，
即，可得．
又因为，可得B=．
（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，
有，故b=．
由，可得．因为a因此，
所以，