近五年（2018—2022）数学高考真题分类汇编09：计数原理（含解析）

九：计数原理
一：选择题
1.（2022·北京卷T）8. 若，则（ ）
A. 40 B. 41 C. D.
2．（2021·全国（理））将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·全国（文））将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8
4．（2021·全国（理））将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A．60种 B．120种 C．240种 D．480种
5．（2020·海南）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（ ）
A．2种 B．3种 C．6种 D．8种
6．（2020·北京）在的展开式中，的系数为（ ）．
A． B．5 C． D．10
7．（2020·海南）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ）
A．120种 B．90种
C．60种 D．30种
8．（2020·全国（文））如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12.设1≤iA．5 B．8 C．10 D．15
9．（2020·全国（理））的展开式中x3y3的系数为（ ）
A．5 B．10
C．15 D．20
10．（2019·全国（文））两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是
A． B． C． D．
11．（2019·全国（理））（1+2x2 ）（1+x）4的展开式中x3的系数为
A．12 B．16 C．20 D．24
12．（2019·全国（理））我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是
A． B． C． D．
13．（2018·全国（理））的展开式中的系数为（ ）
A．10 B．20 C．40 D．80
二：填空题
14.（2022·浙江卷T12） 已知多项式，则__________，___________．
15.（2022·新高考Ⅰ卷T13） 的展开式中的系数为________________（用数字作答）．
16．（2021·浙江）已知多项式，则___________，___________.
17．（2020·浙江）设，则________；________．
18．（2019·浙江）在二项式的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是_______.
19（2020·天津）在的展开式中，的系数是_________．
20．（2020·全国（理））的展开式中常数项是__________（用数字作答）．
21．（2020·全国（理））4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种.
22．（2019·天津（理））展开式中的常数项为________.
23．（2019·上海）在的二项展开式中，常数项的值为__________
24．（2019·上海）首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有_____种（结果用数值表示）
25．（2018·上海）在的二项展开式中，项的系数为 .（结果用数值表示）．
26．（2018·浙江）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答)
27．（2018·浙江）二项式的展开式的常数项是___________．
28．（2018·天津（理））在二项式的展开式中，的系数为__________．
29．（2018·全国（理））从位女生，位男生中选人参加科技比赛，且至少有位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）
三：解答题
30．（2019·江苏）设.已知.
（1）求n的值；
（2）设，其中，求的值.
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九：参考答案
1. B
【解析】令，则，
令，则，
故，
故选：B.
2．C
【解析】
将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，
若2个0相邻，则有种排法，若2个0不相邻，则有种排法，
所以2个0不相邻的概率为.故选：C.
3．C
【解析】
解：将3个1和2个0随机排成一行，可以是：
，
共10种排法，其中2个0不相邻的排列方法为：
，共6种方法，
故2个0不相邻的概率为，故选：C.
4．C
【解析】
根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方案，
故选：C.
5．C
【解析】
第一步，将3名学生分成两个组，有种分法
第二步，将2组学生安排到2个村，有种安排方法
所以，不同的安排方法共有种
故选：C
6．C
【解析】
展开式的通项公式为：，
令可得：，则的系数为：.
故选：C.
7．C
【解析】
首先从名同学中选名去甲场馆，方法数有；
然后从其余名同学中选名去乙场馆，方法数有；
最后剩下的名同学去丙场馆.
故不同的安排方法共有种.
故选：C
8．C
【解析】
根据题意可知，原位大三和弦满足：．
∴；；；；．
原位小三和弦满足：．
∴；；；；．
故个数之和为10．
故选：C．
9．C
【解析】
展开式的通项公式为（且）
所以的各项与展开式的通项的乘积可表示为：
和
在中，令，可得：，该项中的系数为，
在中，令，可得：，该项中的系数为
所以的系数为
故选：C
10．D
【解析】
两位男同学和两位女同学排成一列，因为男生和女生人数相等，两位女生相邻与不相邻的排法种数相同，所以两位女生相邻与不相邻的概率均是．故选D．
11．A
【解析】
由题意得x3的系数为，故选A．
12．A
【解析】
由题知，每一爻有2种情况，一重卦的6爻有情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为=，故选A．
13．C
【解析】
分析：写出，然后可得结果
解析：由题可得
令,则
所以故选C.
二：填空题
. ①. ②.
14【解析】含的项为：，故；
令，即，
令，即，
∴，
故答案为：；．
-28
【解析】因为，
所以的展开式中含的项为，
的展开式中的系数为-28
故答案为：-28
16．; .
【解析】
，
，
所以，
，
所以.
故答案为：.
17．
【解析】
的通项为，
令，则，故；
.
故答案为：；.
18．
【解析】
的通项为
可得常数项为，
因系数为有理数，，有共5个项
19．10
【解析】
因为的展开式的通项公式为，令，解得．
所以的系数为．
故答案为：．
20．
【解析】
其二项式展开通项：
当，解得
的展开式中常数项是：.
21．
【解析】
4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学
先取2名同学看作一组，选法有：
现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：
根据分步乘法原理，可得不同的安排方法种
故答案为：.
22．
【解析】
，
由，得，
所以的常数项为.
23．15
【解析】
二项展开式通项为：
当时，
常数项为：
本题正确结果：
24．24
【解析】
在天里，连续天的情况，一共有种
剩下的人全排列：
故一共有：种
25．21.
【解析】
二项式（1+x）7展开式的通项公式为
Tr+1= xr，
令r=2，得展开式中x2的系数为=21．
故答案为21．
26．1260.
【解析】
解析：若不取零，则排列数为若取零，则排列数为
因此一共有个没有重复数字的四位数.
小结：求解排列、组合问题常用的解题方法：
27．7
【解析】
分析:先根据二项式展开式的通项公式写出第r+1项，再根据项的次数为零解得r，代入即得结果.
解析：二项式的展开式的通项公式为,
令得，故所求的常数项为
28．.
【解析】
结合二项式定理的通项公式有：，
令可得：，则的系数为：.
29．
【解析】
根据题意，没有女生入选有种选法，从名学生中任意选人有种选法，
故至少有位女生入选，则不同的选法共有种，故答案是.
三：解答题
30．（1）；（2）-32.
【解析】
（1）因为，
所以，
．
因为，
所以，
解得．
（2）由（1）知，．
．
解法一：
因为，所以，
从而．
解法二：
．
因为，所以．
因此．