近五年（2018—2022）高考真题分类汇编13：坐标系与参数方程（含解析）

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十三： 坐标系与参数方程
1．（2021·全国甲卷）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 =2 cosθ.
（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点A的直角坐标为（1,0）,M为C上的动点，点P满足 = ,写出 P的轨迹C1的参数方程，并判断C与C1是否有公共点.
2．（2022·全国乙卷）在直角坐标系 中，曲线C的参数方程为 （t为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为 ．
（1）写出l的直角坐标方程；
（2）若l与C有公共点，求m的取值范围．
3．（2021·全国乙卷）在直角坐标系xOy中， C的圆心为C（2，1），半径为1.
（1）写出 C的一个参数方程；
（2）过点F（4，1）作 C的两条切线， 以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条直线的极坐标方程.
4．（2020·新课标Ⅲ·理）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 （t为参数且t≠1），C与坐标轴交于A、B两点．
（1）求 ；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程．
5．（2020·新课标Ⅲ·文）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 (t为参数且t≠1)，C与坐标轴交于A，B两点.
（1）求| |：
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程.
6．（2020·新课标Ⅱ·理）已知曲线C1，C2的参数方程分别为C1： （θ为参数），C2： （t为参数）.
（1）将C1，C2的参数方程化为普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程.
7．（2019·江苏） 在极坐标系中，已知两点 ，直线l的方程为 .
（1）求A，B两点间的距离；
（2）求点B到直线l的距离.
8．（2019·全国Ⅱ卷理）[选修4-4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，O为极点，点 在曲线 上，直线l过点 且与 垂直，垂足为P.
（1）当 时，求 及l的极坐标方程；
（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.
9．（2019·全国Ⅲ卷理）[选修4-4：坐标系与参数方程]
如图，在极坐标系Ox中，A（2，0），B（ ， ），C（ ， ），D（2，π），弧 ， ， 所在圆的圆心分别是（1，0），（1， ），（1，π），曲线M1是弧 ，曲线M2是弧 ，曲线M3是弧 。
（1）分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；
（2）曲线由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|= ，求P的极坐标。
10．（2019·全国Ⅰ卷理）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 （t为参数）。以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcosθ+ ρsinθ+11=0。
（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）求C上的点到l距离的最小值。
11．（2022·全国甲卷）在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （t为参数），曲线 的参数方程为 （s为参数）．
（1）写出 的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，求 与 交点的直角坐标，及 与 交点的直角坐标．
12．（2019·全国Ⅰ卷文）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 （t为参数）。以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcosθ+ ρsinθ+11=0。
（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）求C上的点到l距离的最小值。
13．（2018·全国Ⅱ卷理）在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ( 为参数)，直线 的参数方程为 ( 为参数)
（1）求 和 的直角坐标方程
（2）若曲线 截直线 所得线段的中点坐标为 ，求 的斜率
14．（2018·全国Ⅰ卷理）在直角坐标系xOy中，曲线 的方程为 ，以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为
（1）求 的直角坐标方程
（2）若 与 有且仅有三个公共点，求 的方程
参考答案
1．【答案】（1）由曲线C的极坐标方程 可得 ，
将 代入可得 ，即 ，
即曲线C的直角坐标方程为 ；
（2）设 ，设
，
，
则 ，即 ，
故P的轨迹 的参数方程为 （ 为参数）
曲线C的圆心为 ，半径为 ，曲线 的圆心为 ，半径为2，
则圆心距为 ， ， 两圆内含，
故曲线C与 没有公共点.
2．【答案】（1）解：因 l： ，所以 ，
又因为 ，所以化简为 ，
整理得l的直角坐标方程：
（2）解：联立l与C的方程，即将 ， 代入
中，可得 ，
所以 ，
化简为 ，
要使l与C有公共点，则 有解，
令 ，则 ，令 ， ，
对称轴为 ，开口向上，
所以 ，
，
所以
m的取值范围为 .
3．【答案】（1）因为 C的圆心为(2，1)，半径为1.故 C的参数方程为 （ 为参数).
（2）设切线y=k（x-4)+1，即kx-y-4k+1=0.
故 =1
即|2k|= ，4 = ，
解得k=± .
故直线方程为y= (x-4)+1， y= (x-4)+1
故两条切线的极坐标方程为 sin = cos - +1或 sin = cos + +1.
4．【答案】（1）解：令 ，则 ，解得 或 （舍），则 ，即 .
令 ，则 ，解得 或 （舍），则 ，即 .
（2）解：由（1）可知 ，
则直线 的方程为 ，即 .
由 可得，直线 的极坐标方程为
5．【答案】（1）解：令 ，则 ，解得 或 （舍），则 ，即 .
令 ，则 ，解得 或 （舍），则 ，即 .
（2）解：由（1）可知 ，
则直线 的方程为 ，即 .
由 可得，直线 的极坐标方程为
6．【答案】（1）解：由 得 C2 的普通方程为： x+y=4（0≤x≤4）；
由 得： ，两式作差可得 C2 的普通方程为： .
（2）解：由 得： ，即 ；
设所求圆圆心的直角坐标为 ，其中 ，
则 ，解得： ， 所求圆的半径 ，
所求圆的直角坐标方程为： ，即 ，
所求圆的极坐标方程为 .
7．【答案】（1）解：设极点为O.在△OAB中，A（3， ），B（ ， ），
由余弦定理，得AB=
（2）解：因为直线l的方程为 ，
则直线l过点 ，倾斜角为 ．
又 ，所以点B到直线l的距离为
8．【答案】（1）解：因为 在C上，当 时， . 由已知得 . 设 为l上除P的任意一点.在 中 ， 经检验，点 在曲线 上.
所以，l的极坐标方程为 .
（2）设 ，在 中， 即 .. 因为P在线段OM上，且 ，故 的取值范围是 .
所以，P点轨迹的极坐标方程为 .
9．【答案】（1）解：由题设可得，弧 所在圆的极坐标方程分别为 ， ， .
所以 的极坐标方程为 ， 的极坐标方程为 ， 的极坐标方程为 .
（2）设 ，由题设及（1）知
若 ，则 ，解得 ；
若 ，则 ，解得 或 ；
若 ，则 ，解得 .
综上，P的极坐标为 或 或 或
10．【答案】（1）因为 ，且 ，
所以C的直角坐标方程为 .
所以直线l的直角坐标方程为
（2）由（1）可设曲线C的参数方程为 （ 为参数， ）.曲线C上的点到 的距离为 .
当 时， 取得最小值7，故C上的点到 距离的最小值为 .
11．【答案】（1）解：因为 ， ，所以 ，即 普通方程为 ．
（2）解：因为 ，所以 ，即 的普通方程为 ，
由 ，即 的普通方程为 ．
联立 ，解得： 或 ，即交点坐标为 ， ；
联立 ，解得： 或 ，即交点坐标 ， ．
12．【答案】（1） 解：因为 ，且 ，所以C的直角坐标方程为 .
的直角坐标方程为 .
（2）由（1）可设C的参数方程为 （ 为参数， ）.
C上的点到 的距离为 .
当 时， 取得最小值7，故C上的点到 距离的最小值为 .
13．【答案】（1）曲线C的直角坐标方程：
当cosα≠0，l的直角坐标方程为：xtanα y+2 tanα=0
当cosα=0，l的直角坐标方程为：x=1
（2）将直线l的参数方程代入曲线C得：
设l与曲线C交于A，B两点
点（1，2）恰好在直线l上，且是A，B两点的中点
设A，B两点对应的参数分别为t1，t2
则有参数的几何意义：
故 =0
于是直线l的斜率k=tanα=-2
14．【答案】（1）解：由 ， 得 的直角坐标方程为
．
（2）解：由（1）知 是圆心为 ，半径为 的圆．
由题设知， 是过点 且关于 轴对称的两条射线．
记 轴右边的射线为 ， 轴左边的射线为 ．
由于 在圆 的外面，
故 与 有且仅有三个公共点等价于 与 只有一个公共点，且 与 有两个公共点，或 与 只有一个公共点且 与 有两个公共点．
当 与 只有一个公共点时， 到 所在直线的距离为 ，所以 ，故 或 ．
经检验，当 时， 与 没有公共点；当 时， 与 只有一个公共点， 与 有两个公共点．
当 与 只有一个公共点时， 到 所在直线的距离为 ，所以 ，故 或 ．
经检验，当 时， 与 没有公共点；当 时， 与 没有公共点．
综上，所求 的方程为 ．