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十三:不等式选讲
1.(2022·全国甲卷)已知a,b,c均为正数,且 ,证明:
(1) ;
(2)若 ,则 .
2.(2019·全国Ⅰ卷理)已知a,b,c为正数,且满足abc=1。证明:
(1) ;
(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24。
3.(2019·全国Ⅲ卷理)[选修4-5:不等式选讲]
设x,y,z∈R,且x+y+z=1,
(1)求(x-1)2+(y+1)2+(z-1)2的最小值;
(2)若(x-2)2+(y-1)2+(z-2)2≥ 成立,证明:a≤-3或a≥-1。
4.(2022·全国乙卷)已知a,b,c都是正数,且 ,证明:
(1) ;
(2) .
5.(2021·全国甲卷)已知函数f(x)=|x-2|, g(x) =|2x + 3|-|2x-1|.
(1)画出f(x)和y=g(x)的图像;
(2)若f(x+a)≥g(x),求a的取值范围.
6.(2021·全国乙卷)已知函数f(x)=|x-a|+|x+3|.
(1)当a=1时,求不等式f(x)≥6的解集;
(2)若f(x)≥-a,求a的取值范围.
7.(2020·新课标Ⅲ·理)设a,b,c R,a+b+c=0,abc=1.
(1)证明:ab+bc+ca<0;
(2)用max{a,b,c}表示a,b,c中的最大值,证明:max{a,b,c}≥ .
8.(2020·新课标Ⅰ·理)已知函数 .
(1)画出 的图像;
(2)求不等式 的解集.
9.(2020·新课标Ⅱ·理)已知函数 .
(1)当 时,求不等式 的解集;
(2)若 ,求a的取值范围.
10.(2019·全国Ⅱ卷理)[选修4-5:不等式选讲]已知
(1)当 时,求不等式 的解集;
(2)若 时, ,求 的取值范围.
11.(2018·全国Ⅱ卷理)设函数
(1) 当 时,求不等式 的解集;
(2)若 ,求 的取值范围
12.(2018·全国Ⅰ卷理)已知
(1)当 时,求不等式 的解集
(2)若 时,不等式 成立,求 的取值范围
13.(2018·全国Ⅲ卷理)设函数
(1)画出 的图像
(2)当 时, ,求 的最小值。
参考答案
1.【答案】(1)证明:由柯西不等式有 ,
所以 ,
当且仅当 时,取等号,
所以
(2)证明:因为 , , , ,由(1)得 ,
即 ,所以 ,
由权方和不等式知 ,
当且仅当 ,即 , 时取等号,
所以 .
2.【答案】(1) 解:因为 ,又 ,故有
.
所以 .
(2) 因为 为正数且 ,故有
=24.
所以 .
3.【答案】(1)解:(1)由于
,
故由已知得 ,
当且仅当x= ,y=– , 时等号成立.
所以 的最小值为
(2)由于
,
故由已知 ,
当且仅当 , , 时等号成立.
因此 的最小值为 .
由题设知 ,解得 或
4.【答案】(1)证明:因为 , , ,则 , , ,
所以 ,
即 ,所以 ,当且仅当 ,即 时取等号.
(2)证明:因为 , , ,
所以 , , ,
所以 , ,
当且仅当 时取等号.
5.【答案】(1)可得 ,画出图像如下:
,画出函数图像如下:
(2) ,
如图,在同一个坐标系里画出 图像,
是 平移了 个单位得到,
则要使 ,需将 向左平移,即 ,
当 过 时, ,解得 或 (舍去),
则数形结合可得需至少将 向左平移 个单位, .
6.【答案】(1)解:a=1时,f(x)=|x-1|+|x+3|,即求|x-1|+|x-3|≥6的解集.
当x≥1时,2x十2≥6,得x≥2;
当-3当x≤-3时-2x-2≥6.得x≤-4,
综上,解集为(-∞,-4]U[2,-∞).
(2)f(x)最小值>-a,而由绝对值的几何意义,即求x到a和-3距离的最小值.
当x在a和-3之间时最小,此时f(x)最小值为|a+3|,即|a+3|>-a.
A≥-3时,2a+3>0,得a>- ;a<-3时,-a-3>-a,此时a不存在.
综上,a>- .
7.【答案】(1)解: ,
.
均不为 ,则 ,
(2)解:不妨设 ,
由 可知, ,
, .
当且仅当 时,取等号,
,即
8.【答案】(1)解:因为 ,作出图象,如图所示:
(2)解:将函数 的图象向左平移1个单位,可得函数 的图象,如图所示:
由 ,解得 .
所以不等式的解集为 .
9.【答案】(1)解:当 时, .
当 时, ,解得: ;
当 时, ,无解;
当 时, ,解得: ;
综上所述: 的解集为 或 .
(2)解: (当且仅当 时取等号),
,解得: 或 ,
的取值范围为 .
10.【答案】(1)解:当a=1时, .
当 时, ;当 时, .
所以,不等式 的解集为 .
(2)因为 ,所以 .
当 , 时,
所以, 的取值范围是 .
11.【答案】(1)a=1时,时,由
当x≥2时,由f(x)≥0得:6-2x≥0,解得:x≤3;
当-1<x<x时,f(x)≥0;
当x≤-1时,由f(x)≥0得:4+2x≥0,解得x≥-2
所以f(x)≥0的解集为{x|-2≤x≤3}
(2)若f(x)≤1,即 恒成立
也就是x∈R, 恒成立
当x=2时取等,所以x∈R, 等价于
解得:a≥2或a≤-6
所以a的取值范围(-∞,-6] ∪[2,+∞)
12.【答案】(1)解:当 时, ,即
故不等式 的解集为 .
(2)解:当 时 成立等价于当 时 成立.
若 ,则当 时 ;
若 , 的解集为 ,所以 ,故 .
综上, 的取值范围为 .
13.【答案】(1)解:
(2)解:由(1)中可得:a≥3,b≥2,当a=3,b=2时,a+b取最小值,
所以a+b的最小值为5.