苏科版九年级数学上册 第2章 对称图形——数学活动 图形的密铺 教案

数学活动 图形的密铺
教学目标：
1.通过探索平面图形的密铺，知道任意一个三角形、四边形、正六边形可以密铺，能运用这几种图形进行简单的密铺设计。
2.促使学生在活动中，勇于探索图形间的相互关系，培养学生的空间观念，发展学生的合情推理能力，获得一些研究问题的方法和经验，同时渗透数形结合、分类的数学思想。
3.通过合作学习、动手实践，感受学习数学的乐趣，发展学生的合作意识。
教学重点：通过实验探究、讨论交流发现密铺的条件。
教学难点：用多边形进行密铺的原理。
教学准备：实验报告单，正三角形、正方形、正六边形、正五边形、任意三角形、任意四边形纸片6—8张。
教学过程：
一、设计情景，引入课题
1.生活中常见的地板、墙面铺设。
定义：由若干个多边形既无空隙、又不重叠地拼接，将平面完全覆盖，称为多边形的密铺，这就是平面图形的密铺。
二、实践与探究，合作发现
活动1：探究只用一种多边形进行密铺。
请同学们拿出准备好的正多边形纸片，以小组为单位，试一试，用同一种正多边形（如正三角形、正四边形、正五边形、正六边形）能否密铺成平面图案。如果能，共有几种正多边形能密铺成平面图案？请完成以下实验报告单。
实验一、探究只用一种正多边形进行密铺
（实验材料：边长为3cm的正三角形、正四边形、正五边形、正六边形纸片若干）
正n边形 n=3 n=4 n=5 n=6
每个内角的度数
拼图
使用正多边形的个数k
能否密铺
公共顶点处各个内角的和
【结论】一种正多边形能进行密铺的条件：如果一种正多边形可以进行密铺，那么它的一个内角的k倍__________360°。
思考：除了上述三种正多边形外，还有没有其他的正多边形？只有同样大小的这种正多边形就可以进行密铺？
解：设正多边形的边数为n，在拼接点处有k个角，则有：
又n≥3，且n为正整数。
∴n-2为4的约数
∴n-2= 1或2或4
∴n= 3或4或6
结论：只有正三角形、正方形、正六边形三种图形可以密铺。
活动2：用两种正多边形进行密铺。
1.用正三角形与正方形结合拼图，能否密铺成平面图案？请你试一试。
2.还有没有其他用两种正多边形镶嵌的图案？请完成以下实验报告单。
实验二：探究用两种正多边形进行密铺
(实验材料：边长为3cm的正三角形、正四边形、正五边形、正六边形纸片若干)
两种正多边形 组合一 组合二 组合三 组合四
n=3 n=4 n=3 n=6 n= 4 n=5 n=_ _ ______
进行密铺的多边形个数 a= b= a= b=
拼接点处内角的度数和与360°关系
拼图
【结论】如果用两种正多边形进行密铺，在拼接点处的各内角的度数和一定等于_________。两种正多边形的边长_______________。
思考：用几个正三角形与正六边形可以密铺？
解：设一个顶点周围有m个正三角形、n个正六边形，则有方程： m×60°＋n×120°=360°
∴ m+2n=6，又m、n为正整数，解得m=2，n=2，或者m=4，n=1。
即用两个正三角形和两个正六边形或者用四个正三角形和一个正六边形可以密铺。
延伸：用正四边形与正八边形能否密铺？若能，则在一个顶点处有_____个正方形_____个正八边形。
活动3：探究任意三角形与任意四边形的密铺。
1.形状大小完全相同的任意三角形能密铺成平面图形吗？
2.形状大小完全相同的任意四边形能密铺成平面图形吗？请完成以下实验报告单。
实验三：探究一般三角形与四边形的密铺
（实验材料：大小和形状相同的三角形（称作全等三角形）、大小和形状相同的四边形纸片若干。）
收集整理分析数据 拼图 进行密铺的多边形个数 拼接点处内角和的度数与360°的关系
【结论】任意三角形、任意四边形_______________________密铺。
三、归纳小结，交流感悟
谈一谈本课的学习有哪些收获和体会？
1.平面密铺：无空隙，不重复。
2.
3.
4．体会 ……
四、欣赏图片，享受密铺
五、共同探讨，设计图案
要求：
1.如果用正多边形镶嵌，设计时必须用两种（或两种以上）正多边形密铺。
2.也可以用不规则的图形，设计丰富多彩的密铺图案。
六、课后延伸，弘扬个性
1.课下设计用三种正多边形进行密铺的图案（可以用彩色拼，也可以自己画或者在电脑上操作）比一比，看谁设计的更漂亮！
2.你能围绕多边形的密铺问题作进一步的探讨吗？就你研究的过程与结果写成一篇小论文，在班内交流。