11.1　余弦定理(共40张PPT)

(共40张PPT)
第11章　解三角形
11.1　余弦定理
01
预习案　自主学习
02
探究案　讲练互动
03
自测案　当堂达标
04
应用案　巩固提升
学习指导 核心素养
1.了解余弦定理的推导过程．
2.掌握余弦定理的几种变形公式及其应用． 逻辑推理、数学运算：余弦定理的推导及其应用．
1．余弦定理
文字语言 三角形任何一边的______等于其他两边__________减去这两边与它们夹角的________________
符号语言 a2＝____________________
b2＝____________________
c2＝____________________
平方
平方的和
余弦的积的两倍
b2＋c2－2bc cos A
c2＋a2－2ca cos B
a2＋b2－2ab cos C
对余弦定理的理解
(1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立．
(2)结构特征：“平方”“夹角”“余弦”．
(3)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系式，它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系．
观察余弦定理的结构, 想一想具备什么条件的问题适合用余弦定理解答？
提示：出现以下两种情况可以考虑用余弦定理解答．
(1)已知一个三角形的两边及其夹角；
(2)条件中出现了余弦定理的局部或变形，如a2＋b2，a＋b，ab，cos A等.
3．三角形的元素与解三角形
(1)三角形的元素
我们把三角形的________和________叫作三角形的元素．
(2)解三角形
已知三角形的__________求其他元素的过程叫作解三角形．
三个角
三条边
几个元素
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在三角形中，勾股定理是余弦定理针对直角三角形的一个特例．(　　)
(2)余弦定理只适用于已知三边和已知两边及夹角的情况．(　　)
(3)已知三角形的三边求三个内角时，解是唯一的．(　　)
(4)在△ABC中，若b2＋c2＞a2，则∠A为锐角．(　　)
(5)在△ABC中，若b2＋c2＜a2，则△ABC为钝角三角形．(　　)
√
×
√
√
√
√
√
√
√
已知三角形的两边及一角解三角形的方法
(1)已知两边及其夹角解三角形，可以先利用余弦定理直接求第三边，再利用余弦定理的变形公式及三角形内角和定理求其余两角．
(2)已知两边和其中一边的对角解三角形，可以利用余弦定理列出方程，运用方程的思想求出第三边，这样可直接判断取舍．　
√
√
已知三角形的三边解三角形的方法
先利用余弦定理的变形公式求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理的变形公式求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角．
[注意]　若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为已知三边求解．　
探究点3　判断三角形的形状
　　　(1)若三条线段的长分别为5，6，7，则用这三条线段(　　)
A．能组成直角三角形 B．能组成锐角三角形
C．能组成钝角三角形 D．不能组成三角形
(2)在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bc cosB cos C，试判断△ABC的形状.
【解】　(1) 最长线段为7，且5＋6>7，因此能构成三角形，
因为52＋62－72＝12>0，由余弦定理知，长为7的边所对的角为锐角，即最大角为锐角，则该三角形一定为锐角三角形．
√
√
在利用余弦定理解决综合问题时，如果是实际问题，应该首先抽象出数学模型，也就是转化到哪些三角形中，再利用余弦定理解决问题．　
√
√
本部分内容讲解结束
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