10.1.1　两角和与差的余弦 学案

10．1　两角和与差的三角函数
10．1.1　两角和与差的余弦
学习指导 核心素养
1.了解两角差的余弦公式的推导过程．2.能利用公式进行计算、化简及求值． 逻辑推理、数学运算：两角和与差的余弦公式及其应用．
两角和与差的余弦公式
名称 公式 简记符号 条件
两角差的余弦 cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β C(α－β) α，β∈R
两角和的余弦 cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β C(α＋β)
1．公式的结构特征是怎样的？
提示：左端为两角差(和)的余弦，右端为角α，β的同名三角函数积的和(差)，即差(和)角余弦等于同名积之和(差).
2．公式中的角α，β可以为几个角的组合吗？
提示：可以．公式中α，β都是任意角，可以是一个角，也可以是几个角的组合．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对任意α，β∈R，cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β都成立．(　　)
(2)对于任意α，β，cos (α－β)＝cos α－cos β都不成立．(　　)
(3)cos (α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin β.(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)×
2．已知cos α＝，α∈，则cos 的值为(　　)
A．　 B．－
C．－ D．
解析：选C．因为cos α＝，α∈，
所以sin α＝－＝－，
所以cos ＝cos αcos ＋sin αsin ＝×＋×＝－.
3．cos 43°cos 13°＋sin 43°sin 13°的值为(　　)
A． B．－
C． D．－
答案：C
4．cos 15°＝________．
答案：
探究点1　两角和与差的余弦公式的简单应用
求下列各式的值：
(1)cos 72°cos 12°＋sin 72°sin 12°；
(2)sin 34°sin 26°－cos 34°cos 26°；
(3)sin 164°sin 224°＋sin 254°sin 314°；
(4)sin (α－β)sin (β－γ)－cos (α－β)cos (γ－β).
【解】　(1)原式＝cos (72°－12°)＝cos 60°＝.
(2)原式＝－(cos 34°cos 26°－sin 34°sin 26°)＝－cos (34°＋26°)＝－cos 60°＝－.
(3)sin 164°sin 224°＋sin 254°sin 314°＝sin 16°·(－sin 44°)＋(－cos 16°)(－cos 44°)＝cos (16°＋44°)＝cos 60°＝.
(4)sin (α－β)sin (β－γ)－cos (α－β)cos (γ－β)＝－[cos (α－β)cos (β－γ)]－sin (α－β)sin (β－γ)＝－cos [(α－β)＋(β－γ)]＝－cos (α－γ).
利用两角和与差的余弦公式求值的一般思路
(1)把非特殊角转化为特殊角的和与差，正用公式直接求解．
(2)在逆用公式解题时，还要善于将特殊的值变形为某特殊角的三角函数值．　
化简下列三角函数的值：
(1)cos 15°－sin 15°；
(2)cos cos θ＋sin sin θ.
解：(1)cos 15°－sin 15°＝
cos 30°cos 15°－sin 30°sin 15°＝cos (30°＋15°)＝cos 45°＝.
(2)cos cos θ＋sin sin θ＝
cos [－θ]＝cos ＝.
探究点2　给值求值
(1)已知sin α＝，α∈，cos β＝－，β∈，求cos (α－β)和cos (α＋β)的值．
(2)已知α，β∈，且sin α＝，cos (α＋β)＝－，求cos β的值．
【解】　(1)因为sin α＝，α∈，所以cos α＝－，
因为cos β＝－，β∈，所以sin β＝－，
所以cos (α－β)＝×＋×＝－；
所以cos (α＋β)＝×－×＝.
(2)因为α，β∈，所以0＜α＋β＜π，
由cos (α＋β)＝－，得sin (α＋β)＝，
又sin α＝，所以cos α＝，
所以cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)·sin α＝×＋×＝.
[变条件]若把本例(2)中的“α，β∈”改为“α，β∈”，求cos β的值．
解：因为α，β∈，所以π＜α＋β＜2π，
由cos (α＋β)＝－，得sin (α＋β)＝－，
又sin α＝，
所以cos α＝－，所以cos β＝cos [(α＋β)－α]
＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α
＝×＋×
＝－.
给值求值问题的解题策略
(1)从角的关系中找解题思路：已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．
(2)常见角的变换：①α＝(α－β)＋β；②α＝＋；
③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β).　
已知＜β＜α＜，cos (α－β)＝，sin (α＋β)＝－，求cos 2α与cos 2β的值．
解：因为＜β＜α＜，
所以0＜α－β＜，π＜α＋β＜.
所以sin (α－β)＝＝＝，
cos (α＋β)＝－＝－＝－.
所以cos2α＝cos [(α＋β)＋(α－β)]
＝cos (α＋β)cos (α－β)－sin (α＋β)sin (α－β)
＝×－×＝－.
cos 2β＝cos [(α＋β)－(α－β)]
＝cos (α＋β)cos (α－β)＋sin (α＋β)sin (α－β)
＝×＋×＝－.
探究点3　给值求角
已知cos α＝，cos (α＋β)＝－，且α，β∈，求β的值．
【解】　因为α，β∈且cos α＝，
cos (α＋β)＝－，
所以α＋β∈(0，π)，所以sin α＝＝，
sin(α＋β)＝＝.
又因为β＝(α＋β)－α，
所以cosβ＝cos [(α＋β)－α]
＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α
＝×＋×＝.
又因为β∈，所以β＝.
解给值求角问题的一般步骤
(1)根据条件确定所求角的范围．
(2)求所求角的某种三角函数值，为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数．
(3)结合三角函数值及角的范围求角．　
已知cos α＝，sin (α－β)＝，且α，β∈，求：
(1)cos (2α－β)的值；
(2)β的值．
解：(1)因为α，β∈，所以α－β∈，
又因为sin (α－β)＝，则cos (α－β)＝，而sin α＝，
cos (2α－β)＝cos [α＋(α－β)]＝cos αcos (α－β)－
sin αsin (α－β)＝.
(2)cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos (α－β)＋
sin αsin (α－β)＝，
又因为β∈，所以β＝.
1．cos 56°cos 26°＋sin 56°cos 64°的值为(　　)
A． B．－
C． D．－
解析：选C．原式＝cos 56°cos 26°＋sin 56°sin 26°
＝cos (56°－26°)＝cos 30°＝.
2．sin 68°sin 67°－sin 23°cos 68°的值为(　　)
A．－ B．
C． D．1
解析：选B．因为sin 23°＝sin (90°－67°)＝cos 67°，
所以sin 68°sin 67°－sin 23°cos 68°＝sin 68°sin 67°－cos 67°cos 68°
＝－(cos 67°cos 68°－sin 67°sin 68°)＝－cos (67°＋68°)＝－cos 135°＝.
故选B．
3．已知α，β均为锐角，且cos α＝，cos β＝，则α－β＝________．
解析：因为α，β均为锐角，所以sin α＝，sin β＝.
所以cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝.
又sin α＜sin β，所以0＜α＜β＜，
所以－＜α－β＜0.故α－β＝－.
答案：－
4．若sin α＝，sin β＝，且α，β为锐角，求cos (α＋β)的值．
解：因为α，β为锐角，且sin α＝，sin β＝，
所以cos α＝，cos β＝，
所以cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝.
[A　基础达标]
1．cos (45°－α)cos (α＋15°)－sin (45°－α)sin (α＋15°)＝(　　)
A．　　 B．－
C． D．－
解析：选A．原式＝cos (α－45°)cos (α＋15°)＋sin (α－45°)·sin (α＋15°)＝cos [(α－45°)－(α＋15°)]
＝cos (－60°)＝.故选A．
2.cos 15°－sin 15°＝(　　)
A． B．－
C． D．－
解析：选A．根据两角和的余弦公式有
cos 15°－sin 15°＝cos 45°cos 15°－sin 45°sin 15°　
＝cos (45°＋15°)＝cos 60°＝，故选A．
3．已知A，B为锐角，cos A＝，cos B＝，
则cos (A＋B)＝(　　)
A． B．－
C．－ D．
解析：选C．因为A，B为锐角，cos A＝，cos B＝，
所以sin A＝＝，sinB＝＝，
所以cos(A＋B)＝cos A cos B－sin A sin B＝×－×＝－.故选C．
4．若sin αsin β＝1，则cos (α－β)＝(　　)
A．0 B．1
C．±1 D．－1
解析：选B．由sin αsin β＝1可知，sin α＝1，sin β＝1或sin α＝－1，sin β＝－1，此时均有cos α＝cos β＝0，从而cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝0＋1＝1.故选B．
5．若cos (α＋β)＝，sin ＝，α，β∈，则cos ＝(　　)
A．－ B．
C． D．－
解析：选C．因为(α＋β)－＝α＋，
所以cos ＝cos
＝cos (α＋β)cos ＋sin (α＋β)·sin ，
因为α，β∈，所以0＜α＋β＜π，－＜β－＜，
所以sin (α＋β)＝，cos ＝，
所以cos ＝×＋×＝，故选C．
6．cos 2 072°cos 212°＋sin 2 072°sin 212°＝________．
解析：cos 2 072°cos 212°＋sin 2 072°sin 212°
＝cos (2 072°－212°)＝cos 1 860°＝cos 60°＝.
答案：
7．(2021·湖南衡阳二十六中高二期中)已知α，β均为锐角，且sin α＝，cos β＝，则α－β的值为________．
答案：－
8．已知cos ＝，则cos α＋sin α的值为________．
解析：因为cos ＝cos cos α＋sin sin α＝cos α＋sin α＝，
所以cos α＋sin α＝.
答案：
9．若x∈且sin x＝，求2cos ＋2cos x的值．
解：因为x∈，sin x＝，
所以cos x＝－.
所以2cos ＋2cos x
＝2＋2cos x
＝2＋2cos x
＝sin x＋cos x
＝－＝.
10．已知sin α＝，cos β＝－，且α∈，β∈，求cos (α＋β)，cos (α－β)的值．
解：因为sin α＝，α∈，所以cos α＝－.
又cos β＝－，β∈，所以sin β＝.
所以cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝－×－×＝－，cos (α－β)＝cos α·cos β＋sin αsin β＝－×＋×＝.
[B　能力提升]
11．在△ABC中，若cos A cos B＞sin A sin B，则△ABC一定为(　　)
A．等边三角形 B．钝角三角形
C．锐角三角形 D．直角三角形
解析：选B．由题可知cos A cos B＞sin A sin B cos (A＋B)＞0，故A＋B为锐角，由三角形的内角和为180°可知C为钝角，故△ABC为钝角三角形，所以选B．
12．(多选)已知α，β，γ∈，sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，则下列正确的是(　　)
A．cos (β－α)＝ B．cos (β－α)＝－
C．β－α＝ D．β－α＝－
解析：选AC．由已知，得sin γ＝sin β－sin α，cos γ＝cos α－cos β.
两式分别平方相加，得(sin β－sin α)2＋(cos α－cos β)2＝1.
所以－2cos (β－α)＝－1.
所以cos (β－α)＝.
所以A正确，B错误．
因为sin γ＝sin β－sin α>0，
所以β>α，
所以β－α＝，
所以C正确，D错误，故选AC．
13．定义运算＝ad－bc.已知α，β都是锐角，且cos α＝，＝－，则cos β＝________．
解析：因为α，β都是锐角，所以0＜α＋β＜π，
因为＝－，
所以sin αsin β－cos αcos β＝－，
即－cos (α＋β)＝－，所以cos (α＋β)＝.所以sin (α＋β)＝，
因为cos α＝，所以sin α＝＝＝，
cosβ＝cos [(α＋β)－α]＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α＝×＋×＝.
答案：
14．已知若0＜α＜，－＜β＜0，cos ＝，cos ＝.
(1)求cos α的值；
(2)求cos 的值．
解：(1)因为0＜α＜，所以＜＋α＜，
因为cos ＝，
所以sin ＝，
所以cos α＝cos ＝
cos cos ＋sin sin
＝×＋×＝.
(2)因为－＜β＜0，所以＜－＜.
因为cos ＝，
所以sin ＝，
所以cos
＝cos
＝cos cos ＋
sin sin
＝×＋×＝.
[C　拓展探究]
15．已知cos (α－β)＝－，cos (α＋β)＝，且α－β∈，α＋β∈，求角β的值．
解：由α－β∈，cos (α－β)＝－，
可知sin (α－β)＝，
又因为α＋β∈，cos (α＋β)＝，
所以sin (α＋β)＝－.
cos 2β＝cos [(α＋β)－(α－β)]
＝cos (α＋β)cos (α－β)＋sin (α＋β)sin (α－β)
＝×＋×＝－1.
因为α－β∈，α＋β∈，
所以2β∈.所以2β＝π，故β＝.