第10章　三角恒等变换章末复习提升课 学案

章末复习提升课
主题1　三角函数式的求值
已知α，β为锐角，tan α＝，cos (α＋β)＝－.
(1)求cos 2α的值；
(2)求tan (α－β)的值．
【解】　(1)因为tan α＝，tan α＝，
所以sin α＝cos α.
因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝.
所以cos2α＝2cos2α－1＝－.
(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π).
又因为cos (α＋β)＝－，
所以sin (α＋β)＝＝.
因此tan(α＋β)＝－2.
因为tan α＝，所以tan 2α＝＝－.
所以tan (α－β)＝tan [2α－(α＋β)]＝＝－.
三角函数式求值的三种常见类型
(1)“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，从表面看较难，但仔细观察就会发现这类问题中的角与特殊角都有一定的关系，如和或差为特殊角，当然还有可能需要运用诱导公式．
(2)“给值求值”，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数式的值，这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角．当然在这个过程中要注意角的范围．
(3)“给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过往往求出的是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围．　
已知sin α＋cos α＝，α∈(0，)，sin (β－)＝，β∈(，).
(1)求sin 2α和tan 2α的值；
(2)求cos (α＋2β)的值．
解：(1)由题意得(sin α＋cos α)2＝，
即1＋sin 2α＝，所以sin 2α＝.
又2α∈(0，)，所以cos 2α＝＝，
所以tan2α＝＝.
(2)因为β∈(，)，β－∈(0，)，所以cos (β－)＝，
于是sin 2(β－)＝2sin (β－)cos (β－)＝.
又sin 2(β－)＝－cos 2β，所以cos 2β＝－.
又2β∈(，π)，所以sin 2β＝.
又cos2α＝＝，α∈(0，)，
所以cos α＝，sin α＝，
所以cos (α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β
＝×(－)－×＝－.
主题2　三角函数式的化简与证明
化简：－.
【解】　原式＝＋
＝＋
＝＋
＝＋
＝＝.
三角函数式的化简与证明，主要从三个方面寻求思路：
(1)观察函数特点，已知和所求中包含什么函数，它们可以怎样联系．
(2)观察角的特点，它们之间可通过何种形式联系起来．
(3)观察结构特点，它们之间经过怎样的变形可达到统一．　
1．化简＝________．
解析：＝＝
＝＝.
答案：
2．求证：··＝tan .
证明：左边＝··＝
＝＝＝tan ＝右边．所以等式成立．
主题3　三角函数公式的综合应用
已知函数f(x)＝.
(1)求f(x)的定义域及最小正周期；
(2)求f(x)的单调递减区间．
【解】　(1)由sin x≠0得x≠kπ(k∈Z)，
故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}．
因为f(x)＝(sin x－cos x)
＝2cos x(sin x－cos x)
＝sin 2x－cos 2x－1
＝sin －1，
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)函数y＝sin x的单调递减区间为(k∈Z).
由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，x≠kπ(k∈Z)，
得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z).
所以f(x)的单调递减区间为(k∈Z).
解决三角恒等变换与三角函数综合问题的关键在于熟练地运用基本的三角恒等变换思想方法，对其解析式变形、化简，尽量使其化为只有一个角为自变量的三角函数．解决与图象和性质有关的问题，在进行恒等变换时，既要注意三角恒等思想(切化弦、常值代换、降幂与升幂、收缩代换、和差与积的互化、角的代换)的运用；还要注意一般的数学思想方法(如换元法等)的运用．　
已知函数f(x)＝cos ·cos －sin x cos x＋.
(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值；
(2)求函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间．
解：(1)因为f(x)＝cos cos －sin 2x＋
＝－sin 2x＋
＝cos2x－sin2x－sin2x＋
＝－－sin 2x＋
＝(cos 2x－sin 2x)＝cos ，
所以函数f(x)的最小正周期为π，最大值为.
(2)由2kπ≤2x＋≤2kπ＋π，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递减区间为，k∈Z.
又因为x∈[0，π]，则f(x)在[0，π]上的单调递减区间为，.
1．已知tan α，tan β是一元二次方程x2＋2x－5＝0的两实根，则tan (α＋β)＝(　　)
A． B．－　　　
C． D．－
解析：选D．因为tan α，tan β是一元二次方程x2＋2x－5＝0的两实根，故可得tan α＋tan β＝－2，tan αtan β＝－5，故可得tan (α＋β)＝＝－＝－.故选D．
2．已知sin α－cos α＝，则sin 2α的值为(　　)
A． B．－
C． D．－
解析：选C．因为sin α－cos α＝，
两边同时平方得sin2α－2sinαcos α＋cos2α＝，
所以1－sin2α＝，所以sin 2α＝，故选C．
3．函数f(x)＝2sin ·sin 的最大值是(　　)
A． B．
C．－ D．－
解析：选A．f(x)＝2sin ·
sin ＝2×·－
＝－cos ＋cos ＝－＋cos ≤－＋1＝，即f(x)的最大值为.
故选A．
4．计算：的结果为(　　)
A．1 B．2
C．－1 D．－2
解析：选B．＝
＝＝＝2.
故选B．
5．已知α∈，β∈，cos ＝，cos ＝.
(1)求sin 2α的值；
(2)求cos (α＋β)的值．
解：(1)sin 2α＝－cos ＝－cos
＝1－2cos2＝1－2×＝.
(2)由于α∈，β∈，
所以＋α∈，β－∈，
所以sin＝＝＝，
sin＝－＝－，
所以cos(α＋β)＝cos
＝cos cos －sin sin ＝×－×＝.
6．已知函数f(x)＝cos x sin －cos 2x－，x∈R.
(1)求f(x)单调递增区间；
(2)求f(x)在的最大值和最小值．
解：(1)f(x)＝cos x·－cos 2x－
＝cos x sin x＋cos2x－cos2x－
＝sin 2x＋(cos 2x＋1)－cos 2x－
＝sin 2x－cos 2x＝sin .
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋ kπ－≤x≤kπ＋，
所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
(2)因为x∈ 2x－∈，
所以sin ∈，
所以f(x)max＝，f(x)min＝－.
[A　基础达标]
1．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝(　　)
A．－ B．　　　
C．－ D．
解析：选D．原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝，故选D．
2．在△ABC中，若sin B＝2sin A cos C，那么△ABC一定是(　　)
A．等腰直角三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
解析：选B．因为sin B＝2sin A cos C，所以sin (A＋C)＝2sin A cos C，所以sin A cos C＋cos A sin C＝2sin A cos C，所以sin A cos C－cos A sin C＝0，所以sin (A－C)＝0，所以A－C＝0，所以A＝C.所以三角形是等腰三角形．故选B．
3．已知角α，β均为锐角，且cos α＝，tan (α－β)＝－，则tan β＝(　　)
A． B．
C． D．3
解析：选D．因为角α，β均为锐角，且cos α＝，所以sin α＝＝，tanα＝，
又tan (α－β)＝＝＝－，所以tan β＝3，故选D．
4．函数f(x)＝sin x＋cos x的最大值是________．
解析：f(x)＝sin x＋cos x＝2sin ，故函数的最大值为2.
答案：2
5．(tan 10°－)sin 40°＝________．
解析：(tan 10°－)sin 40°＝(－)·sin 40°
＝×sin 40°＝2××sin 40°
＝2××sin 40°＝×sin 40°＝＝－1.
答案：－1
6．若0<α<，0<β<，且tan α＝，tan β＝，则α＋β的值为________．
解析：由tan α＝，tan β＝得tan (α＋β)＝＝＝＝1，因为0<α<，0<β<，所以0<α＋β<π，则α＋β＝.
答案：
7．已知tan α＝2，其中α∈.
(1)求的值；
(2)求cos的值．
解：(1)由于tan α＝2，其中α∈，
所以＝＝＝＝＝.
(2)由于tanα＝2，其中α∈，
可得cos α＝＝＝，sinα＝＝，
cos＝cos α－sin α＝×－×＝－.
8．已知A，B，C是△ABC的三个内角，且tan A，tan B是方程3x2＋8x－1＝0的两个实根，求tan C．
解：因为tan A，tan B是方程3x2＋8x－1＝0的两个实根，
所以tan A＋tan B＝－，tan A tan B＝－，
所以tan (A＋B)＝＝＝－2.
又A＋B＋C＝π，所以tan C＝tan [π－(A＋B)]＝－tan (A＋B)＝2.
9．已知α∈，且sin α＝.
(1)求tan 的值；
(2)求的值．
解：(1)因为α∈，且sin α＝，
所以cos α＝－＝－.
所以tanα＝＝－.
所以tan ＝＝－7.
(2)由(1)知，sin 2α＝2sin αcos α＝－，
1＋cos 2α＝2cos2α＝.
所以＝＝－.
[B　能力提升]
10．(多选)已知sin θ＝－，且cos θ>0，则(　　)
A．tan θ<0 B．tan2θ>
C．sin2θ>cos2θ D．sin2θ>0
解析：选AB．因为sin θ＝－，且cos θ>0，所以cos θ＝＝，tan θ＝－，A正确；tan2θ＝>，B正确；sin2θ＝，cos2θ＝，sin2θ11．(多选)(2021·新高考卷Ⅰ)已知O为坐标原点，点P1(cos α，sin α)，P2(cos β，－sin β)，P3(cos (α＋β)，sin (α＋β))，A(1，0)，则(　　)
A．|OP1|＝|OP2|
B．|AP1|＝|AP2|
C．·3＝OP1·OP2
D．·OP1＝OP2·OP3
解析：选AC．由题可知，|OP1|＝＝1，|OP2|＝＝1，所以|OP1|＝|OP2|，故A正确；取α＝，则P1，取β＝，则P2，则|AP1|≠|AP2|，故B错误；因为·OP3＝cos (α＋β)，OP1·OP2＝cos αcos β－sin αsin β＝cos (α＋β)，所以·OP3＝OP1·OP2，故C正确；因为·OP1＝cos α，OP2·OP3＝cos βcos (α＋β)－sin βsin (α＋β)＝cos (α＋2β)，取α＝，β＝，则·OP1＝，OP2·OP3＝cos ＝－，所以·OP1≠OP2·OP3，故D错误．故选AC．
12．求值：＝________．
解析：
＝
＝
＝＝tan 60°＝.
答案：
[C　拓展探究]
13．化简：(0<α<π)＝________．
解析：
＝
＝
＝＝，
因为0<α<π，所以0<<，所以cos >0，
则＝＝cos α.
答案：cos α
14．设函数f(x)＝sin x cos x－cos2x－，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若x∈，求函数f(x)的最值．
解：(1)因为f(x)＝sinx cos x－cos2x－
＝sin2x－－＝sin －1，x∈R.
所以T＝＝π.
(2)因为x∈，所以2x－∈，
所以sin ∈，
所以函数f(x)max＝f＝0，f(x)min＝f(0)＝－，
所以函数f(x)在区间上的最大值为0，最小值为－.