11.3　余弦定理、正弦定理的应用 学案

11．3　余弦定理、正弦定理的应用
学习指导 核心素养
1.理解测量中的有关名词、术语的确切含义．2.会利用正、余弦定理解决生产实践中的有关距离、角度等问题．3.能够运用正、余弦定理解决三角形中的面积等综合问题． 1.直观想象、数学建模：正、余弦定理的实际应用．2.直观想象、数学运算：正、余弦定理在平面几何中的应用．
1．实际测量中的有关名称、术语
名称 定义 图示
基线 在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫作基线
仰角 在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角
俯角 在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角
方向角 从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90°) 南偏西60°(指以正南方向为始边，转向目标方向线形成的角)
方位角 从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角
2.解三角形应用题的基本步骤
(1)分析：理解题意，弄清已知与未知，画出示意图(一个或几个三角形).
(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与待求量尽可能地集中在同一个三角形中，建立一个解三角形的数学模型．
(3)求解：利用正弦定理、余弦定理解三角形，求得数学模型的解．
(4)检验：检验所求的解是否符合实际问题，从而得出实际问题的解．
3．三角形的面积公式
(1)S＝a·ha＝b·hb＝c·hc(ha，hb，hc分别表示边a，b，c上的高).
(2)S＝ab sin C＝bc sin A＝ac sin B．
(3)S＝(a＋b＋c)·r(r为△ABC内切圆的半径).
三角形的面积公式S＝ab sin C与原来的面积公式S＝a·h(h为a边上的高)的关系为h＝b sin C，实质上b sin C就是△ABC中a边上的高h.
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)方向角与方位角是同一概念．(　　)
(2)方位角的范围是.(　　)
(3)北偏西10°指的是方位角．(　　)
(4)若P在Q的北偏东44°，则Q在P的东偏北44°方向．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2．轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港O，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25 n mile/h，15 n mile/h，则14时两船之间的距离是(　　)
A．50 n mile　 B．70 n mile
C．90 n mile D．110 n mile
解析：选B．如图，设轮船A和轮船B两个小时后分别到达点C，D两处，则OC＝50，OD＝30，∠DOC＝120°.
由余弦定理可得
CD2＝OC2＋OD2－2OC·OD cos 120°
＝502＋302－2×50×30×(－)
＝2 500＋900＋1 500
＝4 900，
所以CD＝70 n mile.
3．在△ABC中，A＝60°，AB＝1，AC＝2，则S△ABC的值为(　　)
A． B．
C． D．2
解析：选B．S△ABC＝AB·AC sin A＝×1×2×＝.
4.如图，要测出山上一座天文台BC的高，从山脚A处测得AC＝60 m，天文台最高处B的仰角为45°，天文台底部C的仰角为15°，则天文台BC的高为________m.
解析：由题图，可得∠B＝45°，∠BAC＝30°，故BC＝＝＝30(m).
答案：30
探究点1　测量距离问题
海上A，B两个小岛相距10 n mile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离是________．
【解析】　如图，在△ABC中，∠C＝180°－(∠B＋∠A)＝45°，
由正弦定理，可得＝，
所以BC＝×10＝5(n mile).
【答案】　5 n mile
测量距离问题的解题思路
选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．构造数学模型时，尽量把已知元素放在同一个三角形中．　
1．要测量河对岸A，B两点之间的距离，选取相距 km的C，D两点，并测得∠BCA＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，则AB＝(　　)
A．2 km　　 B． km
C．3 km D． km
解析：选B．在△ACD中，∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°，
所以AC＝CD＝ km.
在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°，
所以BC＝＝(km).
在△ABC中，由余弦定理，得
AB2＝3＋－2×××cos 75°＝5，
所以AB＝ km.
2．如图，若小河两岸平行，为了知道河对岸两棵树C，D(CD与河岸平行)之间的距离，选取岸边两点A，B(AB与河岸平行)，测得数据：AB＝6 m，∠ABD＝60°，∠DBC＝90°，∠DAB＝75°，试求C，D之间的距离．
解：∠ABC＝∠ABD＋∠DBC＝150°.
因为AB∥CD，所以∠C＝180°－150°＝30°.
在△ABD中，AB＝6，∠ADB＝180°－75°－60°＝45°，
所以AD＝＝＝3，
所以BD＝＝＝3＋3.
在Rt△DBC中，CD＝＝＝6＋6.
所以C，D之间的距离为(6＋6)m.
探究点2　测量高度问题
　如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.
【解析】　由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.
又AB＝600 m，故由正弦定理得＝，
解得BC＝300 m．在Rt△BCD中，CD＝BC·tan 30°＝300×＝100(m).
【答案】　100
测量高度问题的解题思路
这里要解决的主要是一些底部不能到达或者无法直接测量的物体的高度问题．常用正弦定理或余弦定理计算出物体的顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．这类物体高度的测量是在与地面垂直的竖直平面内构造三角形或者在空间构造三棱锥，再依据条件利用正、余弦定理解其中的一个或者几个三角形，从而求出所需测量物体的高度．　
如图，要在山坡上A，B两处测量与地面垂直的铁塔CD的高，由A，B两处测得塔顶C的仰角分别为60°和45°，AB长为40 m，斜坡与水平面成30°角，则铁塔CD的高为________m.
解析：延长CD交过A，B的水平线于点E，F，因为∠CAE＝60°，∠CBF＝45°，∠DBF＝30°，
所以∠BCF＝45°，∠ACE＝30°，∠BDF＝60°，
所以∠BCA＝15°，∠ADC＝120°，∠CBA＝15°，∠CAD＝30°.
所以AC＝AB＝40 m，
在△ACD中，由正弦定理，得＝，
即＝，解得CD＝.
答案：
探究点3　测量角度问题
如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处(－1)n mile的B处有一艘走私船．在A处北偏西75°方向，距A处2 n mile的C处的我方缉私船奉命以10 n mile/h的速度追截走私船，此时走私船正以10 n mile/h的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．
【解】　设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，
则CD＝10t，BD＝10t，
在△ABC中，由余弦定理，得
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos A＝(－1)2＋22－2(－1)·2·cos 120°＝6.
所以BC＝.
又因为＝，
所以sin ∠ABC＝＝＝，
又∠ABC∈(0°，60°)，所以∠ABC＝45°，
所以B点在C点的正东方向上，
所以∠CBD＝90°＋30°＝120°，
在△BCD中，由正弦定理得＝，
所以sin ∠BCD＝＝＝.
又因为∠BCD∈(0°，60°)，所以∠BCD＝30°，
所以缉私船沿北偏东60°的方向行驶．
又在△BCD中，∠CBD＝120°，
∠BCD＝30°，
所以∠CDB＝30°，所以BD＝BC，即10t＝.
所以t＝ h≈15 min.
所以缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15 min.
测量角度问题的基本思路
(1)测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，在图形中标出相关的角和距离．
(2)根据实际选择正弦定理或余弦定理解三角形，然后将解得的结果转化为实际问题的解．　
若点A在点C的北偏东30°方向上，点B在点C的南偏东60°方向上，且AC＝BC，则点A在点B的(　　)
A．北偏东15°方向上 B．北偏西15°方向上
C．北偏东10°方向上 D．北偏西10°方向上
解析：选B．如图所示，∠ACB＝90°.又因为AC＝BC，
所以∠CBA＝45°.
因为β＝30°，所以α＝90°－45°－30°＝15°.所以点A在点B的北偏西15°方向上．
探究点4　三角形中的几何计算
已知四边形ABCD的内角A与C互补，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2.
(1)求C和BD；
(2)求四边形ABCD的面积．
【解】　(1)连接BD，则由题设及余弦定理得，
BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD cos C＝13－12cos C，①
BD2＝AB2＋DA2－2AB·DA cos A＝5＋4cos C．②
由①②得cos C＝，
故C＝60°，BD＝.
(2)四边形ABCD的面积
S＝AB·DA sin A＋BC·CD sin C
＝sin 60°＝2.
三角形中几何计算问题的解题思路
(1)正确挖掘图形中的几何条件简化运算是解题要点，善于应用正弦定理、余弦定理，只需通过解三角形，一般问题便能很快解决．
(2)此类问题突破的关键是仔细观察，发现图形中较隐蔽的几何条件．　
(2021·南通调研)已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若cos2A＋cos2C－cos2B＝1－sinA sin C．
(1)求角B的大小；
(2)若b＝，求2a＋c的最大值．
解：(1)因为cos2A＋cos2C－cos2B＝1－sin A sin C，
所以(1－sin2A)＋(1－sin2C)－(1－sin2B)＝1－sinA sin C．
所以sin2B＝sin2A＋sin2C－sinA sin C．
所以由正弦定理可得b2＝a2＋c2－ac.
所以由余弦定理可得cos B＝＝.
因为B∈(0，π)，所以B＝.
(2)记R为△ABC外接圆半径．
因为b＝，B＝，由正弦定理可得＝2R＝2.
所以2a＋c＝4R sin A＋2R sin C＝4sin A＋2sin
＝4sin A＋2sin cos A－2cos sin A
＝5sin A＋cos A＝2sin (A＋φ)，其中tan φ＝.
因为01．若P在Q的北偏东44°50′方向上，则Q在P的(　　)
A．东偏北45°10′方向上　　
B．东偏北45°50′方向上
C．南偏西44°50′方向上
D．西偏南45°50′方向上
解析：选C．如图所示．
2．如图，D，C，B三点在地面同一直线上，从地面上C，D两点望山顶A，测得它们的仰角分别为45°和30°，已知CD＝200 m，点C位于BD上，则山高AB等于(　　)
A．100 m　 B．50(＋1)m
C．100(＋1)m D．200 m
解析：选C．设AB＝x m，在Rt△ACB中，∠ACB＝45°，所以BC＝AB＝x.
在Rt△ABD中，∠D＝30°，则BD＝AB＝x.
因为BD－BC＝CD，所以x－x＝200，
解得x＝100(＋1).故选C．
3．已知台风中心位于城市A东偏北α(α为锐角)度的150公里处，以v km/h沿正西方向快速移动，2.5小时后到达距城市A西偏北β(β为锐角)度的200公里处，若cos α＝cos β，则v＝(　　)
A．60 B．80
C．100 D．125
解析：选C．画出图象如图所示，由余弦定理得(2.5v)2＝2002＋1502＋2×200×150cos (α＋β)①，由正弦定理得＝，所以sin α＝sin β．又cos α＝cos β，sin2 α＋cos2α＝1，解得sin β＝，故cos β＝，sin α＝，cos α＝，故cos (α＋β)＝－＝0，代入①解得v＝100.
4．在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行，此时，风向北偏东30°方向刮去，风速是20 km/h.水向正东方向流去，流速是20 km/h.若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的速度的方向为北偏东________，大小为________km/h.
解析：如图所示，由题意知四边形OACB为菱形，
||＝20，||＝20，∠OAC＝120°，由余弦定理知||2＝202＋202－2×20×20×cos 120°＝1 200，故||＝20，∠COY＝30°＋30°＝60°.
答案：60°　20
[A　基础达标]
1．某观察站C与两灯塔A，B的距离分别为300米和500米，测得灯塔A在观察站C的北偏东30°方向上，灯塔B在观察站C的正西方向上，则两灯塔A，B间的距离为(　　)
A．500米　　 B．600米
C．700米 D．800米
解析：选C．由题意，在△ABC中，AC＝300米，BC＝500米，∠ACB＝120°.利用余弦定理可得AB2＝3002＋5002－2×300×500×cos 120°，所以AB＝700米．故选C．
2．若某人在点A测得金字塔顶端仰角为30°，此人往金字塔方向走了80 m到达点B，测得金字塔顶端的仰角为45°，则金字塔的高度最接近于(忽略人的身高)(　　)
A．110 m B．112 m
C．220 m D．224 m
解析：选A．如图，设CD为金字塔，AB＝80 m．设CD＝h，则由已知得(80＋h)×＝h，h＝40(＋1)≈109.从选项来看110最接近，故选A．
3．有一坡面长为10 m的斜坡，倾斜角为75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，要通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延长(　　)
A．5 m B．10 m
C．10 m D．10 m
解析：选C．如图，∠BDA＝75°，∠ACB＝30°，∠DBC＝45°，BD＝10 m．由正弦定理，得＝，所以CD＝＝＝10(m).
4．一船向正北方向航行，看见正西方向有相距10 n mile的两个灯塔恰好与它在一条直线上，船继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这艘船的速度是(　　)
A．5 n mile/h B．5 n mile/h
C．10 n mile/h D．10 n mile/h
解析：选D．如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10 n mile，在直角三角形ABC中，由正弦定理可得AB＝5 n mile，所以这艘船的速度是10 n mile/h.故选D．
5．(2021·无锡检测)如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔20 000 m，速度为900 km/h，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过80 s后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔为(　　)
A．5 000(＋1)m B．5 000(－1)m
C．5 000(3－)m D．5 000(5－)m
解析：选C．如图，过点C作CD⊥AB于点D.
由题意知∠A＝30°，∠CBD＝75°，则∠ACB＝45°，AB＝900×80×＝20(km).
所以在△ABC中，由正弦定理，得BC＝10 km.
因为CD⊥AD，所以CD＝BC sin ∠CBD＝BC×sin 75°＝10sin 75°＝5＋5(km).
山顶的海拔为[20－(5＋5)]km＝5 000(3－)m.故选C．
6．如图所示为一角槽，已知AB⊥AD，AB⊥BE，并测量得AC＝3 mm，BC＝2 mm，AB＝ mm，则∠ACB＝________．
解析：在△ABC中，由余弦定理得
cos ∠ACB＝＝－.
因为∠ACB∈(0，π)，所以∠ACB＝.
答案：
7．湖中有一小岛，沿湖有一条南北方向的公路，在这条公路上的一辆汽车上测得小岛在南偏西15°方向，汽车向南行驶1 km后，又测得小岛在南偏西75°方向，则小岛到公路的距离是________km.
解析：如图，∠CAB＝15°，∠CBA＝180°－75°＝105°，∠ACB＝180°－105°－15°＝60°，AB＝1 km.由正弦定理得＝，BC＝＝(km).设C到直线AB的距离为d，则d＝BC sin 75°＝×＝(km).
答案：
8.如图，为了测量河对岸的塔高AB，有不同的方案，其中之一是选取与塔底B在同一水平面内的两个点C和D，测得CD＝200 m，在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是45°和30°，且∠CBD＝30°，则塔高AB＝________ m．
解析：在Rt△ABC中，∠ACB＝45°.
设AB＝h，则BC＝h，
在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，
所以BD＝h.
在△BCD中，∠CBD＝30°，CD＝200 m，
由余弦定理可得
40 000＝h2＋3h2－2h·h·，
解得h＝200(负值舍去)，
所以塔高AB＝200 m.
答案：200
9.如图，在△ABC中，B＝30°，D是BC边上的一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3.
(1)求△ADC的面积；
(2)求边AB的长．
解：(1)在△ADC中，由余弦定理得
cos ∠ADC＝＝＝－.
因为∠ADC为三角形的内角，所以∠ADC＝120°，所以sin ∠ADC＝.
所以S△ADC＝AD·DC·sin ∠ADC＝×5×3×＝.
(2)在△ABD中，∠ADB＝60°，由正弦定理得＝，
所以AB＝×＝5.
10．空中有一气球D，在它正西方向的地面上有一点A，在此处测得气球的仰角为45°，同时在气球的南偏东60°方向的地面上有一点B，在此处测得气球的仰角为30°，两观察点A，B相距266 m，计算气球的高度．
解：如图，设CD＝x m，
在Rt△ACD中，∠DAC＝45°，
所以AC＝CD＝x m.
在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，
所以CB＝＝x(m).
在△ABC中，∠ACB＝90°＋60°＝150°，
由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2·AC·BC·cos ∠ACB，
所以2662＝x2＋(x)2－2·x·x·.
解得x＝38(负值舍去).所以气球的高度为38 m．
[B　能力提升]
11.如图，A，B两船相距10 n mile，B船在A船南偏西45°方向上，B船向正南方向行驶，A船以B船速度的倍追赶B船，A船若用最短的时间追上B船，A船行驶的角度为(　　)
A．南偏西30°
B．南偏西15°
C．南偏东30°
D．南偏东15°
解析：选B．设B船的速度为v，A船的速度为v，经过t时，A船在C点追上B船，则BC＝tv，AC＝tv，∠ABC＝135°，如图所示：
在△ABC中，由正弦定理得，＝，所以sin ∠BAC＝＝tv·×＝.因为0°12.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则A，B两点间的距离为(　　)
A．80 B．80
C．160 D．80
解析：选D．在△ADC中， ∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝135°＋15°＝150°，
所以∠DAC＝180°－∠ACD－∠ADC＝15°，所以AD＝DC＝80，
在△BDC中，∠DCB＝∠ACB＋∠ACD＝120°＋15°＝135°，
所以∠DBC＝180°－∠BCD－∠BDC＝30°.
所以＝，所以BD＝＝80.
在△BDA中， AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos 135°
＝802＋(80)2－2×80×80×(－)＝802×5，所以AB＝80，故选D．
13．已知△ABC的三个内角满足2B＝A＋C，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为________．
解析：由2B＝A＋C，及A＋B＋C＝π知，B＝.
在△ABD中，AB＝1，BD＝＝2，
所以AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD cos ＝3.
因此AD＝.
答案：
14．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步．欲知为田几何．”这道题讲的是有一个三角形沙田，三边分别为13里，14里，15里，假设1里按500米计算，则该沙田的面积为________平方千米．
解析：设△ABC 的对应边边长分别为a＝13里，b＝14里，c＝15里，cos C＝ ＝，
所以sin C＝，所以S＝×13×14××250 000＝21×106平方米＝21平方千米．
答案：21
[C　拓展探究]
15．如图，在海岛A上有一座海拔1 km的山，山顶设有一个观察站P(观察站高度忽略不计)，上午11时，测得一轮船在岛北偏东30°方向，俯角为30°的B处，到11时10分又测得该船在岛北偏西60°方向，俯角为60°的C处．
(1)求船的航行速度是每小时多少千米？
(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D处，问此时船距岛A有多远？
解：(1)在Rt△PAB中，∠APB＝60°，AP＝1 km，
所以AB＝AP tan 60°＝(km).
在Rt△PAC中，∠APC＝30°，
所以AC＝AP tan 30°＝(km).
在△ACB中，∠CAB＝30°＋60°＝90°，
所以BC＝＝ ＝(km).
则船的航行速度为÷＝2(km/h).
(2)在△ACD中，∠DAC＝90°－60°＝30°，
sin ∠DCA＝sin (180°－∠ACB)＝sin ∠ACB＝＝＝，
sin ∠CDA＝sin (∠ACB－30°)
＝sin ∠ACB·cos 30°－cos ∠ACB·sin 30°
＝×－　＝.
由正弦定理得＝，
所以AD＝
＝＝(km).
故此时船距岛A有 km.