第11章　解三角形 章末复习提升课 学案

章末复习提升课
主题1　利用正、余弦定理解三角形
　(2020·高考江苏卷)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝3，c＝，B＝45°.
(1)求sin C的值；
(2)在边BC上取一点D，使得cos ∠ADC＝－，求tan ∠DAC 的值．
【解】　(1)在△ABC中，因为a＝3，c＝，B＝45°，
由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B，得b2＝9 ＋2－2×3×cos 45°＝5，所以b＝.
在△ABC中，由正弦定理＝，
得＝，
所以sin C＝.
(2)在△ADC中，因为cos ∠ADC＝－，所以∠ADC为钝角，
而∠ADC＋C＋∠CAD＝ 180°，所以C为锐角．
故cos C＝＝，则tan C＝＝.
因为cos ∠ADC＝－，所以sin ∠ADC＝＝，
tan∠ADC＝＝－，
从而tan ∠DAC＝tan (180°－∠ADC－C)＝
－tan (∠ADC＋C)＝－＝－＝.
解三角形的一般方法
(1)已知两角和一边，如已知A，B和c，由A＋B＋C＝π求C，由正弦定理求a，b.
(2)已知两边和这两边的夹角，如已知a，b和C，应先用余弦定理求c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A＋B＋C＝π，求另一角．
(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a，b和A，应先用正弦定理求B，由A＋B＋C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解可能有多种情况．
(4)已知三边a，b，c，可应用余弦定理求A，B，C.　
1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为，则C＝(　　)
A． B．　　　
C． D．
解析：选C．根据题意及三角形的面积公式知ab sin C＝，所以sin C＝＝cos C，所以在△ABC中，C＝.
2．在△ABC中，已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A＝30°，B＝120°，b＝5，则c＝________．
解析：因为A＝30°，B＝120°，
所以C＝180°－(A＋B)＝30°，
由正弦定理得，c＝＝＝.
答案：
3．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.向量m＝(a，b)与n＝(cos A，sin B)平行．
(1)求A；
(2)若a＝，b＝2，求△ABC的面积．
解：(1)因为m∥n，所以a sin B－b cos A＝0，
由正弦定理，得 sin A sin B－sin B cos A＝0.
又sin B≠0，从而tan A＝，
由于0(2)方法一：由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，a＝，b＝2，A＝，得7＝4＋c2－2c，即c2－2c－3＝0，
因为c>0，所以c＝3.
故△ABC的面积为bc sin A＝.
方法二：由正弦定理，得＝，从而sin B＝.
又由a>b，知A>B，所以cos B＝.
故sin C＝sin (A＋B)＝sin (B＋)＝sin B cos ＋cos B sin ＝.
所以△ABC的面积为ab sin C＝.
主题2　判断三角形的形状
在△ABC中，若已知b2sin2C＋c2sin2B＝2bc cosB·cos C，试判断三角形的形状．
【解】　由正弦定理的推论，得＝＝＝2R，
则已知条件转化为
4R2sin2B sin2C＋4R2sin2C sin2B
＝8R2sinB sin C cos B cos C．
因为sin B sin C≠0，所以sin B sin C＝cos B cos C，
所以cos (B＋C)＝0.
因为0°所以△ABC为直角三角形．
判定三角形形状的两种途径
(1)通过正弦定理和余弦定理化边为角，如a＝2R sin A，a2＋b2－c2＝2ab cos C等，再利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断，此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如sin A＝sin B A＝B，sin (A－B)＝0 A＝B，sin 2A＝sin 2B A＝B或A＋B＝等．
(2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，如sin A＝，cos A＝等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断．　
在△ABC中，若lg sin A－lg cos B－lg sin C＝lg 2，则该三角形的形状是(　　)
A．等腰三角形　　 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
解析：选A．因为lg sin A－lg cos B－lg sin C＝lg 2，所以＝2，
由正弦定理可得＝，所以＝.
所以cos B＝.所以cos B＝＝.
整理得c2＝b2，c＝b.所以△ABC的形状是等腰三角形，故选A．
主题3　正、余弦定理的实际应用
已知海岛A周围8 n mile内有暗礁，有一货轮由西向东航行，望见岛A在北偏东75°，航行20 n mile后，见此岛在北偏东30°，若货轮不改变航向继续前进，有无触礁危险？
【解】　如图所示，在△ABC中，
依题意得BC＝20 n mile，
∠ABC＝90°－75°＝15°，
∠BAC＝60°－∠ABC＝45°.
由正弦定理，得＝，
所以AC＝＝10(－)(n mile).
过点A作AD⊥BC.
故A到航线的距离为AD＝AC sin 60°
＝10(－)×＝(15－5)(n mile).
因为15－5>8，
所以货轮无触礁危险．
正、余弦定理在实际应用中应注意的问题
(1)分析题意，弄清已知元素和未知元素，根据题意画出示意图．
(2)明确题目中的一些名词、术语的意义，如仰角、俯角、方向角、方位角等．
(3)将实际问题中的数量关系归结为数学问题，利用学过的几何知识，作出辅助线，将已知与未知元素归结到同一个三角形中，然后解此三角形．
(4)在选择关系时，一是力求简便，二是要尽可能使用题目中的原有数据，尽量减少计算中误差的积累．
(5)按照题目中已有的精确度计算，并根据题目要求的精确度确定答案并注明单位．　
1．高铁是我国国家名片之一，高铁的修建凝聚着中国人的智慧与汗水．如图所示，B，E，F为山脚两侧共线的三点，在山顶A处测得这三点的俯角分别为30°，60°，45°，计划沿直线BF开通穿山隧道，现已测得BC，DE，EF三段线段的长度分别为3，1，2.
(1)求出线段AE的长度；
(2)求出隧道CD的长度．
解：(1)由已知可得EF＝2，∠F＝45°，∠EAF＝60°－45°＝15°，
在△AEF中，由正弦定理得，＝，即＝，
解得AE＝2.
(2)由已知可得∠BAE＝180°－30°－60°＝90°，在Rt△ABE 中，BE＝2AE＝4，所以隧道长度CD＝BE－BC－DE＝4.
2.如图，A，C两岛之间有一片暗礁，一艘小船于某日上午8时从A岛出发，以10 n mile/h的速度，沿北偏东75°方向直线航行，下午1时到达B处，然后以同样的速度，沿北偏东15°方向直线航行，下午4时到达C岛．
(1)求A，C两岛之间的直线距离；
(2)求∠BAC的正弦值．
解：(1)在△ABC中，由已知得AB＝10×5＝50，BC＝10×3＝30，∠ABC＝180°－75°＋15°＝120°.
根据余弦定理，得AC2＝502＋302－2×50×30cos 120°＝4 900，
所以AC＝70.故A，C两岛之间的直线距离是70 n mile.
(2)在△ABC中，由正弦定理，得＝，
所以sin ∠BAC＝＝＝.
故∠BAC的正弦值是.
主题4　正、余弦定理与三角函数的综合应用
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsin A＝acos.
(1)求角B的大小；
(2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值．
【解】　(1)在△ABC中，由正弦定理＝，可得bsin A＝asin B，又由bsin A＝
acos，得asin B＝acos，即sin B＝cos，可得tan B＝.又因为B∈(0，π)，可得B＝.
(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝，
得b2＝a2＋c2－2accos B＝7，故b＝.
由bsin A＝acos，可得sin A＝.因为a因此sin 2A＝2sin Acos A＝，cos 2A＝2cos2A－1＝，
所以sin(2A－B)＝sin 2Acos B－cos 2Asin B＝×－×＝.
正、余弦定理与三角函数综合应用的求解策略
(1)首先要熟练使用正、余弦定理，其次要根据条件，合理选用三角函数公式，达到简化问题的目的．
(2)利用正、余弦定理解三角形问题时，常与平面向量等知识结合给出问题的条件，这些知识的加入，一般只起“点缀”作用，难度较小，易于化简．　
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＋c2＝b2＋ac.
(1)求角B的大小；
(2)求cos A＋cos C的最大值．
解：(1)由余弦定理及题设，得cos B＝＝＝.
又因为0(2)由(1)知∠A＋∠C＝，则
cos A＋cos C＝cos A＋cos
＝cos A－cos A＋sin A
＝cos A＋sin A＝cos .
因为0所以当A＝时，cos A＋cos C取得最大值1.
1．在△ABC中，B＝45°，C＝60°，c＝1，则最短边长为(　　)
A．　 B．
C． D．
解析：选B．A＝180°－(60°＋45°)＝75°，
故最短边为b，由正弦定理可得＝，
即b＝＝＝，故选B．
2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B＝，C＝，则△ABC的面积为(　　)
A．2＋2 B．＋1
C．2－2 D．－1
解析：选B．根据正弦定理，＝，解得c＝2，A＝π，且sin π＝，所以S△ABC＝bc sin A＝＋1.
3．在△ABC中，已知sin2A＝sin2B＋sin2C，且sinA＝2sin B cos C，则△ABC的形状是(　　)
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
解析：选D．由sin2A＝sin2B＋sin2C及正弦定理可知a2＝b2＋c2，所以A为直角；而由sinA＝2sin B cos C，可得sin (B＋C)＝2sin B cos C, 整理得sin B cos C＝cos B sin C，即sin (B－C)＝0，故B＝C.综合上述，B＝C＝，A＝.即△ABC为等腰直角三角形．
4．在锐角三角形ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边．若2a sin B＝b，b＋c＝5，bc＝6，则a＝________．
解析：因为2a sin B＝b，所以2sin A sin B＝sin B．
所以sin A＝.因为△ABC为锐角三角形，
所以cos A＝.因为bc＝6，b＋c＝5，
所以b＝2，c＝3或b＝3，c＝2.
所以a2＝b2＋c2－2bc cos A＝22＋32－2×6×＝7.所以a＝.
答案：
5．在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝2A.
(1)求cos A的值；
(2)求c的值．
解：(1)因为a＝3，b＝2，B＝2A，所以在△ABC中，由正弦定理得＝.
所以＝.故cos A＝.
(2)由(1)知cos A＝，
所以sin A＝＝.
又因为B＝2A，
所以cosB＝2cos2A－1＝.
所以sinB＝＝.
在△ABC中，sinC＝sin (A＋B)
＝sin A cos B＋cos A sin B＝.
所以c＝＝5.
6．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且cos B＝，b＝2.
(1)当A＝时，求a的值；
(2)若△ABC的面积为3，求a＋c的值．
解：(1)因为cos B＝>0，所以B∈，
所以sin B＝.
由正弦定理＝，得＝，解得a＝.
(2)由△ABC的面积S＝ac sin B，得ac×＝3，得ac＝10.
由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B，得4＝a2＋c2－ac＝a2＋c2－16，即a2＋c2＝20，
所以(a＋c)2－2ac＝20，即(a＋c)2＝40，
所以a＋c＝2.
[A　基础达标]
1．在△ABC中，B＝45°，C＝60°，c＝1，则最短边长为(　　)
A． B．
C． D．
解析：选B．A＝180°－(60°＋45°)＝75°，
故最短边为b，由正弦定理可得＝，
即b＝＝＝，故选B．
2．若三角形的两边长为3和5，其夹角的余弦值是方程5x2－7x－6＝0的根，则该三角形的面积是(　　)
A．6　　　　 B．
C．8 D．10
解析：选A．解方程5x2－7x－6＝0，得x＝－或x＝2(舍去).设三角形边长为3，5的两边的夹角为α，则cos α＝－，sin α＝，故该三角形的面积S＝×3×5×＝6.
3．(多选)若△ABC的面积为，且b＝2，c＝，则A的值为(　　)
A．30° B．60°
C．150° D．120°
解析：选BD．由S△ABC＝bc sin A＝，
得sin A＝，sin A＝，
由0°4．在△ABC中，已知sin2A＝sin2B＋sin2C，且sinA＝2sin B cos C，则△ABC的形状是(　　)
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
解析：选D．由sin2A＝sin2B＋sin2C及正弦定理可知a2＝b2＋c2 A为直角；而由sinA＝2sin B cos C，可得sin (B＋C)＝2sin B cos C, 整理得sin B cos C＝cos B sin C，即sin (B－C)＝0，故B＝C.综合上述，B＝C＝，A＝.即△ABC为等腰直角三角形．
5．飞机沿水平方向飞行，在A处测得正前下方地面目标C的俯角为30°，向前飞行10 000米，到达B处，此时测得目标C的俯角为75°，这时飞机与地面目标C的距离为(　　)
A．5 000米 B．5 000米
C．4 000米 D．4 000米
解析：选B．如图，在△ABC中，AB＝10 000米，A＝30°，C＝75°－30°＝45°.根据正弦定理得，BC＝＝＝5 000 (米).
6．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且a＝2，cos C＝－，3sin A＝2sin B，则c＝________．
解析：因为3sin A＝2sin B，所以3a＝2b.
又a＝2，所以b＝3.
由余弦定理可知c2＝a2＋b2－2ab cos C，
所以c2＝22＋32－2×2×3×＝16，
所以c＝4.
答案：4
7．在锐角三角形ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边．若2a sin B＝b，b＋c＝5，bc＝6，则a＝________．
解析：因为2a sin B＝b，所以2sin A sin B＝sin B．　
因为0所以sin A＝，因为△ABC为锐角三角形，
所以cos A＝，因为bc＝6，b＋c＝5，
所以b＝2，c＝3或b＝3，c＝2.
所以a2＝b2＋c2－2bc cos A＝22＋32－2×6×＝7，所以a＝.
答案：
8．在△ABC中，已知A＝60°，AB∶AC＝8∶5，面积为10，则其周长为________．
解析：设AB＝8k，AC＝5k，k>0，所以S△ABC＝AB·AC sin A＝10k2＝10.所以k＝1，AB＝8，AC＝5.由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos A＝82＋52－2×8×5×＝49，所以BC＝7.所以△ABC的周长为AB＋BC＋AC＝20.
答案：20
9.如图，在△ABC中，点P在边BC上，C＝，AP＝2，AC·PC＝4.
(1)求∠APB；
(2)若△ABC的面积为，求sin ∠PAB.
解：(1)在△APC中，设AC＝x, 因为AC·PC＝4，所以PC＝，
又因为C＝，AP＝2，由余弦定理得，AP2＝AC2＋PC2－2·AC·PC·cos ，
即22＝x2＋2－2·x··cos ，解得x＝2，所以AC＝PC＝AP，
所以△APC为等边三角形，所以∠APB＝.
(2)由S△ABC＝AC·BC·sin ＝，解得BC＝5，则BP＝3，作AD⊥BC交BC于D，如图所示：
由(1)知，在等边△APC中，AD＝，PD＝1，在Rt△ABD 中，AB＝＝＝.在△ABP中，由正弦定理得＝，所以sin ∠PAB＝＝.
10．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若B＝，且(a－b＋c)(a＋b－c)＝bc.
(1)求cos C的值；
(2)若a＝5，求△ABC的面积．
解：(1)由(a－b＋c)(a＋b－c)＝bc，
得a2－(b－c)2＝bc，
即a2＝b2＋c2－bc，由余弦定理，
得cos A＝＝，
所以sin A＝.又因为B＝，
所以cos C＝－cos (A＋B)＝－cos A cos B＋sin Asin B＝.
(2)由(1)得sin C＝.
在△ABC中，由正弦定理，得＝＝.
所以c＝＝8，所以S＝ac sin B＝×5×8×sin ＝10.
[B　能力提升]
11．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，则该四边形的面积等于(　　)
A． B．5
C．6 D．7
解析：选B．连接BD，在△BCD中，由已知条件，知∠DBC＝＝30°，所以∠ABD＝90°.在△BCD中，由余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD cos C，知BD2＝22＋22－2×2×2cos 120°＝12，所以BD＝2，所以S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝×4×2＋×2×2×sin 120°＝5.
12．某船在A处测得灯塔D在其南偏东60°方向上，该船继续向正南方向行驶5海里到B处，测得灯塔在其北偏东60°方向上，然后该船向东偏南30°方向行驶2海里到C处，此时船到灯塔D的距离为(　　)
A． 海里 B． 海里
C．6海里 D．5海里
解析：选A．根据题意可画图形如图所示，
因为在A处测得灯塔D在其南偏东60°方向，即∠BAD＝60°，
船继续向正南方向行驶5海里到B处，即AB＝5，
在B处测得灯塔在其北偏东60°方向上，即∠ABD＝60°，
所以△ABD为一个等边三角形，即AB＝BD＝5，
船向东偏南30°方向行驶2海里到C处，
根据图形可得∠DBC＝60°且BC＝2，
在△BCD中，由余弦定理可得，
CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos ∠DBC＝25＋4－2×5×2×＝19，解得CD＝，故选A．
13．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为________．
解析：因为bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，
所以由正弦定理得sin Bsin C＋sin Csin B＝4sin Asin Bsin C．
又sin Bsin C>0，所以sin A＝.
由余弦定理得cos A＝＝＝>0，
所以cos A＝，bc＝＝，
所以S△ABC＝bcsin A＝××＝.
答案：
14．(2021·徐州高一期末)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a cos C－c＝b.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝3，求△ABC的周长的取值范围．
解：(1)由a cos C－c＝b及正弦定理，
得sin A cos C－sin C＝sin B．
又因为A＋B＋C＝π，
所以sin B＝sin (A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C，
所以sin C＝－cos A sin C．
因为C∈(0，π)，所以sin C≠0，
所以cos A＝－.
又因为A∈(0，π)，所以A＝.
(2)由正弦定理，得b＝＝2sin B，c＝2sin C，
所以a＋b＋c＝3＋2(sin B＋sin C)
＝3＋2
＝3＋2＝3＋2sin .
因为A＝，
所以B∈，B＋∈.
所以sin ∈.
所以△ABC的周长的取值范围为(6，3＋2].
[C　拓展探究]
15．在①cos 2B－sin B＋2＝0；②2b cos C＝2a－c；③＝三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若________，且2b＝a＋c，则△ABC是否为等边三角形？若是，写出证明；若不是，说明理由．
解：选择①cos 2B－sin B＋2＝0，
证明：由余弦降幂公式可得1－2sin 2B－sin B＋2＝0，
即＝0，
由0又因为2b＝a＋c，则B为锐角，B＝，
由余弦定理可知b2＝a2＋c2－2ac cos B，
代入可得b2＝2－3ac，即b2＝ac，
则2＝ac，化简可得2＝0，
即a＝c，又因为B＝，
所以△ABC为等边三角形．
选择②2b cos C＝2a－c.
由正弦定理得2sin B cos C＝2sin A－sin C，
故2sin B cos C＝2sin (B＋C)－sin C，
整理得2cos B sin C－sin C＝0，
因为00，
即cos B＝，
因为00，
即cos B＝，因为0所以B＝.又因为2b＝a＋c，
由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B，
得a2＋c2－2ac＝0，即a＝c，
故△ABC为等边三角形．
选择③＝.
由正弦定理得＝，
因为sin A≠0，所以sin B－cos B＝1，
即sin (B－)＝，因为0所以－得B＝，由余弦定理可得a2＋c2－2ac＝0，即a＝c，
故△ABC为等边三角形．