第11章　解三角形 章末综合检测(十一)（Word含答案解析）

章末综合检测(十一)
(时间：120分钟，满分：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知△ABC中，a＝，b＝，B＝60°，那么角A等于(　　)
A．135° B．90°　　　
C．45° D．30°
2．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积S△ABC＝，则边BC的长为(　　)
A． B．3
C． D．7
3．在△ABC中，若a＝b，A＝2B，则cos B等于(　　)
A． B．
C． D．
4．已知在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶4，那么cos C的值为(　　)
A．－ B．
C．－ D．
5．在△ABC中，下列关系式：①asin B＝bsin A；②a＝bcos C＋ccos B；③a2＋b2－c2＝2abcos C；④b＝csin A＋asin
C．一定成立的有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
6．在平行四边形ABCD中，对角线AC＝，BD＝，周长为18，则这个平行四边形的面积等于(　　)
A．16 B．
C．18 D．32
7．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3acos C＝4csin A，已知△ABC的面积S＝bcsin A＝10，b＝4，则a的值为(　　)
A． B．
C． D．
8．甲船在B岛正南方向的A处，AB＝10 km，若甲船以4 km/h 的速度向正北方向航行，同时，乙船自B岛出发以6 km/h的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们航行的时间是(　　)
A． h B． h
C． h D． h
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．某人在A处向正东方向走x km后到达B处，他在此处向右转150°，然后朝新方向走3 km到达C处，结果他离出发点恰好 km，那么x的值为(　　)
A． B．2
C．3 D．3
10．在△ABC中，已知(a＋b)∶(c＋a)∶(b＋c)＝6∶5∶4，下列结论中正确的是(　　)
A．由已知条件，这个三角形被唯一确定
B．△ABC一定是钝角三角形
C．sin A∶sin B∶sin C＝7∶5∶3
D．若b＋c＝8，则△ABC的面积是
11．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足B＝，a＋c＝b，则＝(　　)
A．2 B．3
C． D．
12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝，a2＋b2－c2＝ab sin C，a cos B＋b sin A＝c，则下列结论正确的是(　　)
A．tan C＝2 B．A＝
C．b＝或b＝3 D．△ABC的面积为6
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝________．
14．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若＝2sin C，则C的大小为________．
15．一船向正北方向匀速行驶，看见正西方向两座相距10海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西45°方向上，另一灯塔在南偏西60°方向上，则该船的速度是________海里/时．
16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知c＝2，C＝.若sin B＝2sin A，则△ABC的面积为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝2A.
(1)求cos A的值；
(2)求c的值．
18．(本小题满分12分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c＝2，C＝60°.
(1)求的值；
(2)若a＋b＝ab，求△ABC的面积．
19．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.设S为△ABC的面积，满足S＝(a2＋b2－c2).
(1)求角C的大小；
(2)求sin A＋sin B的最大值．
20．(本小题满分12分)在①＝b；②2c cos C＝a cos B＋b cos A；③△ABC的面积为c 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且________．
(1)求角C；
(2)若D为AB的中点，且c＝2，CD＝，求a，b的值．
21．(本小题满分12分)如图，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知c＝4，b＝2，2c cos C＝b，D，E分别为线段BC上的点，且BD＝CD，∠BAE＝∠CAE.
(1)求线段AD的长；
(2)求△ADE的面积．
22．(本小题满分12分)为改善居民的生活环境，政府拟将一公园进行改造扩建．已知原公园是直径为200 m的半圆形，出入口在圆心O处，A为居民小区，OA的距离为200 m，按照设计要求，以居民小区A和圆弧上点B的连线为一条边向半圆外作等腰直角三角形ABC(C为直角顶点)，使改造后的公园如图中四边形OACB所示．
(1)若OB⊥OA，求C与出入口O之间的距离为多少米？
(2)∠AOB的大小为多少时，公园OACB的面积最大？
章末综合检测(十一)
(时间：120分钟，满分：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知△ABC中，a＝，b＝，B＝60°，那么角A等于(　　)
A．135° B．90°　　　
C．45° D．30°
解析：选C．由正弦定理＝ ＝，则sin A＝＝.因为a2．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积S△ABC＝，则边BC的长为(　　)
A． B．3
C． D．7
解析：选A．因为S△ABC＝AB·AC sin A＝，所以AC＝1.又BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A＝4＋1－2×2cos 60°＝3.所以BC＝.
3．在△ABC中，若a＝b，A＝2B，则cos B等于(　　)
A． B．
C． D．
解析：选B．由正弦定理得＝，
所以a＝b可化为＝.
又A＝2B，所以＝，所以cos B＝.
4．已知在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶4，那么cos C的值为(　　)
A．－ B．
C．－ D．
解析：选A．由已知及正弦定理得sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝3∶2∶4，
设a＝3k，b＝2k，c＝4k(k≠0)，
所以cos C＝＝＝－.
5．在△ABC中，下列关系式：①asin B＝bsin A；②a＝bcos C＋ccos B；③a2＋b2－c2＝2abcos C；④b＝csin A＋asin
C．一定成立的有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选C．由正弦定理知①正确，由余弦定理知③正确；②中由正弦定理得 sin A＝sin Bcos C＋cos Bsin C，显然成立；④中由正弦定理得sin B＝2sin Asin C，未必成立．
6．在平行四边形ABCD中，对角线AC＝，BD＝，周长为18，则这个平行四边形的面积等于(　　)
A．16 B．
C．18 D．32
解析：选A．设AB＝CD＝a，AD＝BC＝b，则
解得或
所以cos∠BAD＝＝.所以
sin∠BAD＝，S ABCD＝4×5×＝16.
7．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3acos C＝4csin A，已知△ABC的面积S＝bcsin A＝10，b＝4，则a的值为(　　)
A． B．
C． D．
解析：选B．由3acos C＝4csin A得＝，又由正弦定理＝，得＝ tan C＝，由S＝bcsin A＝10，b＝4 csin A＝5，由tan C＝ sin C＝，又根据正弦定理，得a＝＝＝.故选B．
8．甲船在B岛正南方向的A处，AB＝10 km，若甲船以4 km/h 的速度向正北方向航行，同时，乙船自B岛出发以6 km/h的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们航行的时间是(　　)
A． h B． h
C． h D． h
解析：选B．设航行x h时，甲船在P处，乙船在Q处，甲、乙两船相距s km，如图所示，在△BPQ中，由余弦定理，知PQ2＝BP2＋BQ2－2BP·BQ·cos 120°，即s2＝(10－4x)2＋(6x)2－2(10－4x)·6x·＝28x2－20x＋100，所以当x＝时，s2最小，即s最小，故选B．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．某人在A处向正东方向走x km后到达B处，他在此处向右转150°，然后朝新方向走3 km到达C处，结果他离出发点恰好 km，那么x的值为(　　)
A． B．2
C．3 D．3
解析：选AB．由题意得∠ABC＝30°，由余弦定理，得cos 30°＝，解得x＝2或x＝.故选AB．
10．在△ABC中，已知(a＋b)∶(c＋a)∶(b＋c)＝6∶5∶4，下列结论中正确的是(　　)
A．由已知条件，这个三角形被唯一确定
B．△ABC一定是钝角三角形
C．sin A∶sin B∶sin C＝7∶5∶3
D．若b＋c＝8，则△ABC的面积是
解析：选BC．可设△ABC的周长为l，则由(a＋b)∶(c＋a)∶(b＋c)＝6∶5∶4，
可得a＋b＝·2l＝，c＋a＝·2l＝，b＋c＝·2l＝，又a＋b＋c＝l，则a＝，b＝，c＝，故三角形不被唯一确定，A错；由cos A＝＝－<0得A为钝角，故B正确；
由正弦定理得sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝7∶5∶3，故C正确；
由b＋c＝8，则＝8，得l＝15，故a＝7，b＝5，c＝3，由cos A＝－，得sin A＝，所以△ABC的面积是bc sin A＝×5×3×＝，故D错．
故选BC．
11．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足B＝，a＋c＝b，则＝(　　)
A．2 B．3
C． D．
解析：选AC．因为B＝，a＋c＝b，
所以(a＋c)2＝a2＋c2＋2ac＝3b2，①
由余弦定理可得，a2＋c2－2ac cos ＝b2，②
联立①②，可得2a2－5ac＋2c2＝0，
即2－5＋2＝0，
解得＝2或＝.故选AC．
12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝，a2＋b2－c2＝ab sin C，a cos B＋b sin A＝c，则下列结论正确的是(　　)
A．tan C＝2 B．A＝
C．b＝或b＝3 D．△ABC的面积为6
解析：选ABD．对选项A，因为a2＋b2－c2＝ab sin C，所以＝，
即sin C＝2cos C，所以tan C＝2，故选项A正确．
对选项B，因为a cos B＋b sin A＝c，
所以sin A cos B＋sin B sin A＝sin C，
即sin A cos B＋sin B sin A＝sin ＝sin Acos B＋cos A sin B，
所以sin B sin A＝cos A sin B，因为sin B>0，
所以tan A＝1，0对选项C，因为tan C＝2，0所以sin B＝sin ＝sin A cos C＋cos A sin C
＝×＋×＝.
因为＝，所以b＝＝3，故选项C错误．
对选项D，S△ABC＝ab sin C＝××3×＝6，故D正确．故选ABD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝________．
解析：由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C，即13＝AC2＋9－2AC×3×cos 120°，化简得AC2＋3AC－4＝0，
解得AC＝1或AC＝－4(舍去).
答案：1
14．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若＝2sin C，则C的大小为________．
解析：由＝2sin C及正弦定理得＝2sin C，所以＝2sin C，即cos C＝sin C，因为0答案：
15．一船向正北方向匀速行驶，看见正西方向两座相距10海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西45°方向上，另一灯塔在南偏西60°方向上，则该船的速度是________海里/时．
解析：如图所示：
设船的初始位置为A，半小时后行驶到B，两个港口分别位于C和D，
所以∠BCA＝45°，∠CBD＝15°，则∠CDB＝30°，设BA＝x，则CA＝x，
在Rt△BDA中，DA＝10＋x.所以利用正弦定理＝，
解得x＝5，所以船速为5÷＝10(海里/时).
答案：10
16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知c＝2，C＝.若sin B＝2sin A，则△ABC的面积为________．
解析：因为sin B＝2sin A，所以b＝2a.
又因为c2＝a2＋b2－2ab cos C＝(a＋b)2－3ab＝4.
所以a＝，b＝.
所以S△ABC＝ab sin C＝.
答案：
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝2A.
(1)求cos A的值；
(2)求c的值．
解：(1)因为a＝3，b＝2，B＝2A，所以在△ABC中，
由正弦定理得＝.
所以＝.故cos A＝.
(2)由(1)知cos A＝，
所以sin A＝＝.
又因为B＝2A，
所以cosB＝2cos2A－1＝.
所以sinB＝＝.
在△ABC中，sinC＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B＝.
所以c＝＝5.
18．(本小题满分12分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c＝2，C＝60°.
(1)求的值；
(2)若a＋b＝ab，求△ABC的面积．
解：(1)因为c＝2，C＝60°，由正弦定理＝＝，
得＝＝＝＝＝，
所以＝.
(2)由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2ab cos C，即
4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab.
因为a＋b＝ab，所以(ab)2－3ab－4＝0，解得ab＝4或ab＝－1(舍去).
所以S△ABC＝ab sin C＝×4×＝.
19．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.设S为△ABC的面积，满足S＝(a2＋b2－c2).
(1)求角C的大小；
(2)求sin A＋sin B的最大值．
解：(1)由题意可知ab sin C＝×2ab cos C．
所以tan C＝，
因为0所以C＝.
(2)由已知sin A＋sin B＝sin A＋sin
＝sin A＋sin
＝sin A＋cos A＋sin A
＝sin ≤　.
当A＝时，
即△ABC为等边三角形时取等号．
所以sin A＋sin B的最大值为.
20．(本小题满分12分)在①＝b；②2c cos C＝a cos B＋b cos A；③△ABC的面积为c 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且________．
(1)求角C；
(2)若D为AB的中点，且c＝2，CD＝，求a，b的值．
解：选择①
(1)根据正弦定理得＝b，
整理得a2－c2＝ab－b2，即a2＋b2－c2＝ab，
所以cos C＝＝.
因为C∈，所以C＝.
选择②
(1)根据正弦定理有sin A cos B＋sin B cos A＝
2sin C cos C，
所以sin (A＋B)＝2sin C cos C，
即sin C＝2sin Ccos C．
因为C∈，所以sin C≠0，从而有cos C＝，因为C∈(0，π)，
故C＝.
选择③
(1)因为ca sin B＝c(a sin A＋b sin B－c sin C)，
所以a sin B＝a sin A＋b sin B－c sin C，即ab＝a2＋b2－c2，
由余弦定理，得cos C＝＝＝，
又因为C∈，所以C＝.
(2)在△ACD中，AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD cos ∠ADC，即b2＝1＋3－2cos ∠ADC.
在△BCD中，BC2＝BD2＋CD2－2BD·CD·cos ∠BDC，即a2＝1＋3－2cos ∠BDC.
因为∠ADC＋∠BDC＝π，
所以cos ∠ADC＝－cos ∠BDC，
所以a2＋b2＝8.
由C＝及c＝2，得a2＋b2－4＝ab，所以ab＝4，从而a2＋b2－2ab＝0，
所以a＝b＝2.
21．(本小题满分12分)如图，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知c＝4，b＝2，2c cos C＝b，D，E分别为线段BC上的点，且BD＝CD，∠BAE＝∠CAE.
(1)求线段AD的长；
(2)求△ADE的面积．
解：(1)因为c＝4，b＝2，2c cos C＝b，
所以cos C＝＝.
由余弦定理得cos C＝＝＝，
解得a＝4(负值舍去)，即BC＝4.
在△ACD中，CD＝2，AC＝2，
所以AD2＝AC2＋CD2－2AC·CD·cos C＝6，
所以AD＝.
(2)因为AE是∠BAC的角平分线，
所以＝＝＝2，
又＝，所以＝2.
所以CE＝BC＝，DE＝2－＝.
又因为cos C＝，所以sin C＝＝.
所以S△ADE＝S△ACD－S△ACE＝×DC×AC×sin C－×EC×AC×sin C＝×DE×AC×sin C＝.
22．(本小题满分12分)为改善居民的生活环境，政府拟将一公园进行改造扩建．已知原公园是直径为200 m的半圆形，出入口在圆心O处，A为居民小区，OA的距离为200 m，按照设计要求，以居民小区A和圆弧上点B的连线为一条边向半圆外作等腰直角三角形ABC(C为直角顶点)，使改造后的公园如图中四边形OACB所示．
(1)若OB⊥OA，求C与出入口O之间的距离为多少米？
(2)∠AOB的大小为多少时，公园OACB的面积最大？
解：(1)设∠OAB＝θ，由题可知∠BAC＝.
由OB⊥OA，OB＝100 m，OA＝200 m，得AB2＝50 000，AC2＝＝25 000，
sin θ＝，cos θ＝.
在△OAC中，cos ∠OAC＝cos ＝
cos θcos －sin θsin ＝，
OC2＝OA2＋AC2－2OA·AC·cos ＝45 000，
则OC＝150 m.
故C与出入口O之间的距离为150 m.
(2)设∠AOB＝α，则AB2＝OB2＋OA2－2OB·OA·cos α＝50 000－40 000cos α.
因为S△ABC＝AC2＝×AB2＝12 500－10 000cos α，
S△AOB＝OA·OB·sin α＝×200×100sin α＝10 000sin α，
所以S四边形OACB＝S△ABC＋S△AOB＝12 500－10 000cos α＋10 000 sin α
＝10 000(sin α－cos α)＋12 500＝10 000·sin ＋12 500.
所以当sin ＝1，即α＝时，公园OACB的面积最大，为(10 000＋12 500)m2.