人教版九年级数学上册 21.3 实际问题与一元二次方程 同步练习（word版含答案）

21．3实际问题与一元二次方程
◆随堂检测
1、长方形的长比宽多4cm，面积为60cm2，则它的周长为________．
2、一台电视机成本价为元，销售价比成本价增加25%，因库存积压，所以就按销售价的70%出售，那么每台售价为（ ）
A．（1+25%）（1+70%）元 B．70%（1+25%）元
C．（1+25%）（1-70%）元 D．（1+25%+70%）元
3、某商场的标价比成本高%，当该商品降价出售时，为了不亏损成本，售价的折扣（即降低的百分数）不得超过%，则可用表示为（ ）
A． B．p C． D．
4、如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8m，CB=6m，点P、Q同时由A，B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．
（点拨：设秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半，△PCQ也是直角三角形．）
◆典例分析
1.某商场于第一年初投入50万元进行商品经营，以后每年年终将当年获得的利润与当年年初投入的资金相加所得的总资金，作为下一年年初投入的资金继续进行经营．
（1）如果第一年的年获利率为，那么第一年年终的总资金是多少万元 （用代数式来表示）（注：年获利率=×100%）
（2）如果第二年的年获利率多10个百分点（即第二年的年获利率是第一年的年获利率与10%的和），第二年年终的总资金为66万元，求第一年的年获利率．
2.如图①，要设计一幅宽20cm，长30cm的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2∶3，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？
◆课下作业
●拓展提高
1、矩形的周长为8，面积为1，则矩形的长和宽分别为________．
2、如图，在中，于且是一元二次方程的根，则的周长为（ ）
A、 B、 C、 D、
3、某化工厂今年一月份生产化工原料15万吨，通过优化管理，产量逐年上升，第一季度共生产化工原料60万吨，设二、三月份平均增长的百分率相同，均为，则可列出方程为________________________．
4、甲用1000元人民币购买了一手股票，随即他将这手股票转卖给乙，获利10%，乙而后又将这手股票返卖给甲，但乙损失了10%，最后甲按乙卖给甲的价格的九折将这手股票卖出，在上述股票交易中，甲盈了_________元．
5、某公司一月份营业额为10万元，第一季度总营业额为33.1万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？
（分析：设该公司二、三月份营业额平均增长率为，那么二月份的营业额就应该是，三月份的营业额应是10．）
6、如图，某海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有一重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标C，小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头：小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向，一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航，一般补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰．
（1）小岛D和小岛F相距多少海里
（2）已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里 （结果精确到0.1海里）
(分析：（1）因为依题意可知△ABC是等腰直角三角形，△DFC也是等腰直角三角形，AC可求，CD就可求，因此由勾股定理便可求DF的长．
（2）要求补给船航行的距离就是求DE的长度，DF已求，因此，只要在Rt△DEF中，由勾股定理即可求．)
●体验中考
1、（青海）在一幅长为80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为cm，那么满足的方程是（ ）
A、 B、
C、 D、
2、（甘肃庆阳）如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551米2，则修建的路宽应为（ ）
A、1米 B、1.5米 C、2米 D、2.5米
3、（太原）某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价,每部售价由3200元降到了2500元.设平均每月降价的百分率为,根据题意列出的方程是________________________．
（注意:要理解增长率或降低率问题中的数量关系.）
4、（广东）某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后就会有81台电脑被感染.请你用学过的知识分析,每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑 若病毒得不到有效控制,3轮感染后,被感染的电脑会不会超过700台
参考答案：
◆随堂检测
1、32cm. 设长方形铁片的宽是cm，则长是cm．
根据题意，得：，
解得，.
∵不合题意，舍去．∴.∴长方形铁片的长是10cm，宽是6cm，则它的周长为32cm.
B.
3、A 由题意得：，解得.故选A.
4、解：设秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．
根据题意，得：（8-）（6-）=××8×6
整理，得：，
配方得，，
解得，.
∵不合题意，舍去．∴.
答：2秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．
◆典例分析
1.分析:列一元二次方程解一元二次方程的一般步骤（1）审题，（2）设设出未知数，（3）找等量关系列出方程，（4）用适当方法解方程，（5）检验方程的解是否符合题意，将不符合题意的解舍去，（6）答题.要注意各个环节的准确性.
解:（1）∵年获利率=×100%,
∴第一年年终的总资金是万元，即万元.
（2）则依题意得：
把（1+）看成一个整体，整理得：，
解得:或，
∴(不合题意舍去).
∴=0.2=20%.
∴第一年的年获利率是20%.
2.分析:由横、竖彩条的宽度比为2∶3，可设每个横彩条的宽为，则每个竖彩条的宽为．为更好地寻找题目中的等量关系，通过平移可将横、竖彩条分别集中，原问题转化为如图②的情况，得到矩形．
解:设每个横彩条的宽为，则每个竖彩条的宽为．
∴，，
∴矩形的面积为（cm）.
根据题意，得.
整理，得.
解方程，得,
∵不合题意，舍去.∴.
则．
答：每个横、竖彩条的宽度分别为cm，cm.
◆课下作业
●拓展提高
1、,. 设矩形的长，则宽为．
根据题意，得.
整理，得.
用公式法解方程，得,
当长为时,则宽为.
当长为时,则宽为,不合题意，舍去.
∴矩形的长和宽分别为和.
2、A. ∵是一元二次方程的根，∴，∴AE=EB=EC=1，∴AB=，BC=2.∴的周长为，故选A。
3、.
4、199 甲第一次将这手股票转卖给乙，获利10%为100元；乙而后又将这手股票返卖给甲时乙损失了10%，返卖的价格为1100（1-10%）=990；最后甲按9900.9的价格将这手股票卖出，甲又盈了9900.1=99(元).故在上述股票交易中，甲共盈了199元．
5、解：设该公司二、三月份营业额平均增长率为．
则依题意得：33.1
把（1+）看成一个整体，配方得：
=2.56，即=2．56,
∴+=±1.6，即+=1.6或+=-1.6.
∴=0.1=10%，=-3.1
∵因为增长率为正数，∴取=10%.
答:该公司二、三月份营业额平均增长率为10%．
6、解：（1）连结DF，则DF⊥BC.
∵AB⊥BC，AB=BC=200海里．
∴AC=AB=200海里，∠C=45°.
∴CD=AC=100海里.
DF=CF，DF=CD.
∴DF=CF=CD=×100=100（海里）.
∴小岛D和小岛F相距100海里．
（2）设相遇时补给船航行了海里，那么DE=海里，AB+BE=2海里.
EF=AB+BC-（AB+BE）-CF=（300-2）海里.
在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程2=1002+（300-2）2
整理，得32-1200+100000=0.
解这个方程，得：1=200-,2=200+.
∵2=200+不合题意，舍去.
∴=200-≈118.4.
∴相遇时补给船大约航行了118.4海里．
●体验中考
1、B. 依题意,满足的方程是,
整理得.故选B.
2、A. 设修建的路宽应为米．
根据题意，得：，
整理，得：，
因式分解得，，
解得，.
∵不合题意，舍去．∴.
∴则修建的路宽应为1米.故选A.
3、.
4、解:设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑．
则依题意得：
整理,得：
解得:(不合题意舍去).
∴=8.
3轮感染后,被感染的电脑有.
答:每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑；若病毒得不到有效控制,3轮感染后,被感染的电脑会超过700台.
B
C
A
Q
P
20cm
20cm
30cm
D
C
A
B
图②
图①
30cm
A
D
C
EC
B