第三章《二次根式》导学案

第
三
章
导
学
案
（总计8课时）
二次根式(1)
一、学习目标
1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。
2、掌握二次根式有意义的条件。
3、掌握二次根式的基本性质：和
二、学习重点、难点
重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质．
难点：综合运用性质和。
三、学习过程
（一）知识准备：
（1）已知x2 = a，那么a是x的______; x是a的________, 记为______,
a一定是_______数。
（2）4的算术平方根为2，用式子表示为 =__________；
正数a的算术平方根为_______，0的算术平方根为_______；
式子的意义是 。
（二）学习内容
1、式子表示什么意义
2、什么叫做二次根式？
3、式子的意义是什么？
4、的意义是什么？
5、如何确定一个二次根式有无意义？
（三）自主学习
自学课本第2页例前的内容，完成下面的问题：
1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？
，，，，，
2、计算 ：
(1) = 　　　(2) =
　（3） = 　（4）=
根据计算结果，你能得出结论： ，其中,
的意义是 。
3、当a为正数时指a的 ，而0的算术平方根是 ，负数 ，只有非负数a才有算术平方根。所以，在二次根式中，字母a必须满足 , 才有意义。
（三）合作探究
1、学生自学课本第2页例题后，模仿例题的解答过程合作完成练习 ：
x取何值时，下列各二次根式有意义？
①　　　　　②　　 ③　　　　　
2、（1）若有意义，则a的值为___________．
（2）若 在实数范围内有意义，则x为（ ）。
A.正数 B.负数 C.非负数 D.非正数
（四）知识梳理
1．非负数a的算术平方根(a≥0)叫做二次根式.
二次根式的概念有两个要点：一是从形式上看，应含有二次根号；二是被开方数的取值范围有限制：被开方数a必须是非负数。
2．式子的取值是非负数。
（五）达标测试
1、在实数范围内因式分解：
（1）x2-9= x2 - （ ）2= （x+ ____）(x-____)
（2） x2 - 3 = x2 - ( ) 2 = (x+ _____) (x- _____)
2、计算 （ ）
A. 169 B.-13 C±13 D.13
3、已知
A. x>-3 B. x<-3 C.x=-3 D x的值不能确定
4、下列计算中，不正确的是 （ ）。
A. 3= B 0.5= C =0.3 D =35
5、下列各式中，正确的是（ ）。
A. B
C D
6、如果等式= x成立，那么x为（ ）。
A x≤0; B.x=0 ; C.x<0; D.x≥0
7、 若，则 = 。
8、当x= 时，代数式有最小值，其最小值是 。
教学反思：
二次根式(2)
一、学习目标
1、掌握二次根式的基本性质：
2、能利用上述性质对二次根式进行化简.
二、学习重点、难点
重点：二次根式的性质．
难点：综合运用性质进行化简和计算。
三、学习过程
（一）知识准备：
（1）什么是二次根式，它有哪些性质？
（2）二次根式有意义，则x 。
（3）在实数范围内因式分解：
x2-6= x2 - （ ）2= （x+ ____）(x-____)
（二）学习内容
1、式子表示什么意义
2、如何用来化简二次根式
3、在化简过程中运用了哪些数学思想
（三）自主学习
1、计算：
观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：
当
2、计算：
观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当
3、计算： 当
（四）知识梳理
归纳总结
将上面做题过程中得到的结论综合起来，得到二次根式的又一条非常重要的性质：
（六）达标测试：
1、填空：（1）、-=_________.
（2）、=
2、已知2＜x＜3，化简：
3、化简下列各式：
4、请大家思考、讨论二次根式的性质与有什么区别与联系。
5、 已知0 ＜x＜1，化简：－
6、 边长为a的正方形桌面，正中间有一个边长为的正方形方孔．若沿图中虚线锯开，可以拼成一个新的正方形桌面．你会拼吗？试求出新的正方形边长．
教后反思：
二次根式（3）
一、学习目标
1、掌握二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。
2、熟练进行二次根式的乘法运算及化简。
二、学习重点、难点
重点： 掌握和应用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。
难点： 正确依据二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行二次根式的化简。
三、学习过程
（一）知识准备
1、计算：
（1）×=______ =_______
（2） × =_______ =_______
（3） × =_______ =_______
2、根据上题计算结果，用“>”、“<”或“=”填空：
（1）×_____
（2）×____
（3） ×__
（二）学习内容
1、二次根式的乘法法则是什么？如何归纳出这一法则的？
2、如何二次根式的乘法法则进行计算？
3、积的算术平方根有什么性质？
4、如何运用积的算术平方根的性质进行二次根式的化简。
（三）自主学习
1、用计算器填空：
（1）×____ （2）×____
（3）×____ （4）×____
2、由上题并结合知识回顾中的结论，你发现了什么规律？
能用数学表达式表示发现的规律吗？
（四）知识梳理
二次根式的乘法法则
（五）达标测试：
1、选择题
（1）等式成立的条件是（ ）
A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1或x≤-1
（2）下列各等式成立的是（ ）．
A．4×2=8 B．5×4=20
C．4×3=7 D．5×4=20
（3）二次根式的计算结果是（ ）
A．2 B．-2 C．6 D．12
2、化简：
（1）； （2）； （3） ；
（6）；　　　 （5）。
3、计算：
（1）； （2）；
（3）×　 （4）2×3
4、选择题
（1）若，则=（ ）
A．4 B．2 C．-2 D．1
（2）下列各式的计算中，不正确的是（ ）
A．=（-2）×（-4）=8
B．
C．
D．
5、计算：（1）6×（-2）； （2）；
教后反思：
二次根式（4）
一、学习目标
1、掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。
2、能熟练进行二次根式的除法运算及化简。
二、学习重点、难点
重点： 掌握和应用二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。
难点： 正确依据二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质进行二次根式的化简。
三、学习过程
（一）知识准备
1、写出二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质
2、计算： （1）3×（-4） （2）
3、填空： （1）=________，=_________
（2）=________，=________
（3）=________，=_________
（二）学习内容
1、二次根式的除法法则是什么？如何归纳出这一法则的？
2、如何二次根式的除法法则进行计算？
3、商的算术平方根有什么性质？
4、如何运用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简？
（三）自主学习
1、计算：
______ ______ _______
2、计算填空:
（1）=_________（2）=_________（3）=______
规律：______ _______ _____
（四）知识梳理
根据以上练习和解答，我们可以得到二次根式的除法法则：
。
把这个法则反过来，得到商的算术平方根性质：
。
点拨：
1、当二次根式前面有系数时，类比单项式除以单项式法则进行计算：即系数之商作为商的系数，被开方数之商为被开方数。
2、化简二次根式达到的要求：
（1）被开方数不含分母；
（2）分母中不含有二次根式。
拓展延伸：
阅读下列运算过程：
，
数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”。
利用上述方法化简：(1) =_________ （２）=_________
(３) =_____ ___ (４) =___ _
（五）达标测试：
1、选择题
（1）计算的结果是（ ）．
A． B． C． D．
（2）化简的结果是（ ）
A．- B．- C．- D．-
2、计算：
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
3、用两种方法计算：
（1） （2）
教后反思：
二次根式（5）
一、学习目标
1、了解同类二次根式的定义。
2、能熟练进行二次根式的加减运算。
二、学习重点、难点
重点：二次根式加减法的运算。
难点：快速准确进行二次根式加减法的运算。
三、学习过程
（一）知识准备
1、什么是同类项？
2、如何进行整式的加减运算？
3、计算：（1）2x-3x+5x （2）
（二）学习内容
1、什么是同类二次根式？
2、判断是否同类二次根式时应注意什么？
3、如何进行二次根式的加减运算？
（三）自主学习
1、试观察下列各组式子，哪些是同类二次根式：
（1） （2）
（3） （4）
从中你得到什么启示？
2、仿例计算：
（1）+ （2）+2+3
（3）3-9+3
（四）知识梳理
1、通过计算归纳：进行二次根式的加减法时，应
。
2、二次根式的加减法的步骤
①化成最简二次根式；
②找出同类二次根式；
③合并同类二次根式，不是同类二次根式的不能合并。
（五）达标测试：
1、选择题
（1）二次根式：①；②；③；④中，与是同类二次根式的是（ ）．
A．①和② B．②和③ C．①和④ D．③和④
（2）下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ）．
A．与 B．与
C．与 D．与
（3）已知最简根式是同类二次根式，则满足条件的 a,b的值（ ）
A．不存在 B．有一组 C．有二组 D．多于二组
2、计算：
（1）　　
（2）
(3)
（4）
(5)
（6）
3、计算：
（1）
（2）
(3)
(4)
教后反思：
二次根式（6）
一、学习目标
熟练应用二次根式的加减乘除法法则及乘法公式进行二次根式的混合运算。
二、学习重点、难点
重点：熟练进行二次根式的混合运算。
难点：混合运算的顺序、乘法公式的综合运用。
三、学习过程
（一）知识准备：
1、填空
（1）整式混合运算的顺序是：
。
（2）二次根式的乘除法法则是：
。
（3）二次根式的加减法法则是：
。
（4）写出已经学过的乘法公式：
① ②
2、计算：
（1）·· （2）
（3）
（二）学习内容：
1、探究计算：
（1）（）× （2）
2、依照例题探究计算：
（1） （2）
（三）知识梳理：
二次根式的混合运算的方法。
（四）点拨
整式的运算法则和乘法公式中的字母意义非常广泛，可以是单项式、多项式，也可以代表二次根式，所以整式的运算法则和乘法公式适用于二次根式的运算。
（五）达标练习
1、计算：
（1） （2）
（3） （4）（-）（--）
2、计算：
（1） （2）
（3）（a>0,b>0）
（4）
3、已知，求的值。
4、计算：
（1）
（2）
5、母亲节到了，为了表达对母亲的爱，小明做了两幅大小不同的正方形卡片送给妈妈，其中一个面积为8cm2,另一个为18cm2，他想如果再用金彩带把卡片的边镶上会更漂亮，他现在有长为50cm的金彩带，请你帮忙算一算，他的金彩带够用吗？
教后反思：
《二次根式》复习（2课时）
一、学习目标
1、了解二次根式的定义，掌握二次根式有意义的条件和性质。
2、熟练进行二次根式的乘除法运算。
3、理解同类二次根式的定义，熟练进行二次根式的加减法运算。
4、了解最简二次根式的定义，能运用相关性质进行化简二次根式。
二、学习重点、难点
重点：二次根式的计算和化简。
难点：二次根式的混合运算，正确依据相关性质化简二次根式。
三、复习过程
（一）知识准备：
1．若a＞0，a的平方根可表示为___________
a的算术平方根可表示________
2．当a______时，有意义，
当a______时，没有意义。
3．
4．
5．
（二）学习内容：
1、式子成立的条件是什么
2、计算： (1) (2)
3．(1) (2)
（三）知识梳理：
本章的知识网络
（四）点拨：
在二次根式的计算、化简及求值等问题中，常运用以下几个式子：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（五）达标测试：
1、选择题：
（1）化简的结果是（ ）
A 5 B -5 C 士5 D 25
（2）代数式中，x的取值范围是（ ）
A B C D
（3）下列各运算，正确的是（ ）
A、 B 、
C、 D
（4）如果是二次根式，化为最简二次根式是（ ） A B C D．以上都不对
（5）化简的结果是（ ）
（6），则（ ）
A a,b互为相反数 B a,b互为倒数 C D a=b
（7）在下列各式中，化简正确的是（ ）
A B
C D
（8）把中根号外的移人根号内得（ ）
2、计算．
(1) (2)
(3) (4)
3、已知求的值
4、计算：
（1） （2）
（3）
教后反思：