2.2 等差数列 第2课时 课件(人教A版必修5)

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名称 2.2 等差数列 第2课时 课件(人教A版必修5)
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文件大小 396.4KB
资源类型 教案
版本资源 人教新课标A版
科目 数学
更新时间 2013-06-01 15:35:08

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课件38张PPT。第2课时  等差数列的性质 等差数列的性质
若数列{an}是公差为d的等差数列,则有下列性质:
(1)在等差数列{an}中,若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则 .am+an=ap+qq(3){an}是有穷等差数列,则与首末两项等距离的两项之和相等,且等于首末两项之和,即
.
(4)若数列{an}为等差数列,则数列{λan+b}(λ、b是常数)是公差为 的等差数列.
(5)若数列{an}为等差数列,则下标成等差数列且公差为m的项ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)组成公差为 的等差数列.
(6)若数列{an}与{bn}均为等差数列,则{Aan+Bbn}也是
.a1+an=a2+an-1=…=ai+an-i+1=…λdmd等差数列
1.已知等差数列{an}中,a3=1,a7=-9,则a5=(  )
A.-4       B.4
C.-8 D.8
解析:a5= (a3+a7)=-4.
答案:A2.已知等差数列{an}中,a7+a9=16,a4=1,则a12的值是
(  )
A.64 B.31
C.30 D.15
解析:a8= (a7+a9)=8,a12=2a8-a4=15.
答案:D
3.在数列{an}中,a3、a10是方程x2-3x-5=0的两根,若{an}是等差数列,则a5+a8=________.
解析:由已知得a3+a10=3,又a5+a8=a3+a10,∴a5+a8=3.
答案:34.若48,a,b,c,-12是等差数列中的连续五项,则a、b、c的值依次为__________.
解析:由等差数列的性质知2b=48+(-12),∴b=18,同理2a=48+b=66
∴a=33,同理2c=b+(-12)=6,∴c=3,故a,b,c的值依次为33,18,3.
答案:33,18,35.在等差数列{an}中,已知a2+a3+a23+a24=48,求a13;
解:由m+n=p+q?am+an=ap+aq,得
a2+a24=a3+a23=2a13.
∵a2+a3+a23+a24=48,
∴4a13=48,∴a13=12.[例1] 已知等差数列{an},
(1)若a2+a3+a25+a26=48,求a14;
(2)若a2+a3+a4+a5=34,a2a5=52,求公差d.[分析] 等差数列的首项a1和公差d是等差数列中最基本的两个量.本题如果是利用已知条件列出关于a1和d的方程(或方程组).进而求出a1和d,当然可使问题获解.但若能结合等差数列的几个基本性质进行解题,可以收到事半功倍的效果.
[解] (1)∵a2+a26=a3+a25=2a14,
∴a2+a3+a25+a26=4a14=48.
解得a14=12.
[点评] 本题考查等差数列的两个基本性质.解题时应注意题中所给各项的关系,注意第(2)题应有两组结果.迁移变式1 (1)设{an}为等差数列,若a3+a4+a5+a6+a7=450,求a2+a8;
(2)在等差数列{an}中,a3+a5+a7+a9+a11=100,求3a9-a13的值.
解:(1)a3+a7=a4+a6=2a5=a2+a8,
∴a3+a4+a5+a6+a7=5a5=450.
∴a5=90,∴a2+a8=2a5=180.
(2)由a3+a5+a7+a9+a11=5a7=100得a7=20.∴3a9-a13=3(a7+2d)-(a7+6d)=2a7=40.[例2] 若数列{an}为等差数列,a15=8,a60=20,求a75的值.
[分析] 方法1:先求出a1和d,确定通项公式an,从而得出a75.方法2:本题也可根据性质:{an}为等差数列,则a15,a30,a45,a60,a75也为等差数列,再进行求解.解法2:∵{an}为等差数列,
∴a15,a30,a45,a60,a75也成等差数列.
设其公差为d,则a15为首项,a60为第4项.
∴a60=a15+3d,∴20=8+3d,解得d=4.
∴a75=a60+d=20+4=24.
[点评] 等差数列中项数成等差的项仍然组成等差数列,解法2正是应用等差数列这一性质解题的.
迁移变式2 已知数列{an}为等差数列.
(1)若a15=10,a45=90,求a60;
(2)公差d=-2,且a1+a4+a7+…+a97=50,求a3+a6+a9+…+a99的值.
[例3] 已知四个数成等差数列,它们的和为26,中间两项的积为40,求这四个数.[点评] (1)对于项数有限的等差数列,用“对称设项”的方法来设项能达到化多为少的目的(特别是在已知其和时),三个数的“对称设项”是x-d,x,x+d;五个数是x-2d,x-d,x,x+d,x+2d;四个数则是x-3d,x-d,x+d,x+3d等等.本题解法3就是运用“对称设项法”,是三个解法中最简捷的.
(2)除用对称设项方法外,也可以用“设基本量法”,即设出a1、d,运用通项公式表示所需的项,它也能起到化多为少的作用.
迁移变式3 (1)有三个数成等差数列,它们的和为9,积为-21,求这三个数.
(2)已知5个数成等差数列,它们的和为5,平方和为 ,求这5个数.
[例4] 已知f(x)是定义在正整数集N*上的函数,当x为奇数时,f(x+1)-f(x)=1;当x为偶数时,f(x+1)-f(x)=3,且f(1)+f(2)=5.
(1)求证:f(1),f(3),f(5),…,f(2n-1)(n∈N*)成等差数列.
(2)求f(n)的解析表达式.[解] (1)∵x为奇数时,x+1为偶数,
∴由已知条件,可得
f(x+1)-f(x)=1, ①
f(x+2)-f(x+1)=3, ②
①+②,得f(x+2)-f(x)=4.
又f(x)定义在N*上,
∴f(1),f(3),…,f(2n-1)(n∈N*)成等差数列.
迁移变式4 已知函数f(x)=2x,等差数列{an}的公差为2.
若f(a2+a4+a6+a8+a10)=4,则log2[f(a1)·f(a2)·f(a3)·…·f(a10)]=________.解析:∵f(a2+a4+a6+a8+a10)=2a2+a4+a6+a8+a10=4,
∴a2+a4+a6+a8+a10=2.
又∵a1+a3+a5+a7+a9=(a2-d)+(a4-d)+…+(a10-d)=2-5d=-8,
∴a1+a2+…+a10=2+(-8)=-6.
∴log2[f(a1)f(a2)·…·f(a10)]=log2(2a1+a2+…+a10)=a1+a2+…+a10=-6.
答案:-63.等差数列的常见设法
(1)若三个数成等差数列,可设为a-d,a,a+d;
(2)若五个数成等差数列,可设为a-2d,a-d,a,a+d,a+2d;
(3)若四个数成等差数列,可设为a-3d,a-d,a+d,a+3d.