2.2 等差数列 第2课时 课件（人教A版必修5）

课件38张PPT。第2课时 　等差数列的性质 等差数列的性质
若数列{an}是公差为d的等差数列，则有下列性质：
(1)在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则 .am＋an＝ap＋qq(3){an}是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和相等，且等于首末两项之和，即
.
(4)若数列{an}为等差数列，则数列{λan＋b}(λ、b是常数)是公差为 的等差数列．
(5)若数列{an}为等差数列，则下标成等差数列且公差为m的项ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)组成公差为 的等差数列．
(6)若数列{an}与{bn}均为等差数列，则{Aan＋Bbn}也是
．a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ai＋an－i＋1＝…λdmd等差数列
1．已知等差数列{an}中，a3＝1，a7＝－9，则a5＝(　　)
A．－4　　　　　　 B．4
C．－8 D．8
解析：a5＝ (a3＋a7)＝－4.
答案：A2．已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12的值是
(　　)
A．64 B．31
C．30 D．15
解析：a8＝ (a7＋a9)＝8，a12＝2a8－a4＝15.
答案：D
3．在数列{an}中，a3、a10是方程x2－3x－5＝0的两根，若{an}是等差数列，则a5＋a8＝________.
解析：由已知得a3＋a10＝3，又a5＋a8＝a3＋a10，∴a5＋a8＝3.
答案：34．若48，a，b，c，－12是等差数列中的连续五项，则a、b、c的值依次为__________．
解析：由等差数列的性质知2b＝48＋(－12)，∴b＝18，同理2a＝48＋b＝66
∴a＝33，同理2c＝b＋(－12)＝6，∴c＝3，故a，b，c的值依次为33,18,3.
答案：33,18,35．在等差数列{an}中，已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13；
解：由m＋n＝p＋q?am＋an＝ap＋aq，得
a2＋a24＝a3＋a23＝2a13.
∵a2＋a3＋a23＋a24＝48，
∴4a13＝48，∴a13＝12.[例1]　已知等差数列{an}，
(1)若a2＋a3＋a25＋a26＝48，求a14；
(2)若a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2a5＝52，求公差d.[分析]　等差数列的首项a1和公差d是等差数列中最基本的两个量．本题如果是利用已知条件列出关于a1和d的方程(或方程组)．进而求出a1和d，当然可使问题获解．但若能结合等差数列的几个基本性质进行解题，可以收到事半功倍的效果．
[解]　(1)∵a2＋a26＝a3＋a25＝2a14，
∴a2＋a3＋a25＋a26＝4a14＝48.
解得a14＝12.
[点评]　本题考查等差数列的两个基本性质．解题时应注意题中所给各项的关系，注意第(2)题应有两组结果．迁移变式1　(1)设{an}为等差数列，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，求a2＋a8；
(2)在等差数列{an}中，a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，求3a9－a13的值．
解：(1)a3＋a7＝a4＋a6＝2a5＝a2＋a8，
∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450.
∴a5＝90，∴a2＋a8＝2a5＝180.
(2)由a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝5a7＝100得a7＝20.∴3a9－a13＝3(a7＋2d)－(a7＋6d)＝2a7＝40.[例2]　若数列{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75的值．
[分析]　方法1：先求出a1和d，确定通项公式an，从而得出a75.方法2：本题也可根据性质：{an}为等差数列，则a15，a30，a45，a60，a75也为等差数列，再进行求解．解法2：∵{an}为等差数列，
∴a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列．
设其公差为d，则a15为首项，a60为第4项．
∴a60＝a15＋3d，∴20＝8＋3d，解得d＝4.
∴a75＝a60＋d＝20＋4＝24.
[点评]　等差数列中项数成等差的项仍然组成等差数列，解法2正是应用等差数列这一性质解题的．
迁移变式2　已知数列{an}为等差数列．
(1)若a15＝10，a45＝90，求a60；
(2)公差d＝－2，且a1＋a4＋a7＋…＋a97＝50，求a3＋a6＋a9＋…＋a99的值．
[例3]　已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数．[点评]　(1)对于项数有限的等差数列，用“对称设项”的方法来设项能达到化多为少的目的(特别是在已知其和时)，三个数的“对称设项”是x－d，x，x＋d；五个数是x－2d，x－d，x，x＋d，x＋2d；四个数则是x－3d，x－d，x＋d，x＋3d等等．本题解法3就是运用“对称设项法”，是三个解法中最简捷的．
(2)除用对称设项方法外，也可以用“设基本量法”，即设出a1、d，运用通项公式表示所需的项，它也能起到化多为少的作用．
迁移变式3　(1)有三个数成等差数列，它们的和为9，积为－21，求这三个数．
(2)已知5个数成等差数列，它们的和为5，平方和为 ，求这5个数．
[例4]　已知f(x)是定义在正整数集N*上的函数，当x为奇数时，f(x＋1)－f(x)＝1；当x为偶数时，f(x＋1)－f(x)＝3，且f(1)＋f(2)＝5.
(1)求证：f(1)，f(3)，f(5)，…，f(2n－1)(n∈N*)成等差数列．
(2)求f(n)的解析表达式．[解]　(1)∵x为奇数时，x＋1为偶数，
∴由已知条件，可得
f(x＋1)－f(x)＝1，　①
f(x＋2)－f(x＋1)＝3，　②
①＋②，得f(x＋2)－f(x)＝4.
又f(x)定义在N*上，
∴f(1)，f(3)，…，f(2n－1)(n∈N*)成等差数列．
迁移变式4　已知函数f(x)＝2x，等差数列{an}的公差为2.
若f(a2＋a4＋a6＋a8＋a10)＝4，则log2[f(a1)·f(a2)·f(a3)·…·f(a10)]＝________.解析：∵f(a2＋a4＋a6＋a8＋a10)＝2a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝4，
∴a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝2.
又∵a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝(a2－d)＋(a4－d)＋…＋(a10－d)＝2－5d＝－8，
∴a1＋a2＋…＋a10＝2＋(－8)＝－6.
∴log2[f(a1)f(a2)·…·f(a10)]＝log2(2a1＋a2＋…＋a10)＝a1＋a2＋…＋a10＝－6.
答案：－63．等差数列的常见设法
(1)若三个数成等差数列，可设为a－d，a，a＋d；
(2)若五个数成等差数列，可设为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d；
(3)若四个数成等差数列，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.