2.2 等差数列 第1课时 课件（人教A版必修5）

课件33张PPT。§2.2　 等差数列 第1课时　等差数列的概念与通项公式 1．等差数列的定义
如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的差都等于 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个 叫做等差数列的公差，通常用字母 表示．
2．等差数列的通项公式
如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an＝ .2同一常数常数da1＋(n－1)d3．等差中项
(1)如果三个数 组成等差数列，那么A叫做x和y的等差中项．
4．从函数角度认识等差数列{an}
若数列{an}是等差数列，首项a1公差d，则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)．
(1)点(n，an)落在直线 上；
(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加 .x，A，yy＝dx＋(a1－d)d
1．已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n，则它的公差为
(　　)
A．2　　　　　 B．3
C．－2 D．－3
解析：可得an＋1－an＝－2或a2－a1＝(3－4)－(3－2)＝－2.
答案：C2．已知等差数列{an}中，首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式an等于(　　)
A．4－2n B．2n－4
C．6－2n D．2n－6
解析：通项公式an＝a1＋(n－1)d＝4＋(n－1)×(－2)＝6－2n.
答案：C答案：B 4．在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝________.答案：13
5．在数列{an}中，an＝4n－1，求证：数列{an}是等差数列．
证明：∵an＋1－an＝[4(n＋1)－1]－(4n－1)＝4，
∴数列{an}是等差数列．[例1]　判断下列数列是否为等差数列，如果不是，请说明理由．
(1)0，－3，－6，－9，－12，…；
(2)1，－1,1，－1,1，－1，…；
(3)6,6,6,6，…；
(4)6,5,3,1，－1，－3，….[分析]　验证从第二项起，每一项与其前一项的差是否等于同一个常数．
[解]　(1)该数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数－3，所以是等差数列；
(2)因为－1－1＝－2,1－(－1)＝2，不是同一个常数，所以该数列不是等差数列；
(3)该数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数0，所以是等差数列；
(4)因为5－6＝－1，而从第3项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数－2，所以该数列不是等差数列，但可以说从第2项起是一个等差数列．
[点评]　等差数列的定义要求从第2项起，每项与其前一项的差等于同一个常数，本题易把第(4)问中的数列判断成是等差数列．
迁移变式1　判断下列各数列是否为等差数列：
(1)1,2,4,6,8，…；
(2)2,4,6,8，…；
(3)0,0,0,0，…；
(4)1,2,4,7,11.
解：(1)∵2－1＝1,4－2＝2,6－4＝2，故该数列不是等差数列．
(2)4－2＝6－4＝8－6＝2，是等差数列．
(3)0－0＝0－0＝…＝0，是等差数列．
(4)2－1＝1,4－2＝2，…，不是等差数列．
[例2]　已知数列{an}的通项公式an＝pn2＋qn(p，q∈R，且p，q为常数)．
(1)当p和q满足什么条件时，数列{an}是等差数列？
(2)求证：对任意实数p和q，数列{an＋1－an}是等差数列．
[分析]　由题目可获取以下主要信息：
①数列的通项公式an的表达式；
②在表达式中含有参数p，q.
解答本题可充分利用等差数列的定义判定或利用an＋1－an＝an－an－1(n≥2)进行判断．
[解]　(1)欲使{an}是等差数列，
则an＋1－an＝[p(n＋1)2＋q(n＋1)]－(pn2＋qn)＝2pn＋p＋q应是一个与n无关的常数，
所以只有2p＝0，
即p＝0时，数列{an}是等差数列．
(2)因为an＋1－an＝2pn＋p＋q，
所以an＋2－an＋1＝2p(n＋1)＋p＋q.
而(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝2p为一个常数，
所以{an＋1－an}是等差数列．
[例3]　已知数列{an}是等差数列，且a5＝11，a8＝5，求an.
[分析]　由于数列{an}是等差数列，只要确定它的首项a1及公差d的值，将其代入通项公式中，构造方程组即可求解．[解]　解法1：设{an}的首项为a1，公差为d，
则a8＝a5＋3d，即5＝11＋3d，∴d＝－2.
∵a5＝a1＋(5－1)d，∴11＝a1＋4×(－2)，
∴a1＝19.
∴an＝19＋(n－1)(－2)．
即an＝－2n＋21(n∈N*)．
迁移变式3　(1)求等差数列8,5,2…的第20项；
(2)－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项？如果是，是第几项？解：(1)由题意可知：a1＝8，d＝5－8＝2－5＝－3，
∴该数列通项公式为：an＝8＋(n－1)×(－3)，即：
an＝11－3n(n≥1)．当n＝20时，
则a20＝11－3×20＝－49.
∴这个数列的第20项为－49.
(2)由题意可知：a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4，
∴该数列通项公式为：an＝－5－4(n－1)＝－4n－1.
令－401＝－4n－1，解之得n＝100.
∴－401是这个数列的第100项．
[例4]　有一批电视机原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售．甲商场用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台单价为760元，以此类推，每多买一台则所购买各台的单价均减少20元，但每台最少不低于440元；乙商场一律按原价的75%销售．某单位需购买一批此类电视机，则去哪一家商场购买花费较少？[分析]　两家商场销售电视机的方法都符合等差数列的规律，因此可以用等差数列的知识去解题．要注意等量关系：费用＝台数×销售价．
[解]　设某单位需购买电视机n台．
在甲商场购买时，所买电视机的售价构成等差数列{an}．
an＝780＋(n－1)(－20)＝－20n＋800，
由an＝－20n＋800≥440，得n≤18，
即购买台数不超过18台时，每台售价(800－20n)元；
购买台数不少于18台时，每台售价440元．到乙商场购买时，每台售价为800×75%＝600(元)．
比较在甲、乙两家家电商场的费用：
(800－20n)n－600n＝20n(10－n)．
当n<10时，(800－20n)n>600n，到乙商场购买花费较少；
当n＝10时，(800－20n)n＝600n，到甲、乙商场购买花费相同；
当10当n>18时，440n<600n，到甲商场购买花费较少．答：当购买电视机台数少于10台时，到乙商场购买花费较少；当购买电视机10台时，到两家商场购买花费相同；当购买电视机台数多于10台时，到甲商场购买花费较少．
迁移变式4　我国历史上对数列概念的认识起源于公元前几百年．在公元前一百年成书的《周髀算经》里提到：在周城的平地立八尺高的周髀(表竿)，日中测影，在二十四节气中，冬至影长1丈3尺5寸，以后每一节气递减9寸9分(以10寸计算)，请问9尺5寸应是二十四节气中哪一节？
1．在学习等差数列的定义时，应注意如下问题
学习等差数列定义时需注意以下三点：
(1)注意定义中“从第2项起”这一前提条件．这一条件有两层意义，其一，第一项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合；其二，必须从第2项起保证使数列中各项均与其前面一项作差．如若不然，从第3项(或第4项，…)起作差，则势必遗漏前若干项．
(2)注意定义中“每一项与它的前一项的差”这一运算要求，它的含义也有两个，其一是强调作差的顺序，即后面的项减前面的项，其二是强调这两项必须相邻．
(3)注意定义中的“同一常数”这一要求．这一要求可理解为每一项与前面一项的差是常数且是同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列．2．判断一个数列是等差数列的常用方法
证明一个数列是等差数列常用的方法有：
(1)定义法：利用an－an－1＝d(常数)(n≥2且n∈N＋)等价于{an}是等差数列．
(2)等差中项法：2an＝an－1＋an＋1(n≥2且n∈N＋)等价于{an}是等差数列．
(3)an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N＋)等价于{an}是等差数列．