29.1.2 正投影同步练习（含答案）
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29.1 投 影
第2课时 正投影
一、选择题
1.若木棒长为1.2 m,则它的正投影的长一定( )
A.大于1.2 m B.小于1.2 m C.等于1.2 m D.小于或等于1.2 m
2.球的正投影是( )
A.圆面 B.椭圆面 C.点 D.圆环
3.【中考·绥化】正方形的正投影不可能是( )
A．线段 B．矩形 C．正方形 D．梯形
4.下列投影中，正投影有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5.如图，水杯的杯口与投影面平行，投影线的方向如箭头所示，它的正投影是( )
6.一根笔直的小木棒(记为线段AB)，它的正投影为线段CD，则下列各式中一定成立的是( )
A．AB＝CD B．AB≤CD C．AB＞CD D．AB≥CD
7.当棱长为20 cm的正方体的某个面平行于投影面时，这个正方体的正投影的面积为( )
A．200 cm2 B．300 cm2 C．400 cm2 D．600 cm2
8.几何体在平面P的正投影，取决于( )
①几何体的形状；
②投影面与几何体的位置关系；
③投影面P的大小．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
9.如图，把正方体一个顶点朝上立放，在它下面放一张白纸，使纸面与太阳光垂直，则正方体在纸上的正投影是( )
10.如图,箭头表示投影线的方向,则图中圆柱体的正投影是( )
A.圆 B.矩形 C.梯形 D.圆柱
11.当某一几何体在投影面P前的摆放位置确定以后,改变它与投影面P的距离,其正投影的形状( )
A.变小 B.变大 C.不发生变化 D.无法确定
12.当棱长为10 cm的正方体的某个面平行于投影面时,这个正方体的正投影的面积为( )
A.10 cm2 B.100 cm2 C.200 cm2 D.300 cm2
二、填空题
13.投影线 于投影面产生的投影叫做正投影．
(1)当线段平行于投影面时，线段与它的正投影的大小关系为 ；
(2)当线段倾斜于投影面时，线段与它的正投影的大小关系为 ；
(3)当线段垂直于投影面时，它的正投影是 ．当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小 ．
14.平行于投影面的平行四边形的面积 它的正投影的面积.(填“大于”“小于”或“等于”)
15.如图是一个三棱柱，投影线的方向如箭头所示，它的正投影是下图中的____．(填序号)
16.如图所示是一个圆锥在某平面上的正投影，则该圆锥的侧面积是_____________.
17.如图，正三棱柱的面EFDC∥平面R且AE＝EF＝AF＝2，AB＝6，正三棱柱在平面R的正投影是________，正投影的面积为_______.
18.小明喜欢玩魔方,已知他的魔方的棱长为5.5 cm,若魔方的一面平行于投影面,则这个面的正投影的面积为 cm2.
三、解答题
19.光线由上到下照射一个三棱柱时的投影如图，三棱柱的高为10.请分别画出三棱柱各个面的正投影，并标出投影的边长．
20.已知木棒AB垂直投射于投影面α上的投影为A1B1,且木棒AB的长为8 cm.
(1)如图1,若AB平行于投影面α,求A1B1的长;
(2)如图2,若木棒AB与投影面α的倾斜角为30°,求此时A1B1的长.(结果保留根号)
21.如图,从热气球P上测得两建筑物A,B的底部的俯视角分别为45°和30°,如果A,B两建筑物的距离为90 m,P点在地面上的正投影恰好落在线段AB上,求热气球P的高度.(结果精确到0.1 m,参考数据:≈1.732,≈1.414)
22.已知一纸板的形状为正方形ABCD，且边长为10 cm.如图，四边形A1B1C1D1是正方形ABCD在面β上的正投影，AD，BC与投影面β平行，且AB，CD与投影面β成30°角，求正方形ABCD的正投影的面积．
23.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，在阳光的垂直照射下，点C落在斜边AB上的D点．
(1)试探究线段AC，AB和AD之间的关系，并说明理由；
(2)线段BC，AB和BD之间也有类似的关系吗？
24.如图，某数学兴趣小组利用树影测量树高．已测出树的影长为9 m，并测出此时太阳光线与地面成30°角．
(1)求树AB的高度；
(2)因水土流失，此时树AB沿太阳光线方向倾倒，在倾倒过程中，树影长度发生了变化，假设太阳光线与地面夹角保持不变，试求树影的最大长度．(计算结果精确到0.1米，参照数据≈1.414，≈1.732)
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参考答案
一、选择题
1.若木棒长为1.2 m,则它的正投影的长一定( D )
A.大于1.2 m B.小于1.2 m C.等于1.2 m D.小于或等于1.2 m
2.球的正投影是( A )
A.圆面 B.椭圆面 C.点 D.圆环
3.【中考·绥化】正方形的正投影不可能是( D )
A．线段 B．矩形 C．正方形 D．梯形
4.下列投影中，正投影有( B )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5.如图，水杯的杯口与投影面平行，投影线的方向如箭头所示，它的正投影是( D )
6.一根笔直的小木棒(记为线段AB)，它的正投影为线段CD，则下列各式中一定成立的是( D )
A．AB＝CD B．AB≤CD C．AB＞CD D．AB≥CD
7.当棱长为20 cm的正方体的某个面平行于投影面时，这个正方体的正投影的面积为( C )
A．200 cm2 B．300 cm2 C．400 cm2 D．600 cm2
8.几何体在平面P的正投影，取决于( A )
①几何体的形状；
②投影面与几何体的位置关系；
③投影面P的大小．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【点拨】几何体在平面的正投影与几何体的形状，投影面与几何体的位置关系有关，与投影面的大小无关．
9.如图，把正方体一个顶点朝上立放，在它下面放一张白纸，使纸面与太阳光垂直，则正方体在纸上的正投影是( C )
10.如图,箭头表示投影线的方向,则图中圆柱体的正投影是( B )
A.圆 B.矩形 C.梯形 D.圆柱
11.当某一几何体在投影面P前的摆放位置确定以后,改变它与投影面P的距离,其正投影的形状( C )
A.变小 B.变大 C.不发生变化 D.无法确定
12.当棱长为10 cm的正方体的某个面平行于投影面时,这个正方体的正投影的面积为( B )
A.10 cm2 B.100 cm2 C.200 cm2 D.300 cm2
二、填空题
13.投影线 于投影面产生的投影叫做正投影．
(1)当线段平行于投影面时，线段与它的正投影的大小关系为 ；
(2)当线段倾斜于投影面时，线段与它的正投影的大小关系为 ；
(3)当线段垂直于投影面时，它的正投影是 ．当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小 ．
【答案】垂直 相等 线段大于影长 一个点 一样
14.平行于投影面的平行四边形的面积 等于 它的正投影的面积.(填“大于”“小于”或“等于”)
15.如图是一个三棱柱，投影线的方向如箭头所示，它的正投影是下图中的____．(填序号)
【答案】②
16.如图所示是一个圆锥在某平面上的正投影，则该圆锥的侧面积是_____________.
【答案】π
17.如图，正三棱柱的面EFDC∥平面R且AE＝EF＝AF＝2，AB＝6，正三棱柱在平面R的正投影是________，正投影的面积为_______.
【答案】矩形 12
18.小明喜欢玩魔方,已知他的魔方的棱长为5.5 cm,若魔方的一面平行于投影面,则这个面的正投影的面积为 cm2.
【答案】30.25
【解析】 根据题意知,魔方的正投影是边长为5.5 cm的正方形,所以正投影的面积为5.5×5.5=30.25(cm2).
三、解答题
19.光线由上到下照射一个三棱柱时的投影如图，三棱柱的高为10.请分别画出三棱柱各个面的正投影，并标出投影的边长．
解：如图
20.已知木棒AB垂直投射于投影面α上的投影为A1B1,且木棒AB的长为8 cm.
(1)如图1,若AB平行于投影面α,求A1B1的长;
(2)如图2,若木棒AB与投影面α的倾斜角为30°,求此时A1B1的长.(结果保留根号)
解:(1)A1B1＝AB＝8 cm.
(2)过点A作AH⊥BB1,垂足为H.
∵AA1⊥A1B1,BB1⊥A1B1,
∴四边形AA1B1H为矩形,∴AH＝A1B1.
在Rt△AHB中,∠BAH＝30°,AB＝8 cm,
∴AH＝AB·cos 30°＝8×(cm),
∴此时A1B1的长为4 cm.
21.如图,从热气球P上测得两建筑物A,B的底部的俯视角分别为45°和30°,如果A,B两建筑物的距离为90 m,P点在地面上的正投影恰好落在线段AB上,求热气球P的高度.(结果精确到0.1 m,参考数据:≈1.732,≈1.414)
解:过点P作PC⊥AB于点C.
在Rt△ACP中,∠APC＝45°,则AC＝PC.
在Rt△BCP中,∠B＝30°,则BC＝PC.
∵AB＝AC+BC＝(+1)PC＝90 m,
∴PC＝≈32.9(m).
答:热气球P的高度约为32.9 m.
22.已知一纸板的形状为正方形ABCD，且边长为10 cm.如图，四边形A1B1C1D1是正方形ABCD在面β上的正投影，AD，BC与投影面β平行，且AB，CD与投影面β成30°角，求正方形ABCD的正投影的面积．
解：过点A作AH⊥BB1于点H.依题意，得∠BAH＝30°，四边形A1B1C1D1是矩形，其中A1D1＝AD，A1B1＝AH.
∵AH⊥BB1，∠BAH＝30°，
∴AH＝AB·cos 30°＝10×＝5(cm)，
∴A1B1＝AH＝5cm.∵A1D1＝AD＝10 cm，
∴S四边形A1B1C1D1＝A1B1·A1D1＝5×10＝50(cm2)，
即正方形ABCD的正投影的面积是50cm2.
【规律总结】求投影的面积，先确定投影的形状，再根据相应的面积公式，有针对性地求出相关线段的长．
23.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，在阳光的垂直照射下，点C落在斜边AB上的D点．
(1)试探究线段AC，AB和AD之间的关系，并说明理由；
(2)线段BC，AB和BD之间也有类似的关系吗？
解：当阳光垂直照射时，点C在AB上的正投影是D点，连接CD，
则CD⊥AB.
(1)AC2＝AD·AB.
理由：在Rt△ABC和Rt△ACD中，
∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB＝90°，
∴△ADC∽△ACB，
∴，
即AC2＝AD·AB.
(2)线段BC，AB和BD之间有类似的关系．
∵△BDC∽△BCA，
∴，
即BC2＝AB·BD.
24.如图，某数学兴趣小组利用树影测量树高．已测出树的影长为9 m，并测出此时太阳光线与地面成30°角．
(1)求树AB的高度；
(2)因水土流失，此时树AB沿太阳光线方向倾倒，在倾倒过程中，树影长度发生了变化，假设太阳光线与地面夹角保持不变，试求树影的最大长度．(计算结果精确到0.1米，参照数据≈1.414，≈1.732)
解：(1)在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠BCA＝30°，因为tan∠BCA＝，
所以AB＝AC·tan∠BCA＝9×≈5.2(m)．
(2)以点A为圆心，以AB长为半径作圆弧，当太阳光线与圆弧相切时，设切点为D，连接AD，则∠DAC＝60°，即树与地面的夹角为60°，此时树影最长．设此时树顶端的影子为点E，则DE⊥AD，在Rt△ADE中，∠ADE＝90°，∠AED＝30°，所以AE＝2AD≈2×5.2＝10.4(m)，即树影的最大长度约为10.4 m.
第2课时 正投影
一、选择题
1.若木棒长为1.2 m,则它的正投影的长一定( )
A.大于1.2 m B.小于1.2 m C.等于1.2 m D.小于或等于1.2 m
2.球的正投影是( )
A.圆面 B.椭圆面 C.点 D.圆环
3.【中考·绥化】正方形的正投影不可能是( )
A．线段 B．矩形 C．正方形 D．梯形
4.下列投影中，正投影有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5.如图，水杯的杯口与投影面平行，投影线的方向如箭头所示，它的正投影是( )
6.一根笔直的小木棒(记为线段AB)，它的正投影为线段CD，则下列各式中一定成立的是( )
A．AB＝CD B．AB≤CD C．AB＞CD D．AB≥CD
7.当棱长为20 cm的正方体的某个面平行于投影面时，这个正方体的正投影的面积为( )
A．200 cm2 B．300 cm2 C．400 cm2 D．600 cm2
8.几何体在平面P的正投影，取决于( )
①几何体的形状；
②投影面与几何体的位置关系；
③投影面P的大小．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
9.如图，把正方体一个顶点朝上立放，在它下面放一张白纸，使纸面与太阳光垂直，则正方体在纸上的正投影是( )
10.如图,箭头表示投影线的方向,则图中圆柱体的正投影是( )
A.圆 B.矩形 C.梯形 D.圆柱
11.当某一几何体在投影面P前的摆放位置确定以后,改变它与投影面P的距离,其正投影的形状( )
A.变小 B.变大 C.不发生变化 D.无法确定
12.当棱长为10 cm的正方体的某个面平行于投影面时,这个正方体的正投影的面积为( )
A.10 cm2 B.100 cm2 C.200 cm2 D.300 cm2
二、填空题
13.投影线 于投影面产生的投影叫做正投影．
(1)当线段平行于投影面时，线段与它的正投影的大小关系为 ；
(2)当线段倾斜于投影面时，线段与它的正投影的大小关系为 ；
(3)当线段垂直于投影面时，它的正投影是 ．当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小 ．
14.平行于投影面的平行四边形的面积 它的正投影的面积.(填“大于”“小于”或“等于”)
15.如图是一个三棱柱，投影线的方向如箭头所示，它的正投影是下图中的____．(填序号)
16.如图所示是一个圆锥在某平面上的正投影，则该圆锥的侧面积是_____________.
17.如图，正三棱柱的面EFDC∥平面R且AE＝EF＝AF＝2，AB＝6，正三棱柱在平面R的正投影是________，正投影的面积为_______.
18.小明喜欢玩魔方,已知他的魔方的棱长为5.5 cm,若魔方的一面平行于投影面,则这个面的正投影的面积为 cm2.
三、解答题
19.光线由上到下照射一个三棱柱时的投影如图，三棱柱的高为10.请分别画出三棱柱各个面的正投影，并标出投影的边长．
20.已知木棒AB垂直投射于投影面α上的投影为A1B1,且木棒AB的长为8 cm.
(1)如图1,若AB平行于投影面α,求A1B1的长;
(2)如图2,若木棒AB与投影面α的倾斜角为30°,求此时A1B1的长.(结果保留根号)
21.如图,从热气球P上测得两建筑物A,B的底部的俯视角分别为45°和30°,如果A,B两建筑物的距离为90 m,P点在地面上的正投影恰好落在线段AB上,求热气球P的高度.(结果精确到0.1 m,参考数据:≈1.732,≈1.414)
22.已知一纸板的形状为正方形ABCD，且边长为10 cm.如图，四边形A1B1C1D1是正方形ABCD在面β上的正投影，AD，BC与投影面β平行，且AB，CD与投影面β成30°角，求正方形ABCD的正投影的面积．
23.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，在阳光的垂直照射下，点C落在斜边AB上的D点．
(1)试探究线段AC，AB和AD之间的关系，并说明理由；
(2)线段BC，AB和BD之间也有类似的关系吗？
24.如图，某数学兴趣小组利用树影测量树高．已测出树的影长为9 m，并测出此时太阳光线与地面成30°角．
(1)求树AB的高度；
(2)因水土流失，此时树AB沿太阳光线方向倾倒，在倾倒过程中，树影长度发生了变化，假设太阳光线与地面夹角保持不变，试求树影的最大长度．(计算结果精确到0.1米，参照数据≈1.414，≈1.732)
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参考答案
一、选择题
1.若木棒长为1.2 m,则它的正投影的长一定( D )
A.大于1.2 m B.小于1.2 m C.等于1.2 m D.小于或等于1.2 m
2.球的正投影是( A )
A.圆面 B.椭圆面 C.点 D.圆环
3.【中考·绥化】正方形的正投影不可能是( D )
A．线段 B．矩形 C．正方形 D．梯形
4.下列投影中，正投影有( B )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5.如图，水杯的杯口与投影面平行，投影线的方向如箭头所示，它的正投影是( D )
6.一根笔直的小木棒(记为线段AB)，它的正投影为线段CD，则下列各式中一定成立的是( D )
A．AB＝CD B．AB≤CD C．AB＞CD D．AB≥CD
7.当棱长为20 cm的正方体的某个面平行于投影面时，这个正方体的正投影的面积为( C )
A．200 cm2 B．300 cm2 C．400 cm2 D．600 cm2
8.几何体在平面P的正投影，取决于( A )
①几何体的形状；
②投影面与几何体的位置关系；
③投影面P的大小．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【点拨】几何体在平面的正投影与几何体的形状，投影面与几何体的位置关系有关，与投影面的大小无关．
9.如图，把正方体一个顶点朝上立放，在它下面放一张白纸，使纸面与太阳光垂直，则正方体在纸上的正投影是( C )
10.如图,箭头表示投影线的方向,则图中圆柱体的正投影是( B )
A.圆 B.矩形 C.梯形 D.圆柱
11.当某一几何体在投影面P前的摆放位置确定以后,改变它与投影面P的距离,其正投影的形状( C )
A.变小 B.变大 C.不发生变化 D.无法确定
12.当棱长为10 cm的正方体的某个面平行于投影面时,这个正方体的正投影的面积为( B )
A.10 cm2 B.100 cm2 C.200 cm2 D.300 cm2
二、填空题
13.投影线 于投影面产生的投影叫做正投影．
(1)当线段平行于投影面时，线段与它的正投影的大小关系为 ；
(2)当线段倾斜于投影面时，线段与它的正投影的大小关系为 ；
(3)当线段垂直于投影面时，它的正投影是 ．当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小 ．
【答案】垂直 相等 线段大于影长 一个点 一样
14.平行于投影面的平行四边形的面积 等于 它的正投影的面积.(填“大于”“小于”或“等于”)
15.如图是一个三棱柱，投影线的方向如箭头所示，它的正投影是下图中的____．(填序号)
【答案】②
16.如图所示是一个圆锥在某平面上的正投影，则该圆锥的侧面积是_____________.
【答案】π
17.如图，正三棱柱的面EFDC∥平面R且AE＝EF＝AF＝2，AB＝6，正三棱柱在平面R的正投影是________，正投影的面积为_______.
【答案】矩形 12
18.小明喜欢玩魔方,已知他的魔方的棱长为5.5 cm,若魔方的一面平行于投影面,则这个面的正投影的面积为 cm2.
【答案】30.25
【解析】 根据题意知,魔方的正投影是边长为5.5 cm的正方形,所以正投影的面积为5.5×5.5=30.25(cm2).
三、解答题
19.光线由上到下照射一个三棱柱时的投影如图，三棱柱的高为10.请分别画出三棱柱各个面的正投影，并标出投影的边长．
解：如图
20.已知木棒AB垂直投射于投影面α上的投影为A1B1,且木棒AB的长为8 cm.
(1)如图1,若AB平行于投影面α,求A1B1的长;
(2)如图2,若木棒AB与投影面α的倾斜角为30°,求此时A1B1的长.(结果保留根号)
解:(1)A1B1＝AB＝8 cm.
(2)过点A作AH⊥BB1,垂足为H.
∵AA1⊥A1B1,BB1⊥A1B1,
∴四边形AA1B1H为矩形,∴AH＝A1B1.
在Rt△AHB中,∠BAH＝30°,AB＝8 cm,
∴AH＝AB·cos 30°＝8×(cm),
∴此时A1B1的长为4 cm.
21.如图,从热气球P上测得两建筑物A,B的底部的俯视角分别为45°和30°,如果A,B两建筑物的距离为90 m,P点在地面上的正投影恰好落在线段AB上,求热气球P的高度.(结果精确到0.1 m,参考数据:≈1.732,≈1.414)
解:过点P作PC⊥AB于点C.
在Rt△ACP中,∠APC＝45°,则AC＝PC.
在Rt△BCP中,∠B＝30°,则BC＝PC.
∵AB＝AC+BC＝(+1)PC＝90 m,
∴PC＝≈32.9(m).
答:热气球P的高度约为32.9 m.
22.已知一纸板的形状为正方形ABCD，且边长为10 cm.如图，四边形A1B1C1D1是正方形ABCD在面β上的正投影，AD，BC与投影面β平行，且AB，CD与投影面β成30°角，求正方形ABCD的正投影的面积．
解：过点A作AH⊥BB1于点H.依题意，得∠BAH＝30°，四边形A1B1C1D1是矩形，其中A1D1＝AD，A1B1＝AH.
∵AH⊥BB1，∠BAH＝30°，
∴AH＝AB·cos 30°＝10×＝5(cm)，
∴A1B1＝AH＝5cm.∵A1D1＝AD＝10 cm，
∴S四边形A1B1C1D1＝A1B1·A1D1＝5×10＝50(cm2)，
即正方形ABCD的正投影的面积是50cm2.
【规律总结】求投影的面积，先确定投影的形状，再根据相应的面积公式，有针对性地求出相关线段的长．
23.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，在阳光的垂直照射下，点C落在斜边AB上的D点．
(1)试探究线段AC，AB和AD之间的关系，并说明理由；
(2)线段BC，AB和BD之间也有类似的关系吗？
解：当阳光垂直照射时，点C在AB上的正投影是D点，连接CD，
则CD⊥AB.
(1)AC2＝AD·AB.
理由：在Rt△ABC和Rt△ACD中，
∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB＝90°，
∴△ADC∽△ACB，
∴，
即AC2＝AD·AB.
(2)线段BC，AB和BD之间有类似的关系．
∵△BDC∽△BCA，
∴，
即BC2＝AB·BD.
24.如图，某数学兴趣小组利用树影测量树高．已测出树的影长为9 m，并测出此时太阳光线与地面成30°角．
(1)求树AB的高度；
(2)因水土流失，此时树AB沿太阳光线方向倾倒，在倾倒过程中，树影长度发生了变化，假设太阳光线与地面夹角保持不变，试求树影的最大长度．(计算结果精确到0.1米，参照数据≈1.414，≈1.732)
解：(1)在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠BCA＝30°，因为tan∠BCA＝，
所以AB＝AC·tan∠BCA＝9×≈5.2(m)．
(2)以点A为圆心，以AB长为半径作圆弧，当太阳光线与圆弧相切时，设切点为D，连接AD，则∠DAC＝60°，即树与地面的夹角为60°，此时树影最长．设此时树顶端的影子为点E，则DE⊥AD，在Rt△ADE中，∠ADE＝90°，∠AED＝30°，所以AE＝2AD≈2×5.2＝10.4(m)，即树影的最大长度约为10.4 m.