北师大版九年级数学下册第三章《＊7 切线长定理》教学设计(表格式)

切线长定理
教材分析：
这节课是北师大版九年级下册第三章第七节的内容，是直线与圆位置关系中重点内容，是在学习了切线的性质和判定的基础上，继续对切线性质的研究，是在垂径定理之后对圆的对称性又一次认识。体现了图形的认识、图形的变换、图形的证明的有机结合，为我们证明线段、角、弧、垂直关系等提供了一个基本图形和证明依据，为进一步研究圆的数量关系做好了铺垫，起着承上启下的作用。
数学核心素养：
主要体现在对学生直观想象、逻辑推理方面的培养
数学思想或能力：
转化思想、方程思想、数形结合思想、用代数方法解决几何问题的思想，合情推理能力和初步的演绎推理能力，有条理地、清晰地阐述自己的观点的能力。
教学目标：
知识与技能目标：
了解切线长的定义，掌握切线长定理，并利用它进行有关的计算；在运用切线长定理的解题过程中，进一步渗透方程的思想，熟悉用代数的方法解几何题。
过程与方法目标：
经历添线、猜想、证明等数学活动过程，让学生体验到知识的生成、联系及转化过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，培养学生有条理地、清晰地阐述自己的观点的能力。在解题中形成解决问题的基本策略，体验问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神。
情感与态度目标：
了解数学的价值，对数学有好奇心与求知欲，在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。
教学重点：
理解切线长定理
教学难点：
应用切线长定理解决问题
教法：
教学方法采用引导发现法，辅之以讨论法。利用“大胆添线—提出猜想—推理验证—应用拓展”的模式进行教学。本节课是概念、定理、解题的教学，因此，要把概念教学、定理教学、解题教学有机组合，完成本节课的教学。
学法：
研究性学习，学生在教师引导下，去思考、猜想、探索、讨论。
教学流程：
复习回顾 总结方法，二、大胆添线 猜想验证，三、学以致用 自我检验，四、总结反思 自我升华，五、完成作业 自我巩固
教学过程：
教学环节 教学过程设计 学生活动 设计目的
一、 复习 回顾 方法 总结 切线的判定方法： 1、和圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法） 2、到圆心的距离等与圆的半径的直线是圆的切线（d=r）（数量法） 3、经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（判定定理） 学生在老师带领下，不仅对上节课的知识点进行复习，同时对学习过的方法、过程进行自我总结和升华。 实现温故旧知并且提高的目的，同时为“知新”打下基础。
二、 大胆 添线 猜想 验证 、切线长定义 1、提出问题：经过圆外一点P，作已知⊙O的切线可以作几条？ 图1 图2 板书：在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长. 2、剖析定义： （1）找出中心词，把定义进行缩句。（线段的长叫做切线长） （2）切线和切线长的定义有何区别？ （二）切线长定理： 1、大胆添线 猜想证明 在图中适当添加若干条直线、射线和线段，在组成的新图形中，你有什么发现？ （1）连接OA、OB，根据图形判断：猜想图中PA是否等于PB？∠1与∠2又有什么关系？ 我们来探索一下，从而进入定理教学。 线段相等：PA=PB； OA=OB； 角相等：∠APO=∠BPO； ∠AOP=∠BOP； 垂直关系：OA⊥PA；OB⊥PB； 三角形全等：△OAP≌△OBP. 图3 （2）由（1）得出定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角. 积极思考，回答教师的提问 此处通过学生思考得出结论，再次加深学生对概念的理解，也使学生了解切线长与切线的关系，同时由这个结论教师适时引出探索问题。 学生猜想两条切线长PA与PB的数量关系，∠APO与∠BPO有什么关系？并分组讨论 学生在老师的引导下学生对上述过程总结，得出切线长定理，口述得到的结论，口述证明过程。 使学生了解切线长的定义，并能在具体的图形中把它们识别出来。 对话式的定理教学的方式有利于激发学生的自主探索，加深对定义的理解。 学生通过猜想、验证，经历了一个自主探究的过程，从而激发学生的学习兴趣，发现切线长定理。 证明定理是为了培养学生的数学思维能力，“知其然并知其所以然”。 培养学生合情推理能力、语言表达能力。
二、 大胆 添线 猜想 验证 （3）、用符号语言表示定理： ∵PA、PB分别是⊙O的切线，点A、B分别为切点，（PA、PB分别与⊙O相切于点A、B） ∴PA=PB， ∠APO=∠BPO. 2、继续添线 大胆猜想（切线长定理基本图形的研究） （1）连接AB，如图4，与OP交于点C，在本图中，你又有什么发现？ 猜想：OP垂直与AB，OP平分AB 你能证明吗？ 师生共同完成证明（2种方法） 事实上，在本图中OP所在的直线是圆O的对称轴，所以本图当中会有相等的线段、角、也会有等腰三角形及全等三角形。（PPT展示本图中所包含的综合知识） 图4 图5 （2）过圆上一点D，做⊙O的切线EF，如图5分别交PA、PB于E、F点，讨论△PEF的周长跟切线长有关系？ 结论：△PEF的周长=PE+ED=PA=2PA （3）做⊙O的切线EF，如图6，切点为C，则⊙O是△PEF的内切圆,如果已知EF=3，PE=4，PF=5cm，求AE的长.已知EF=a，PE=b，PF=c，则⊙O的半径。结论：r=1/2（a+b-c） 图6 图7 （4）做⊙O的切线FG，如图7，交⊙O于点D，则四边形PEFG是⊙O的外切四边形，那么他的两组对边有怎样的关系？ 结论：圆外切四边形两组对边的和相等 口述几何应用形式并记录。 大胆添线，提出猜想。每添加一条切线，能提出自己的猜想，并能根据刚学的切线长定理，结合方程思想和用代数方法解决几何题的思想，验证自己的猜想，从而得出结论。 三角形的内切圆的定义学生不难理解，而例题中求AF、BD、CE的长，学生可能会无从下手．因此让学生分组讨论解题思路，并由部分学生说出解题思路。 能进一步明确定理的题设和结论，正确应用定理，并为规范证明过程打下基础。 随着一环紧扣一环的探索问题的深入，学生通过自主地发现问题、信息搜集与处理、表达与交流等探索活动，获得知识、技能，并获得积极的、深层次的体验，从而促进学生探究能力的发展。 在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。真正做到“以参与求体验，以创新求发展”。
三、 学以 致用 自我 检验 1.已知，如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点.直线 OP 交 ⊙O 于点 D、E，交 AB 于 C. （1）写出图中所有的垂直关系； （2）写出图中所有的全等三角形. （3）如果 PA = 4 cm , PD = 2 cm , 求半径 OA 的长. 2.已知：如图,PA,PB是⊙O的切线，切点分别是A,B，Q为⊙O上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA,PB于E,F点，已知PA=12cm，求△PEF的周长. 3.（德化·中考）如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD，AC分别交于点E，F，且∠ACB=∠DCE． (1)判断直线CE与⊙O的位置关系， 并证明你的结论. (2)若tan∠ACB= ，BC=2， 求⊙O的半径. 学生尝试，运用所学知识解决实际问题，提高升华。发展应用意识，在数学活动中体验策略的多样性，发展实践能力与创新精神。 通过练习，强化学生主动参与、合作交流的意 识，从中获取知识，并会举一反三。教师通过练习，及时发现问题，评价教学效果。
四、 总结 反思 自我 升华 通过本节课的学习， 1、你在知识上有什么收获？ 2、你在方法上有什么收获？ 3、你从周围同学那里，得到什么收获？ 学生回忆 交流完成 培养学生归纳概括能力，把知识纳入系统，便于学生存储、提取和应用。
五、 完成 作业 自我 巩固 1、作业本： A组同学：习题3.9第1、2、3、4题 B组同学：习题3.9第1、2题 2、练习册：p72 A组同学：基础巩固和拓展提升部分 B组同学：基础巩固部分 根据学生情况，分类布置作业，强化本节知识点。
六、 微型 教案 板书 设计 *§3.7切线长定理 1、切线长的定义 2、切线长定理： 因为PA、PB是⊙O的两条切线． 所以PA=PB，∠OPA=∠OPB． 3、线段相等、角相等、垂直关系 条理清晰 重点突出 帮助理解 便于记忆
七、 教学 反思 不断 提升 在本节课教学中，对本课的重点学习内容能组织学生自主观察、猜想、证明，并深刻剖析切线长定理的基本图形；对重要的结论及时总结。尤其是切线长的基本图形研究环节，学生能充分利用已有的知识和新课内容结合，把切线长定理和圆的对称性紧密结合，体现了本节课知识点的工具性。