方程的根与函数的零点教案
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文档简介
第三章 函数的应用
课题 3．1．1方程的根与函数的零点
教学目标：
知识与技能：理解函数零点的意义，能判断二次函数零点的存在性，会求简单函数的零点，了解零点与方程根的关系，初步形成用函数观点处理问题的意识。
过程与方法：通过体验函数零点的形成过程，零点存在性的探索过程，提高数学知识的综合运用能力，体会数形结合的数学思想，函数与方程，从特殊到一般的归纳思想。
情感态度与价值观：通过函数零点与方程根的联系，体会事物之间相互变化的辨证思想
教学重点：
函数零点与方程根之间的关系，连续函数在某区间上存在零点的判定方法
教学难点：
探究发现函数存在零点的判定方法
教学方法：
问题引领、启发诱导
使用教具：多媒体
学情分析：
学生已有的认知基础是，初中学习过二次函数图象和二次方程，并且解过“当函数值为0时，求相应自变量的值”的问题，初步认识到二次方程与二次函数的联系，对二次函数图象与轴是否相交，也有一些直观的认识与体会。在高中阶段，已经学习了函数概念与性质，掌握了部分基本初等函数的图象与性质。这就为学习本节内容打下了知识基础。
一、导入新课
问题1、求下列方程的根
①②③
第③题学生无法解答，产生疑惑，引出课题
二、新课——方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念
问题2、一元二次方程的根与二次函数的图象有什么关系？
先观察几个具体的一元二次方程及其相应的二次函数
①方程与二次函数
②方程与二次函数
③方程与二次函数
引导学生解方程，画出函数图象，分析方程的根与图象和轴交点坐标的关系。上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样？推广到一般的方程和函数呢？
填写下表：
函数零点的概念：对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点。
2、方程的根与函数零点的关系
问题3、零点是点吗？零点与方程的根有什么关系？零点与函数图象与轴的交点有什么关系？
函数的零点并不是“点”，它不是以坐标的形式出现的，而是实数，例如函数的零点为
函数的零点就是方程的实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。
结论：方程有实数根
函数的图象与轴有交点
函数有零点
3、函数零点的求法
问题4、如何根据函数零点的意义求零点？
①（代数法）求方程的实数根
②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点
二次函数的零点（看）
当时，方程有两个不等的实数根，函数的图象与轴有两个交点，函数有两个零点；当时，方程有两个相等的实数根，函数的图象与轴有一个交点，函数有一个零点；当时，方程没有实数根，函数的图象与轴没有交点，函数没有零点。
练习：求下列函数的零点
①
②
4、函数零点存在性的判定
函数在某个区间上是否一定有零点？
怎样的条件下，函数一定有零点？
问题5、观察二次函数的图象在区间上是否有零点？计算与的乘积，你能发现这个乘积有什么特点？在区间上呢？
观察函数的图象，能否得出同样的结论？
1 在区间(a,b)内_____(有/无)零点；
f(a)f(b)_____ 0（＜或＞）．
② 在区间(b,c)内______(有/无)零点；
f(b)f(c) _____ 0（＜或＞）．
③ 在区间(c,d)内______(有/无)零点；
f(c)f(d) _____ 0（＜或＞）．
结论：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得。这个也就是方程的根。
注意：1、它是判断任意函数的零点存在的方法，只能判断函数零点是否存在，而无法确定零点存在的个数
2、反之不真
例1、 求函数的零点个数
解：此函数定义域为（0，+∞）
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
f(x) -4 -1.3069 1.0986 3.3863 5.6094 7.7918 9.9459 12.0794 14.1972
从列表和图象可看出，f(2)<0 , f(3)>0
即f(2)·f(3)<0,所以函数在（2，3）内
有零点。又由于函数在整个定义域内
是增函数，故只有一个零点。
三、课堂练习：见教材1、2
四、课堂小结：学完本节课，你有哪些收获？
１、函数零点的定义；
2、函数的零点与方程的根的关系；
3、确定函数的零点的方法。
4、思想方法：数形结合思想，函数与方程思想，从特殊到一般的归纳思想。
五、作业：
1. 1、2
2.思考：
函数 的零点在区间上，如何求出这个零点？
板书设计
§3．1．1 方程的根与函数的零点
一、函数的零点的概念二、 三个等价关系三、函数零点的求法四、判定零点的存在性：1 函数是连续的。2 f(a)f(b)<0。3 至少有一个零点。 例…… 练习：（1）……（2）……
多
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课题 3．1．1方程的根与函数的零点
教学目标：
知识与技能：理解函数零点的意义，能判断二次函数零点的存在性，会求简单函数的零点，了解零点与方程根的关系，初步形成用函数观点处理问题的意识。
过程与方法：通过体验函数零点的形成过程，零点存在性的探索过程，提高数学知识的综合运用能力，体会数形结合的数学思想，函数与方程，从特殊到一般的归纳思想。
情感态度与价值观：通过函数零点与方程根的联系，体会事物之间相互变化的辨证思想
教学重点：
函数零点与方程根之间的关系，连续函数在某区间上存在零点的判定方法
教学难点：
探究发现函数存在零点的判定方法
教学方法：
问题引领、启发诱导
使用教具：多媒体
学情分析：
学生已有的认知基础是，初中学习过二次函数图象和二次方程，并且解过“当函数值为0时，求相应自变量的值”的问题，初步认识到二次方程与二次函数的联系，对二次函数图象与轴是否相交，也有一些直观的认识与体会。在高中阶段，已经学习了函数概念与性质，掌握了部分基本初等函数的图象与性质。这就为学习本节内容打下了知识基础。
一、导入新课
问题1、求下列方程的根
①②③
第③题学生无法解答，产生疑惑，引出课题
二、新课——方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念
问题2、一元二次方程的根与二次函数的图象有什么关系？
先观察几个具体的一元二次方程及其相应的二次函数
①方程与二次函数
②方程与二次函数
③方程与二次函数
引导学生解方程，画出函数图象，分析方程的根与图象和轴交点坐标的关系。上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样？推广到一般的方程和函数呢？
填写下表：
函数零点的概念：对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点。
2、方程的根与函数零点的关系
问题3、零点是点吗？零点与方程的根有什么关系？零点与函数图象与轴的交点有什么关系？
函数的零点并不是“点”，它不是以坐标的形式出现的，而是实数，例如函数的零点为
函数的零点就是方程的实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。
结论：方程有实数根
函数的图象与轴有交点
函数有零点
3、函数零点的求法
问题4、如何根据函数零点的意义求零点？
①（代数法）求方程的实数根
②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点
二次函数的零点（看）
当时，方程有两个不等的实数根，函数的图象与轴有两个交点，函数有两个零点；当时，方程有两个相等的实数根，函数的图象与轴有一个交点，函数有一个零点；当时，方程没有实数根，函数的图象与轴没有交点，函数没有零点。
练习：求下列函数的零点
①
②
4、函数零点存在性的判定
函数在某个区间上是否一定有零点？
怎样的条件下，函数一定有零点？
问题5、观察二次函数的图象在区间上是否有零点？计算与的乘积，你能发现这个乘积有什么特点？在区间上呢？
观察函数的图象，能否得出同样的结论？
1 在区间(a,b)内_____(有/无)零点；
f(a)f(b)_____ 0（＜或＞）．
② 在区间(b,c)内______(有/无)零点；
f(b)f(c) _____ 0（＜或＞）．
③ 在区间(c,d)内______(有/无)零点；
f(c)f(d) _____ 0（＜或＞）．
结论：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得。这个也就是方程的根。
注意：1、它是判断任意函数的零点存在的方法，只能判断函数零点是否存在，而无法确定零点存在的个数
2、反之不真
例1、 求函数的零点个数
解：此函数定义域为（0，+∞）
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
f(x) -4 -1.3069 1.0986 3.3863 5.6094 7.7918 9.9459 12.0794 14.1972
从列表和图象可看出，f(2)<0 , f(3)>0
即f(2)·f(3)<0,所以函数在（2，3）内
有零点。又由于函数在整个定义域内
是增函数，故只有一个零点。
三、课堂练习：见教材1、2
四、课堂小结：学完本节课，你有哪些收获？
１、函数零点的定义；
2、函数的零点与方程的根的关系；
3、确定函数的零点的方法。
4、思想方法：数形结合思想，函数与方程思想，从特殊到一般的归纳思想。
五、作业：
1. 1、2
2.思考：
函数 的零点在区间上，如何求出这个零点？
板书设计
§3．1．1 方程的根与函数的零点
一、函数的零点的概念二、 三个等价关系三、函数零点的求法四、判定零点的存在性：1 函数是连续的。2 f(a)f(b)<0。3 至少有一个零点。 例…… 练习：（1）……（2）……
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