(共14张PPT)
数学 八年级下册 人教版
第十七章 勾股定理
17.2 勾股定理的逆定理
第1课时 勾股定理的逆定理
C
A
5
解：(1)是，∠B是直角
(2)不是
(3)是，∠A是直角
D
7．(4分)下列定理：①同角的余角相等；②线段垂直平分线上的点到这条线段两端的距离相等；③同位角相等，两直线平行；④同角的补角相等．其中有逆定理的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．(5分)对于命题“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等”，它的逆命题为_____________________________________________，该逆命题是____命题(填“真”或“假”)．
B
如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等
假
9．(4分)下列各组数不是勾股数的是( )
A．3，4，5 B．5，12，13
C．8，15，17 D．7，25，26
D
10．(益阳中考)已知M，N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN的长为半径画弧；再以点B为圆心，BM的长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
11．五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是( )
B
C
12．如图，以△ABC的三条边为边分别向外作等边三角形，其面积分别为S1，S2，S3，若S1＋S2＝S3，则∠BAC＋∠ABC＝____．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5 cm，AC＝3 cm，动点P从点B出发，沿射线BC以2 cm/s的速度移动，设运动的时间为t s，
则当t＝_____________时△ABP为直角三角形．
90°
【素养提升】
16．(16分)张老师在一次“探究性学习”课中设计了如下数表：
(1)请你分别探究a，b，c与n之间的关系，并用含n(n>1)的式子表示：
a＝_______，b＝____，c＝____；
(2)猜想以a，b，c为三边长的三角形是否为直角三角形，并证明你的猜想．
n 2 3 4 5 …
a 22－1 32－1 42－1 52－1 …
b 4 6 8 10 …
c 22＋1 32＋1 42＋1 52＋1 …
n2－1
2n
n2＋1
解：(2)以a，b，c为三边长的三角形是直角三角形，证明：∵a2＋b2＝(n2－1)2＋(2n)2＝n4－2n2＋1＋4n2＝n4＋2n2＋1，c2＝(n2＋1)2＝n4＋2n2＋1，∴a2＋b2＝c2，∴以a，b，c为三边长的三角形是直角三角形(共13张PPT)
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第十七章 勾股定理
17．1 勾股定理
第1课时 勾股定理
1．(4分)如图，△ABC的∠A，∠B，∠C的对边长分别为a，b，c，
则下列说法正确的是( )
A．a2＋b2＝c2
B.若△ABC是直角三角形，则a2＋b2＝c2
C.若∠A＝90°，则a2＋b2＝c2
D．若∠C＝90°，则a2＋b2＝c2
D
2．(4分)利用如图①或②所示的两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为_____________，该定理的结论的数学表达式是____________．
勾股定理
a2＋b2＝c2
3．(3分)(滨州中考)在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
4．(4分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，
那么BC的长是( )
A．12 B．6 C．5 D．4
A
C
5．(4分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＋BC＝16，AC＝8，
则AB的长为( )
A．9 B．10 C．12 D．14
6．(4分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝3，
则AC的长为____．
B
3
7．(4分)(成都中考)如图，数字代表所在正方形的面积，
则A所代表的正方形的面积为____．
8．(4分)【易错题】若一直角三角形的两边长分别为2和6，
则它的第三边的长为______________．
100
A
A
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，BC，AB为直径作半圆，它们的面积分别记为S1，S2，S3，若S3＝9π，则S1＋S2＝____．
13．如图是“赵爽弦图”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，如果AB＝10，EF＝2，
那么AH＝____．
9π
6
15．(13分)【易错题】在△ABC中，AB＝13 cm，AC＝15 cm，高AD＝12cm，求BC的长．
【素养提升】
16．(15分)勾股定理神奇而美妙，它的证法多种多样，在学习了教材中介绍的拼图证法以后，小华突发灵感，给出了如图所示的拼图：两个全等的直角三角尺△ABC和△DEF，顶点F在BC边上，顶点C，D重合，连接AE，EB，设AB交DE于点G，∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF＝a，AC＝DF＝b(a＞b)，AB＝DE＝c.
(1)求∠AGE的度数；
(2)请用两种方法计算四边形ACBE的面积，并以此为基础证明勾股定理．(共12张PPT)
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第十七章 勾股定理
17．1 勾股定理
第2课时 勾股定理的应用
1．(3分)如图所示的是某校的长方形水泥操场，如果一学生要从A角走到C角，至少要走( )
A．70 m B．60 m C．50 m D．45 m
2．(3分)(教材P28习题17.1T2变式)由于台风的影响，一棵树在离地面6 m处折断(如图)，树顶落在离树干底部8 m处，则这棵树在折断前(不包括树根)的长度是( )
A．8 m B．10 m C．16 m D．18 m
C
C
3．(4分)如图，在高为5 m，坡面长为13 m的楼梯表面铺地毯，
则地毯的长度至少为( )
A．17 m B．18 m C．25 m D．26 m
4．(4分)如图，在水塔O的东北方向32 m处有一抽水站A，在水塔的东南方向24 m处有一建筑工地B，现要在A，B间建一条直水管，则水管的长度至少应为____m.
A
40
5．(4分)如图，有两棵树，一棵高10 m，另一棵高5 m，两树相距12 m．
一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少要飞行____m．
13
6．(10分)如图，一辆小汽车在一条城市街路上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A的正前方60 m处的C点，过了5 s后，测得小汽车所在的B点与车速检测仪A之间的距离为100 m．若这条路上的限速为70 km/h，请问这辆小汽车超速了吗？
7．(12分)(教材P25例2变式)如图①，一架梯子AB长2.5 m，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C之间的距离为1.5 m，梯子滑动后停在DE的位置上，如图②，测得梯子底端外移的长BD为0.5 m，则梯子顶端下滑的高度AE也是0.5 m吗？请用你所学的知识解释你的结论．
8．如图，将长为8 cm的橡皮筋放置在x轴上，固定其两端A和B，然后把中点C向上拉升3 cm至点D，则橡皮筋被拉长了( )
A.2 cm
B．3 cm
C．4 cm
D．5 cm
9．如图，小明发现学校旗杆上的绳子垂到地面还多出1 m，当他把绳子的下端拉离旗杆4 m后发现下端刚好接触地面，则学校旗杆的高为( )
A．7 m B．7.5 m C．8 m D．9 m
A
B
10．如图，一只蚂蚁从点A出发，沿底面边长为10 cm，侧棱长为16 cm的正四棱柱的侧面到点B处吃食物，则它需要爬行的最短路径的长是____cm.
4
11．(12分)如图所示，某住宅小区在相邻两楼之间修建了一个上方是一个半圆，
下方是长方形的仿古通道．现有一辆卡车装满家具后高4 m，宽2.4 m，
请问这辆卡车能否通过这个通道？
12．(14分)如图，某地方政府决定在相距50 km的A，B两站之间的公路旁的E点修建一个土特产加工基地，且使C，D两村到E点的距离相等．已知DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，DA＝30 km，CB＝20 km，那么基地E应建在离A站多少千米的地方？
解：设基地E应建在离A站x km的地方，则BE＝(50－x) km.∵DE＝EC，∴AD2＋AE2＝BC2＋BE2，∴302＋x2＝202＋(50－x)2，解得x＝20，∴基地E应建在离A站20 km的地方
【素养提升】
13．(16分)《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃(读kǔn，门槛的意思)一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图①，②(图②为图①的平面示意图)，推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺(1尺＝10寸)，那么门的宽AB为多少？(共12张PPT)
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第十七章 勾股定理
17.2 勾股定理的逆定理
第2课时 勾股定理及其逆定理的综合应用
1．(4分)(玉林中考改)如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1 h后两船分别位于点A，B处，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西40°方向航行，则乙的航行方向为( )
A．南偏东40° B．北偏东40°
C．南偏东50° D．北偏东50°
2．(4分)如图，为了安全起见，从电线杆上离地面12 m的A处到与电线杆底部相距5 m的B处加一长为13 m的拉线(不计捆缚部分)，则电线杆与地面____(填“垂直”或“不垂直”)．
D
垂直
3．(7分)某村在两个山丘之间修建了一个如图所示的三角形小水库，经了解，水库的平均水深是10 m，三条边岸的长分别是AB＝75 m，BC＝45 m，AC＝60 m，你能求出这座水库的蓄水量吗？
4．(3分)如图，正方形网格中的每个小方格的边长均为1，则格点三角形△ABC是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．以上答案都不对
5．(4分)如图，在△ABC中，点D是AC上的一点，连接BD，
若AB＝20，BD＝15，BC＝12，CD＝9，则AD＝____．
B
7
6．(8分)(教材P34习题17.2T6变式)如图，在正方形ABCD中，AB＝4，AE＝2，DF＝1，求证：△BEF是直角三角形．
证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠D＝90°，AD＝CD＝BC＝AB＝4，∴DE＝AD－AE＝4－2＝2，CF＝CD－DF＝4－1＝3，∴EF2＝DE2＋DF2＝22＋12＝5，BF2＝BC2＋CF2＝42＋32＝25.又∵BE2＝AB2＋AE2＝42＋22＝20，∴BF2＝EF2＋BE2，∴△BEF是直角三角形
7．(10分)我校要对如图所示的一块地进行绿化，已知AD＝4 m，CD＝3 m，AD⊥DC，AB＝13 m，BC＝12 m，求这块地的面积．
C
B
10．(杭州中考)如图，在直角坐标系中，以点A(3，1)为端点的四条射线AB，AC，AD，AE分别过点B(1，1)，C(1，3)，D(4，4)，E(5，2)，
则∠BAC____∠DAE(填“＞”“＝”“＜”中的一个)．
11．如图，快艇计划从A地到距离A地26海里的C地，先沿北偏东55°的方向行驶24海里到达B地，再从B地行驶10海里到达C地，
则此时快艇位于B地的_______________的方向上．
＝
北偏西35°
三、解答题(共40分)
12．(12分)如图，某小区将对广场上的一块等腰三角形空地(△ABC)进行绿化，已知底边BC的长为10 m，点D是腰AC上的一点，且BD＝8 m，CD＝6 m.
(1)求证：BD⊥AC；
(2)求腰AB的长．
13．(13分)如图，某小区内的两喷泉A，B之间的距离为250 m，现要为两喷泉铺设供水管道AM，BM，供水点M在小路AC上，供水点M到AB的距离MN的长为120 m，BM的长为150 m．
(1)求供水点M到两喷泉A，B需要铺设的管道总长；
(2)求喷泉B到小路AC的最短距离．
【素养提升】
14．(15分)如图，有一台风中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，
且点C与点A，B之间的距离分别为300 km，400 km，且AB＝500 km.
以台风中心为圆心，周围250 km以内为受影响区域．
(1)海港C受台风影响吗？为什么？
(2)若台风的速度为20 km/h，那么台风影响该海港持续的时间有多长？(共13张PPT)
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第十七章 勾股定理
17.2 勾股定理的逆定理
专题训练(二) 利用勾股定理解决问题
C
C
C
5．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，AC＝5，将△ABC沿AE折叠，
使点B落在AC边上的点B′处，则BE＝____．
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，
点P是边AC上的一动点，将△ABP沿直线BP折叠，点A落在点A′处，
连接A′A，A′C，当△AA′C是直角三角形时，则线段CP的长是____．
3或4
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点E是AB边上的一点，
将△BCE沿直线CE折叠到△FCE，使点B与点F重合．当CF⊥AB时，求线段BE的长．
8．如图所示的是一个底面周长为12 cm，高为8 cm的圆柱形粮仓模型，BC是底面直径，AB是高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过A，C两点(接头不计)，则装饰带的长度最短为( )
A．8 cm B．10 cm C．16 cm D．20 cm
9．如图是一个底面为等边三角形的三棱镜，在这个三棱镜的侧面上从顶点A到顶点A′镶有一圈金属丝，已知此三棱镜的高为8 cm，底面边长为2 cm，则这圈金属丝的长度至少为( )
A．8 cm B．10 cm
C．12 cm D．15 cm
D
B
10．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20 dm，3 dm，2 dm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到B点的最短路程是( )
A．20 dm B．25 dm
C．30 dm D．35 dm
11．如图，一长方体的长、宽、高分别为4 cm，2 cm，5 cm，若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则这只蚂蚁爬行的最短路径的长为____cm.
B
13
12．如图，牧童在A处放牛，牧童家在B处，A，B处到河岸的距离AC，BD分别为500 m和300 m，且C，D两处之间的距离为600 m，天黑前牧童从A处将牛牵到河边去饮水，再赶回家，那么牧童最少要走____m.
1000
13．我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺.有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是____尺．
25
14．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB＝18 cm，BC＝12 cm，BF＝10 cm，点M在棱AB上，且AM＝6 cm，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，求它需要爬行的最短距离．
15．如图，圆柱形玻璃杯的高为14 cm，底面周长为32 cm，在杯内壁离杯底5 cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3 cm与蜂蜜相对的点A处，求蚂蚁从外壁上的点A处爬行到内壁上的点B处的最短距离(杯壁厚度不计).(共15张PPT)
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第十七章 勾股定理
章末复习(二) 勾股定理
B
D
3．若一直角三角形两直角边的长度之比为5∶12，斜边的长为26 cm，
则该直角三角形的周长为____cm.
4．如图，阴影部分是两个正方形，其他三个图形是一个正方形和两个直角三角形，
则阴影部分的面积之和为____．
60
81
5. 勾股定理是初中数学学习的重要定理之一，这个定理的验证方法有很多，
请你根据所给图形选择一种方法画出验证勾股定理的图形，并写出验证过程．
6．如图，公园内有一块长方形草坪，已知它的长AB＝8 m，宽BC＝6 m，公园管理处为了方便群众，沿AC修了一条近道，则一个人从A到C走A－B－C比直接走AC多走了( )
A．2 m B．3 m C．4 m D．8 m
7．如图，OA＝5，过点A作直线l⊥OA，点B在直线l上，且AB＝2，以点O为圆心，OB的长为半径画弧，交数轴于点C，则点C表示的实数是____．
C
8．如图，某自动感应门的正上方离地2.5 m的A处装着一个感应器，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．若一个身高1.6 m的学生CD正对门缓慢走到离门1.2 m(BC＝1.2 m)的地方时，感应门自动打开，则此时人的头顶离感应器的距离AD＝_________．
1.5m
9．如图，有人在岸上点C的地方用绳子拉船靠岸，开始时，绳长BC＝20 m，CA⊥AB，且CA＝12 m，拉动绳子将船从点B沿BA的方向拉到点D后，绳长CD＝12 m，求船体移动的距离BD的长度．
10．如图所示的是一个底部直径BC为12 cm的圆柱形杯子的侧面示意图，在它的正中间竖直放着一根筷子EG，此时筷子漏出杯子外的长度GF＝2 cm，当筷子倒向杯壁时(筷子底端E不动)，筷子顶端正好触到杯口，求筷子EG的长度．
解：设筷子EG的长度为x cm，则DE＝x cm，EF＝(x－2) cm.在Rt△DEF中，
∵EF2＋DF2＝DE2，∴(x－2)2＋62＝x2，解得x＝10，∴筷子EG的长度为10 cm
11．下列命题的逆命题是假命题的是( )
A．等角对等边
B．若a＜0，b＜0，则ab＜0
C．若ab＝1，则a与b互为倒数
D．有一个角为90°的三角形是直角三角形
12．命题“如果一个三角形是钝角三角形，那么这个三角形的两个内角是锐角”的逆命题是____命题(填“真”或“假”)．
B
假
C
合格
90°
16．在一条东西走向的河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，且AB＝AC.由于某种原因，由村庄C到取水点A的路AC现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H(A，H，B三点在一条直线上)，并新修一条路CH，测得CB＝3 km，CH＝2.4 km，HB＝1.8 km.
(1)新修的路CH是从村庄C到河边的最近路吗？请通过计算加以说明；
(2)求原来的路线AC的长．
解：(1)是，理由如下：在△BCH中，∵CH2＋BH2＝2.42＋1.82＝9，BC2＝9，∴CH2＋BH2＝BC2，∴CH⊥AB，∴新修的路CH是从村庄C到河边的最近路
(2)设AC＝x km，则AH＝(x－1.8) km.在Rt△ACH中，∵AC2＝AH2＋CH2，∴x2＝(x－1.8)2＋2.42，解得x＝2.5，∴原来的路线AC的长为2.5 km
【核心素养】
17．《九章算术》中有一“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？其意思为：一根竹子原高一丈(一丈＝10尺)，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，那么这根竹子的折断处离地面的高度是多少？
解：设这根竹子的折断处离地面的高度为x尺，则x2＋62＝(10－x)2，
解得x＝3.2，∴这根竹子的折断处离地面的高度为3.2尺(共12张PPT)
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第十七章 勾股定理
17．1 勾股定理
第3课时 利用勾股定理作图与计算
D
4．(3分)如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，
点A，B都是格点，则线段AB的长为( )
A．5 B．6 C．7 D．25
5．(4分)如图，△ABC的顶点A，B，C都在边长为1的小正方形组成的网格的格点上，BD⊥AC于点D，则CD的长为____．
A
B
8．(8分)如图，有一块等腰三角形的草地(△ABC)，测得底边AB＝6 m，
腰比底边上的高多1 m，求该草地的面积．
C
C
11．如图，网格中的小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在格点上，
则△ABC中AB边上的高为_______.
12．将一副直角三角尺按如图所示的方式放置，点C在FD的延长线上，
且AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，
若AC＝2，则CD的长度为___________．
5
侯
3
B
0
A
-31-2-1
0
1
2
13
-22
25
A
C
I
B
A
C
B
图①
图
2
备用图
