(共10张PPT)
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第十八章 平行四边形
专题训练(五) 特殊平行四边形中的折叠问题
D
D
D
4．对角线的长分别为6和8的菱形ABCD如图所示，点O为对角线的交点，过点O折叠菱形，使B，B′两点重合，MN是折痕．若B′M＝1，则CN的长为( )
A．7 B．6 C．5 D．4
D
5．如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE，若AB＝4，则FM的长为____．
6．(黔西南州中考)如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝9，M是BC上的点，且CM＝3，将矩形纸片ABCD沿过点M的直线折叠，使点D落在AB上的点P处，点C落在点C′处，折痕为MN，则线段AN的长是____．
4
7．(盐城中考)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，E，F分别是边BC，CD上的一点，EF⊥AE，将△ECF沿EF翻折得△EC′F，连接AC′，当BE＝
_________时，△AEC′是以AE为腰的等腰三角形．
8．如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C与点A重合，点D与点G重合，连接CF.
(1)判断四边形AECF的形状，并说明理由；
(2)若AB＝4，AD＝8，求折痕EF的长．(共16张PPT)
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第十八章 平行四边形
18．1 平行四边形18．1.2 平行四边形的判定
第1课时 平行四边形的判定1
1．(4分)如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD，若∠A＝110°，则∠C的度数为( )
A．100° B．110° C．120° D．130°
B
2．(5分)如图，点A是直线l外的一点，在直线l上取两点B，C，分别以点A，C为圆心，BC，AB的长为半径画弧，两弧交于点D，连接AB，AD，CD，则四边形ABCD是___________形，理由为_______________________________________．
平行四边
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
3．(9分)如图，在四边形ABCD中，DB⊥BC，求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵DB⊥BC，
∴BD2＋BC2＝CD2，即42＋(x －5)2＝(x －3)2，
解得x＝8，∴BC＝x －5＝3，AD＝11－x＝3，CD＝x －3＝5，∴AD＝BC，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形
4．(4分)下面给出了四边形ABCD中∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A．1∶2∶3∶4 B．2∶2∶3∶3
C．2∶3∶2∶3 D．2∶3∶3∶2
C
5．(4分)如图，将两根木棒的中点重叠，并用钉子固定，则得到的虚线四边形就是平行四边形，其判断的依据是( )
A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．两组对角分别相等的四边形是平行四边形
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D
6．(5分)如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AC＝12，BD＝15，则当AO＝____，BO＝____时四边形ABCD是平行四边形．
6
7.5
7．(9分)(教材P46例3变式)如图，点E，F是 ABCD的对角线BD上的两点，且BF＝DE，求证：四边形AECF为平行四边形．
证明：连接AC交BD于点O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.又∵BF＝ED，∴BF－OB＝DE－OD，即OF＝OE.又∵OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形
一、选择题(每小题5分，共10分)
8．若一个四边形的四条边长依次是a，b，c，d，且满足a2＋b2＋c2＋d2＝2ac＋2bd，则这个四边形一定是( )
A．任意四边形
B．平行四边形
C．对角线相等的四边形
D．对角线互相垂直的四边形
B
9．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OC，添加下列条件后仍无法判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A．AB＝CD B．AB∥CD
C．OB＝OD D．∠ADB＝∠CBD
A
二、填空题(每小题5分，共10分)
10．如图，线段AB，CD相交于点O，且图上各点把线段AB，CD四等分，则这些点可以构成____个平行四边形．
4
11．如图，点E，F是 ABCD的对角线AC上的两点，下列条件：①DE＝BF；②∠ADE＝∠CBF；③AF＝CE；④∠AEB＝∠CFD中，能使四边形DEBF是平行四边形的有___________(填序号)．
②③④
三、解答题(共40分)
12．(12分)如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF经过点O，并且分别交AB，CD于点E，F，点G，H分别为OA，OC的中点，求证：四边形EHFG是平行四边形．
13．(13分)在一次课题学习中，老师让同学们合作编题，某学习小组受赵爽弦图的启发，编写了下面这道题，请你来解一解：如图，将 ABCD的四边DA，AB，BC，CD分别延长至E，F，G，H，使得AE＝CG，BF＝DH，连接EF，FG，GH，HE.求证：四边形EFGH为平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠BCD＝∠BAD，∴∠HCG＝180°－∠BCD＝180°－∠BAD＝∠EAF.又∵BF＝DH，∴AB＋BF＝CD＋DH，即AF＝CH.又∵AE＝CG，∴△HCG≌△FAE，∴GH＝EF.同理可得HE＝GF，∴四边形EFGH为平行四边形
【素养提升】
14．(15分)在△ABC中，AD是BC边上的中线，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE和CE，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，易得四边形ABEC是平行四边形．这种方法是数学证明中常用的一种添加辅助线的方法，叫做“加倍中线法”．
请你用这种方法解决下面的问题：
如图，在△ABC中，AB＝AC，延长AB到点D，使DB＝AB，E是AB的中点．
求证：CD＝2CE.
证明：延长CE到点F，使EF＝CE，连接AF，BF，∵EF＝CE，E是AB的中点，∴四边形ACBF是平行四边形，∴AF綊BC，∴∠FAB＝∠ABC.又∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC＝∠FAB，∴∠FAC＝∠FAB＋∠BAC＝∠ACB＋∠BAC＝∠DBC.又∵AC＝AB＝BD，AF＝BC，∴△AFC≌△BCD，∴CD＝CF＝2CE(共17张PPT)
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第十八章 平行四边形
18．1 平行四边形18．1.2 平行四边形的判定
第3课时 三角形的中位线
D
2．(4分)如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，若∠A＝50°，∠ADE＝60°，则∠C的度数为( )
A．50° B．60° C．70° D．80°
C
3．(4分)如图，点D，E，F分别为△ABC的三边AB，BC，AC的中点，若△DEF的周长为10，则△ABC的周长为( )
A．5 B．10 C．20 D．40
C
4．(4分)(长沙中考)如图，要测量池塘两岸相对的A，B两点间的距离，可以在池塘外选一点C，连接AC，BC，分别取AC，BC的中点D，E，测得DE＝50 m，则AB的长是____m.
100
5．(4分)如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，F，G分别是AD，AE的中点，且FG＝2 cm，则BC的长度是____cm.
8
6．(4分)(沈阳中考)如图，在 ABCD中，点M为边AD上的一点，AM＝2MD，点E，F分别是BM，CM的中点，若EF＝6，则AM＝____．
8
7．(8分)如图，AD是等腰△ABC的顶角∠BAC的平分线，点E，F分别是边AB，AC的中点，连接DE，DF，求证：四边形AEDF是平行四边形．
8．(8分)如图所示，在四边形ABCD中，AD＝BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点．求证：△EFG是等腰三角形．
一、选择题(每小题5分，共10分)
9．如图，周长为36的 ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点，若BD＝12，则△DOE的周长为( )
A．10 B．15 C．20 D．24
B
10．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，且AN⊥BN于点N，若AB＝8，MN＝3，则AC的长是( )
A．12 B．14 C．16 D．18
B
二、填空题(每小题5分，共10分)
11．吴伯伯家有一块如图所示的等边三角形空地(△ABC)，点E，F分别是边AB，AC的中点，量得EF＝5 m，现在要把四边形BCFE用篱笆围成一圈放养小鸡，则需要篱笆的长是____m．
25
12．(辽阳中考)如图，在△ABC中，M，N分别是AB和AC的中点，连接MN，点E是CN的中点，连接ME并延长，交BC的延长线于点D.若BC＝4，则CD的长为____．
2
14．(14分)如图，点D是△ABC内的一点，且BD⊥CD，点E，F，G，H分别是线段AB，AC，CD，BD的中点．
(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；
(2)若AD＝6，BD＝4，CD＝3，求四边形EFGH的周长．
【素养提升】
15．(16分)(1)如图①，在四边形ABCD中，AB＝CD，E，F分别是AD，BC的中点，连接FE并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N，求证：∠BME＝∠CNE；
(2)如图②，在△ABC中，F是BC边的中点，D是AC边上的一点，E是AD的中点，直线FE交BA的延长线于点G，若AB＝DC＝2，∠FEC＝45°，求EF的长．(共16张PPT)
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第十八章 平行四边形
18．1 平行四边形18．1.2 平行四边形的判定
第2课时 平行四边形的判定2
1．(3分)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，下列条件不能判定此四边形为平行四边形的是( )
A.AB＝CD
B．AD∥BC
C．∠B＝∠D
D．AD＝BC
D
2．(6分)如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，∠D＝∠DCE，求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵∠D＝∠DCE，∴AD∥BC.又∵AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形
3．(8分)如图，在 ABCD中，点F在边BC上，点E在边BC的反向延长线上，且BE＝CF，求证：四边形ADFE是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴AD∥EF.又∵BE＝CF，∴EF＝BE＋BF＝CF＋BF＝BC，∴AD＝EF，∴四边形ADFE是平行四边形
4．(4分)如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A．AB∥DC，AD∥BC
B．AB＝DC，AD＝BC
C．OA＝OC，OB＝OD
D．AB∥DC，AD＝BC
D
5．(4分)(黑龙江中考)如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件：______________________，使四边形ABCD是平行四边形．
AD∥BC(答案不唯一)
6．(7分)(陕西中考改编)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C，E是边BC上的一点，且DE＝DC.求证：四边形ABED是平行四边形．
证明：∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠C＝∠B，∴AB∥DE.又∵AD∥BC，∴四边形ABED是平行四边形
7．(8分)如图，四边形ABCD和四边形AEFD都是平行四边形，求证：四边形BEFC是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD和AEFD都是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，AD＝EF，AD∥EF，∴BC＝EF，BC∥EF，∴四边形BEFC是平行四边形
一、选择题(每小题5分，共10分)
8．如图，在平面直角坐标系中有3个点A(4，0)，B(－2，－2)，C(－4，0)，若要使以A，B，C，D四点为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标不可以是( )
A．(2，2) B．(6，－2)
C. (2，－8) D．(－10，－2)
C
9．(威海中考)如图，E是 ABCD的边AD延长线上的一点，连接BE，CE，BD，BE交CD于点F，添加以下条件，不能判定四边形BCED为平行四边形的是( )
A．∠ABD＝∠DCE B．DF＝CF
C．∠AEB＝∠BCD D．∠AEC＝∠CBD
C
二、填空题(共6分)
10．如图，在 ABCD中，∠BAD＝120°，连接BD，作AE∥BD交CD的延长线于点E，过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F，且CF＝1，则AB的长是____．
1
三、解答题(共44分)
11．(14分)(岳阳中考)如图，在四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F.
(1)请你只添加一个条件(不另加辅助线)，使得四边形AECF为平行四边形，你添加的条件是________________；
(2)添加了条件后，证明四边形AECF为平行四边形．
解：(1)答案不唯一，如：AE＝CF
(2)证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴AE∥CF.又∵AE＝CF，∴四边形AECF为平行四边形
12．(14分)(教材P50习题18.1T4变式)如图，在 ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，且AE＝CF，AF，DE相交于点G，BF，CE相交于点H，求证：四边形EHFG是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD.又∵AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形，DF＝BE，∴GF∥EH，四边形BFDE是平行四边形，∴GE∥FH，∴四边形EHFG是平行四边形
【素养提升】
13．(16分)如图，AM是△ABC的中线，D是线段AM上的一点(不与点A重合)，过点D作DE∥AB，交过点C且与AM平行的直线于点E，连接AE.
(1)如图①，当点D与点M重合时，求证：四边形ABDE是平行四边形；
(2)如图②，当点D不与点M重合时，(1)中的结论还成立吗？请说明理由．
解：(1)证明：∵DE∥AB，CE∥AM，∴∠EDC＝∠B，∠ECD＝∠AMB.又∵AM是△ABC的中线，且点D与点M重合，∴BD＝DC，∴△ABD≌△EDC(ASA)，∴AB＝ED.又∵AB∥ED，∴四边形ABDE是平行四边形
(2)成立，理由如下：过点M作MG∥DE交CE于点G，∵DE∥AB，CE∥AM，∴AB∥DE∥MG，∠ECD＝∠AMB，四边形DMGE是平行四边形，∴∠ABC＝∠GMC，DE＝MG.又∵AM是△ABC的中线，∴BM＝MC，∴△ABM≌△GMC(ASA)，∴AB＝MG＝DE.又∵AB∥DE，∴四边形ABDE是平行四边形(共15张PPT)
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第十八章 平行四边形
18．2 特殊的平行四边形18.2.2 菱形
第2课时 菱形的判定
1．(4分)(德州中考)下列选项中能使 ABCD成为菱形的是( )
A．AB＝CD B．AB＝BC
C．∠BAD＝90° D．AC＝BD
B
2．(8分)如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且BE＝DF.求证： ABCD是菱形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D.又∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB＝∠AFD＝90°.又∵BE＝DF，
∴△AEB≌△AFD(ASA)，∴AB＝AD，
∴ ABCD是菱形
3．(4分)如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件，不能判定 ABCD是菱形的是( )
A．AC⊥BD B．AB＝BC
C．AC＝BD D．∠1＝∠2
C
4．(4分)如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是A(－3，0)，B(0，－2)，C(3，0)，D(0, 2)，则四边形ABCD的形状是_______.
菱形
5．(8分)如图，在△ABC中，AB＝AC，AH⊥BC于点H，点E是AH上的一点，延长AH至点F，使FH＝EH.求证：四边形EBFC是菱形．
证明：∵AB＝AC，AH⊥BC，∴BH＝HC.又∵FH＝EH，∴四边形EBFC是平行四边形．又∵AH⊥CB，∴ EBFC是菱形
6．(4分)如图，小刚先画出了两条等长的线段AB，AD，然后分别以B，D为圆心，以AB的长为半径画弧，得到两弧的交点C，连接BC，CD，则得到的四边形ABCD是_______，其根据是________________________________．
菱形
四条边相等的四边形是菱形
7．(8分)如图，在矩形ABCD中，分别取AB，BC，CD，DA的中点E，F，G，H，连接EF，FG，GH，HE，求证：四边形EFGH是菱形．
证明：∵四边形 ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°.又∵E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，∴AE＝BE＝CG＝DG，AH＝BF＝CF＝DH，∴△HAE≌△FBE≌△FCG≌△HDG，∴EH＝EF＝FG＝GH，∴四边形EFGH是菱形
一、选择题(共6分)
8．(嘉兴中考)将一张三角形纸片按如图步骤①至④折叠两次得图⑤，然后剪出图⑤中的阴影部分，则阴影部分展开铺平后的图形是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．矩形 D．菱形
D
二、填空题(每小题6分，共12分)
9．如图，AD是△ABC的高，点E，F分别是AB，AC边的中点，若要使四边形AEDF是菱形，则还需添加的一个条件是__________________________．
AB＝AC(答案不唯一)
10．如图，Rt△ABC≌Rt△DEF，若AB＝8，BC＝6，则当AF＝____时四边形BCEF是菱形．
2.8
三、解答题(共42分)
11．(12分)(滨州中考)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BE∥AC，AE∥BD.
(1)求证：四边形AOBE是菱形；
(2)若∠AOB＝60°，AC＝4，求菱形AOBE的面积．
【素养提升】
13．(16分)如图，在 ABCD中，G，H分别是AD，BC的中点，E，F都是对角线BD上的四等分点，顺次连接G，E，H，F，得到四边形GEHF.
(1)求证：四边形GEHF是平行四边形；
(2)当 ABCD满足什么条件时四边形GEHF是菱形？请说明理由．(共12张PPT)
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第十八章 平行四边形
18．1.1 平行四边形的性质
第1课时 平行四边形边、角的性质
1．(4分)如图，在 ABCD中，AB＝7，BC＝5，则 ABCD的周长为( )
A．12 B．14 C．20 D．24
2．(4分)(株洲中考)如图所示，四边形ABCD是平行四边形，
点E在线段BC的延长线上，若∠DCE＝132°，则∠A＝( )
A．38° B．48° C．58° D．66°
D
B
3．(5分)如图，在平面直角坐标系中， ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是(0，0)，(5，0)，(2，3)，则顶点C的坐标是________．
4．(5分)如图，在 ABCD中，∠A＝70°，DC＝DB，
则∠BDC的度数为____．
(7，3)
40°
5．(9分)(教材P42例1变式)如图，在 ABCD中，E，F分别是边BC，AD的中点，
求证：BF＝DE.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AB＝CD，∠A＝∠C.
又∵E，F分别是边BC，AD的中点，∴AF＝CE，∴△ABF≌△CDE，∴BF＝DE
6．(4分)如图，直线a∥b，下列哪条线段的长可以表示直线a，b之间的距离( )
A．AB B．CD C．EF D．GH
7．(4分)如图，直线l1∥l2，△ABC的面积为10，则△BCD的面积为( )
A．5 B．10 C．15 D．20
8．(5分)如图，点E是直线AB上的一点，且AB＝2BE.若 ABCD的面积为24 cm2，
则△BDE的面积为____cm2.
B
B
6
9．(温州中考)如图，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，点D在AC边上，
以CB，CD为邻边作 BCDE，则∠E的度数为( )
A．40° B．50° C．60° D．70°
10．如图，点E在 ABCD的对角线AC上，且AD＝AE＝BE，∠D＝105°，
则∠BAC的度数是( )
A．35° B．30° C．25° D．20°
D
C
11．(青海中考)如图，在 ABCD中，对角线BD＝8 cm，AE⊥BD于点E，
且AE＝3 cm，BC＝4 cm，则AD与BC之间的距离为____cm.
12．(江西中考)如图，将 ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，
CE交AD于点F，若∠B＝80°，∠ACE＝2∠ECD，FC＝a，FD＝b，
则 ABCD的周长为_____．
6
4a＋2B
三、解答题(共38分)
13．(10分)如图，在 ABCD中，BE⊥AC，垂足E在CA的延长线上，DF⊥AC，垂足F在AC的延长线上，求证：AE＝CF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠BAC＝∠DCA，∴180°－∠BAC＝180°－∠DCA，∴∠EAB＝∠FCD.又∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠BEA＝∠DFC＝90°，∴△BEA≌△DFC，∴AE＝CF
14．(12分)如图，在 ABCD中，AE，CF分别平分∠BAD和∠BCD，
交对角线BD于点E，F.
(1)若∠BCF＝60°，求∠ABC的度数；
(2)求证：BE＝DF.
解：(1)①
∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB，BC＝AD＝5，AB∥CD，∴∠DEA＝∠BAE.又∵AE平分∠DAB，∴∠DAE＝∠BAE＝∠DEA，∴DE＝AD＝5.同理可得CF＝BC＝5.又∵点E与点F重合，∴AB＝CD＝DE＋CF＝10
②∵点E与点C重合，∴CD＝DE＝5＝CF，∴点F与点D重合，∴EF＝DC＝5(共12张PPT)
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第十八章 平行四边形
专题训练(七) 与正方形有关的几个常考模型
模型一 正方形中相交垂线段问题
1．(教材P68复习题18T8变式)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上，且DE＝CF.
(1)BE与AF之间有怎样的关系？请说明理由；
(2)若将题干中的“DE＝CF”改为“AF⊥BE”，则AE与DF的数量关系是
____________．
解：(1)BE＝AF，BE⊥AF，理由如下：设AF，BE相交于点G，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝DC，∠BAD＝∠D＝90°.又∵DE＝CF，∴AD－DE＝DC－CF，即AE＝DF，∴△BAE≌△ADF，∴BE＝AF，∠ABE＝∠DAF.又∵∠DAF＋∠BAF＝90°，∴∠ABE＋∠BAF＝90°，∴∠AGB＝90°，∴BE⊥AF
AE＝DF
2．(模型运用)如图，在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动，连接AE，DF.
(1)如图①，当点E，F分别在边DC，CB上移动时，请写出AE与DF的关系，并说明理由；
(2)如图②和图③，当点E，F分别在边DC，CB的延长线及反向延长线上移动时，(1)中的结论还成立吗？无需证明．
解：(1)AE＝DF，AE⊥DF，理由如下：设AE与DF相交于点P，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADC＝∠C＝90°.又∵动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动，∴DE＝CF，∴△ADE≌△DCF，∴AE＝DF，∠DAE＝∠CDF.又∵∠CDF＋∠ADF＝90°，∴∠DAE＋∠ADF＝90°，∴∠APD＝90°，∴AE⊥DF
(2)成立
模型二 正方形中过对角线交点的直角问题
3．如图，正方形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，正方形A1B1C1O的边OA1，OC1分别交正方形ABCD的边AB，BC于点E，F.
(1)求证：△AOE≌△BOF；
(2)如果这两个正方形的边长都为a，求这两个正方形重叠的部分四边形OEBF的面积．
4．如图，将一块含45°角的直角三角尺的直角顶点与正方形ABCD的对角线的交点O重合，两条直角边分别与AB边和BC边交于点M，N，若四边形OMBN的面积为16，则AB＝____．
8
【模型归纳】(1)如图①，O为等腰Rt△ABC的斜边AB的中点，∠DOE＝90°，连接OC，则△DOC≌△EOB，△ADO≌△CEO；
(2)如图②，O为正方形ABCD的对角线AC，BD的交点，直角∠EOF的两边OE，OF分别与AB，BC交于点E，F，与DA，AB的延长线交于点G，H，连接GH，则△AOE≌△BOF，△BOE≌△COF，△AGO≌△BHO，△OGH是等腰直角三角形．
模型三 正方形中的“外角平分线”模型
5．(教材P69复习题18T14变式)如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上的任意一点，AE⊥EF，且直线EF交正方形外角的平分线CF于点F.
(1)如图①，求证：AE＝EF；
(2)如图②，当AB＝2，点E是边BC的中点时，请直接写出CF的长．
解：(1)证明：如图①，在AB上截取BM＝BE，连接ME，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC，∠B＝∠BCD＝90°，∴AM＝AB－BM＝BC－BE＝EC，∠BAE＋∠AEB＝90°，∠BME＝∠BEM＝45°，∴∠AME＝135°.∵CF平分正方形的外角，∴∠DCF＝45°，∴∠ECF＝∠BCD＋∠DCF＝135°，∴∠AME＝∠ECF.又∵AE⊥EF，∴∠AEB＋∠FEC＝90°，∴∠BAE＝∠FEC，∴△AME≌△ECF，∴AE＝EF
模型四 正方形中的半角模型
6．在正方形ABCD中，E为直线AB上的一动点(不与点A，B重合)，作∠EDF＝45°，交直线BC于点F，连接EF.
【探究】如图，当点E在边AB上时，求证：EF＝AE＋CF；
【应用】(1)当点E在边AB上，且AD＝2时，求△BEF的周长；
(2)当点E在BA的延长线上时，判断EF，AE，CF三者之间的数量关系，并说明理由．
解：【探究】证明：延长BA到点G，使AG＝CF，连接GD，∵四边形ABCD为正方形，∴DA＝DC，∠ADC＝∠DAG＝∠C＝90°，∴△DAG≌△DCF，∴∠ADG＝∠CDF，DG＝DF.又∵∠ADC＝90°，∠EDF＝45°，∴∠EDG＝∠ADG＋∠ADE＝∠CDF＋∠ADE＝45°＝∠EDF.又∵DE＝DE，∴△GDE≌△FDE，∴EF＝EG＝AE＋AG＝AE＋CF
【应用】(1)C△BEF＝BE＋BF＋EF＝BE＋BF＋AE＋CF＝AB＋BC＝2＋2＝4
(2)EF＝CF－AE，理由如下：如图，在CB上取一点G，使CG＝AE，连接DG，∵AE＝CG，∠DAE＝∠C＝90°，AD＝DC，∴△DAE≌△DCG，∴DE＝DG，∠EDA＝∠GDC.又∵∠ADC＝90°，∴∠EDG＝∠ADG＋∠ADE＝∠ADG＋∠GDC＝90°.又∵∠EDF＝45°，∴∠FDG＝45°＝∠EDF.又∵DF＝DF，∴△EDF≌△GDF，∴EF＝GF＝CF－CG＝CF－AE
【模型归纳】(1)如图①，在正方形ABCD中，若∠EAF＝45°，则：①EF＝BE＋DF；②△CEF的周长为正方形ABCD边长的2倍；③FA平分∠DFE，EA平分∠BEF；④MN2＝BM2＋DN2；
(2)如图②，在正方形ABCD中，若∠EAF＝45°，则FA平分∠DFE，EF＝DF－BE.(共17张PPT)
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第十八章 平行四边形
18．2 特殊的平行四边形18．2.1 矩形
第1课时 矩形的性质
1．(4分)(十堰中考)矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是( )
A．对边相等 B．对角相等
C．对角线相等 D．对角线互相平分
C
2．(4分)如图所示的是一民居的侧面示意图，屋坡AF，AG分别架在墙体的点B，C处，且AB＝AC，侧面四边形BDEC为矩形，若测得∠FAG＝100°，则∠FBD的度数为( )
A．35° B．40° C．50° D．70°
C
3．(4分)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠AOB＝60°，AC＝6 cm，则AB的长是( )
A．3 cm B．6 cm
C．10 cm D．12 cm
A
4．(5分)如图，将矩形纸片ABCD沿直线DP折叠，点A恰好落在对角线BD上的点A′处，若∠BDC＝38°，则∠DPA′＝____．
64°
5．(5分)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，M，N分别为BC，OC的中点．若AB＝6，BC＝8，则MN的长为____．
2.5
6．(9分)如图，在矩形ABCD中，过点C作CE∥DB，交AB的延长线于点E.求证：AC＝EC.
证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，AC＝BD，∴BE∥DC.又∵CE∥DB，∴四边形BECD是平行四边形，∴BD＝CE，∴AC＝CE
7．(4分)如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得公路AB的长为5 km，则C，M两点间的距离为( )
A．2.5 km B．3 km C．4.5 km D．5 km
A
8．(5分)如图，BE和CD均为△ABC的高，F为BC的中点，若DE＝5，BC＝8，则△DEF的周长是____．
13
C
B
二、填空题(每小题5分，共10分)
11．如图，点E是矩形ABCD的边BC上的一点，且∠AED＝90°，∠EAD＝30°，F是边AD的中点，若EF＝4，则BE＝____．
6
12．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB＝6，BC＝8，点P在边AD上，过点P分别作PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE＋PF＝____．
4.8
三、解答题(共40分)
13．(12分)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，DF⊥AC于点F.
(1)求证：AE＝DF；
(2)若∠BAE∶∠EAD＝2∶3，求∠EAO的度数．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC＝OB＝OD.又∵AE⊥BD，DF⊥AC，∴∠AEO＝∠DFO＝90°.又∵∠AOE＝∠DOF，∴△AEO≌△DFO(AAS)，∴AE＝DF
(2)∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠BAD＝90°，OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA.又∵∠BAE∶∠EAD＝2∶3，∴∠BAE＝36°，∴∠OAB＝∠OBA＝90°－∠BAE＝54°，∴∠EAO＝∠OAB－∠BAE＝54°－36°＝18°
14．(13分)如图，在矩形ABCD中，F是BC边上的一点，且AF＝BC，DE⊥AF于点E.
(1)求证：△ABF≌△DEA；
(2)连接DF，求证：DF是∠EFC的平分线．
证明：(1)∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC＝AF，∠DAE＋∠BAF＝90°，∠B＝90°.又∵DE⊥AF，∴∠AED＝90°＝∠B，∴∠DAE＋∠ADE＝90°，∴∠BAF＝∠ADE，∴△ABF≌△DEA
(2)∵△ABF≌△DEA，∴DE＝AB＝DC.又∵DE⊥AF，∠C＝90°，∴DF平分∠EFC(共10张PPT)
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第十八章 平行四边形
专题训练(三) 平行四边形的证明思路
类型一 已知四边形中边的关系
1．若已知一组对边平行
思路1：再证这一组对边相等
1．如图，B，E，C，F四点在同一条直线上，且AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF，连接AD，求证：四边形ABED是平行四边形．
证明：∵AB∥DE，AC∥DF，∴∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠F.又∵BE＝CF，∴BE＋CE＝CF＋CE，即BC＝EF，∴△ABC≌△DEF，∴AB＝DE.又∵AB∥DE，∴四边形ABED是平行四边形
2．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AE⊥AD交BD于点E，CF⊥BC交BD于点F，且AE＝CF，求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵AE⊥AD，CF⊥BC，∴∠EAD＝∠FCB＝90°.又∵AD∥BC，∴
∠ADE＝∠CBF.又∵AE＝CF，∴△AED≌△CFB(AAS)，∴AD＝BC.又∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形
思路2：再证另一组对边也平行
3．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，BE平分∠ABC交AD于点E，且AB＝AE，求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵BE平分∠ABC，AB＝AE，∴∠ABE＝∠CBE，∠ABE＝∠AEB，∴∠CBE＝∠AEB，∴AD∥BC.又∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DE∥BC，EF＝EC.求证：四边形BDEF是平行四边形．
证明：∵AB＝AC，EF＝EC，∴∠B＝∠C，∠EFC＝∠C，∴∠B＝∠EFC，∴AB∥EF.又∵DE∥BC，∴四边形BDEF是平行四边形
2．若已知一组对边相等
思路1：再证这一组对边平行
5．(郴州中考)如图，在四边形ABCD中，AB＝DC，将对角线AC向两端分别延长至点E，F，使AE＝CF，连接BE，DF，若BE＝DF，求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵AB＝DC，AE＝CF，BE＝DF，∴△BEA≌△DFC(SSS)，∴∠EAB＝∠FCD，∴∠BAC＝∠DCA，∴AB∥DC.又∵AB＝DC，∴四边形ABCD是平行四边形
思路2：再证另一组对边也相等
6．如图，在 ABCD中，分别以AD，BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE，DF，求证：四边形BEDF是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB，AD＝CB，∠DAB＝∠BCD.又∵△ADE和△BCF都是等边三角形，∴AD＝DE＝AE，CF＝FB＝BC，∠DAE＝∠BCF＝60°，∴DE＝BF，AE＝CF，∠DCF＝∠BCD－∠BCF＝∠DAB－∠DAE＝∠BAE，∴△DCF≌△BAE，∴DF＝BE，∴四边形BEDF是平行四边形
类型二 若已知条件与四边形的对角线有关，则可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形来证明该四边形是平行四边形
7．如图，AD是△ABC的中线，CE⊥AD于点D，BF⊥AD交AD的延长线于点F，连接BE，CF，求证：四边形BECF为平行四边形．
证明：∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD.又∵CE⊥AD，BF⊥AD，∴∠BFD＝∠CED＝90°.又∵∠BDF＝∠CDE，∴△BFD≌△CED(AAS)，∴DF＝DE.又∵BD＝CD，∴四边形BFCE是平行四边形
8．如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，BG⊥AC，DH⊥AC，垂足分别为G，H，连接GE，EH，HF，FG，试判断四边形GEHF的形状，并说明理由．
解：四边形GEHF是平行四边形，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝OC，BO＝DO.又∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEO＝∠CFO＝90°.又∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF，∴OE＝OF.同理可得△BOG≌△DOH，∴OG＝OH，∴四边形GEHF是平行四边形(共10张PPT)
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第十八章 平行四边形
专题训练(四) 特殊平行四边形的性质与判定的综合
1．(长沙中考)如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△OAB是等边三角形，AB＝4.
(1)求证： ABCD是矩形；
(2)求AD的长．
2．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，将BD向两个方向延长，分别至点E和点F，且使BE＝DF，连接AE，EC，CF，FA.
(1)求证：四边形AECF是菱形；
(2)若AC＝4，BE＝1，求菱形AECF的边长．
3．如图，在 ABCD中，过点B作BE⊥CD于点E，点F在边AB上，且AF＝CE，连接DF，CF.
(1)求证：四边形DFBE是矩形；
(2)当CF平分∠DCB时，若CE＝3，BC＝5，求CD的长．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD.又∵AF＝CE，∴FB＝ED，∴四边形DFBE是平行四边形．又∵BE⊥CD，∴∠BED＝90°，∴ DFBE是矩形
(2)由(1)得四边形DFBE是矩形，∴DE＝BF.∵CF平分∠DCB，∴∠DCF＝∠BCF.
又∵AB∥CD，∴∠DCF＝∠CFB，∴∠BCF＝∠CFB，∴BF＝BC＝5，∴DE＝BF＝5，
∴CD＝DE＋CE＝5＋3＝8
4．(北京中考)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF.
(1)求证：四边形OEFG是矩形；
(2)若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．
6．(十堰中考)如图，在△ABC中，D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E，过点A作AF∥BC交DE于点F，连接AE，CF.
(1)求证：四边形AECF是菱形；
(2)若CF＝2，∠FAC＝30°，∠B＝45°，求AB的长．
7．问题解决：如图①，在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，且DE＝AF，DE⊥AF.
(1)求证：四边形ABCD是正方形；
(2)延长CB到点H，使得BH＝AE，判断△AHF的形状，并说明理由．
类比迁移：如图②，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，且DE＝AF，∠AED＝60°，AE＝6，BF＝2，求DE的长．
解：问题解决：(1)证明：设DE⊥AF于点G，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝∠ABC＝90°，∴∠BAF＋∠DAF＝90°.又∵DE⊥AF，∴∠AGD＝90°，∴∠ADE＋∠DAF＝90°，∴∠ADE＝∠BAF.又∵DE＝AF，∴△ADE≌△BAF(AAS)，∴AD＝AB，∴矩形ABCD是正方形
(2)△AHF是等腰三角形，理由如下：由(1)知△ADE≌△BAF，∴BF＝AE＝BH.又∵∠ABF＝90°，∴AB垂直平分线段HF，∴AH＝AF，∴△AHF是等腰三角形
类比迁移：延长CB到点H，使BH＝AE＝6，连接AH，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AB＝AD，∴∠ABH＝∠BAD.又∵BH＝AE，∴△DAE≌△ABH(SAS)，∴AH＝DE＝AF，∠AHB＝∠DEA＝60°，∴△AHF是等边三角形，∴DE＝AH＝HF＝HB＋BF＝6＋2＝8(共11张PPT)
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第十八章 平行四边形
专题训练(六) 特殊平行四边形中的动点与最值问题
类型一 特殊平行四边形中的动点问题
1．如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上的一个动点(不与点A重合)，延长ME交CD的延长线于点N，连接MD，AN.
(1)求证：△NED≌△MEA；
(2)当点M运动到什么位置时四边形AMDN是矩形？请说明理由．
解：(1)证明：∵四边形ABCD为菱形，∴CD∥AB，∴∠DNE＝∠AME.又∵E为AD的中点，∴DE＝AE.又∵∠DEN＝∠AEM，∴△NED≌△MEA(AAS)
(2)当点M为AB的中点时四边形AMDN是矩形，理由如下：由(1)知△NED≌△MEA，∴NE＝ME.又∵DE＝AE，∴四边形AMDN是平行四边形．又∵四边形ABCD为菱形，∴AD＝AB.又∵M，E分别为AB，AD的中点，∴AM＝AE.又∵∠DAB＝60°，∴△AME为等边三角形，∴AE＝ME，∴AD＝MN，∴ AMDN为矩形
2．如图，点M是矩形ABCD的边AD的中点，P是BC边上的一动点，PE⊥MC于点E，PF⊥BM于点F.
(1)当矩形ABCD的长AD与宽AB满足什么条件时四边形PEMF为矩形？
(2)在(1)中当点P运动到什么位置时矩形PEMF变为正方形？为什么？
解：(1)当矩形ABCD的长AD与宽AB满足AD＝2AB时四边形PEMF为矩形，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，AB＝CD.又∵AD＝2AB，点M为AD的中点，∴AB＝AM＝DM＝CD，∴∠AMB＝∠DMC＝45°，∴∠BMC＝90°.又∵PE⊥MC，PF⊥BM，∴∠PEM＝∠PFM＝90°，∴四边形PEMF为矩形
(2)当点P运动到BC的中点时矩形PEMF变为正方形，理由如下：连接MP，∵AB＝AM＝DM＝CD，∠A＝∠D＝90°，∴△ABM≌△DCM，∴BM＝CM.又∵点P为BC的中点，∴∠BMP＝∠CMP.又∵PE⊥MC，PF⊥BM，∴PE＝PF，∴矩形PEMF为正方形
D
4．如图，菱形ABCD的两条对角线的长分别为6和8，M，N分别是边BC，CD的中点，P是对角线BD上的一点，则PM＋PN的最小值为( )
A．7 B．5 C．4 D．3
B
A
6．如图，在边长为6的正方形ABCD中，点P为对角线AC上的一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F，则EF的最小值为____．
8．如图，M，N是边长为4的正方形ABCD的边CD上的两个动点，且满足AM＝BN，连接AC交BN于点E，连接DE交AM于点F，连接CF，则线段CF的最小值是___________．(共18张PPT)
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第十八章 平行四边形
18．1 平行四边形18．1.1 平行四边形的性质
第2课时 平行四边形对角线的性质
1．(3分)如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论不一定成立的是( )
A．BO＝DO B．CD＝AB
C．AO＝CO D．AC＝BD
D
2．(3分)如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知AD＝8，BD＝12，AC＝6，则△OBC的周长为( )
A．13 B．17 C．20 D．26
B
3．(4分)如图，在 ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，若AC＝12，AB＝8，则BD长度的取值范围为( )
A．2C．4D
4．(4分)如图， ABCD的周长为34，对角线AC，BD相交于点O，若AO＝5，则△ABC的周长为____．
27
5．(4分)(泰州中考)如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若△OAB的周长为15，CD＝7，则AC＋BD＝____．
16
6．(4分)(临沂中考)如图，在 ABCD中，AB＝10，AD＝6，AC⊥BC，则BD＝______．
7．(8分)如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点M，N在对角线AC上，且AM＝CN，求证：BM∥DN.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.又∵AM＝CN，∴OM＝ON.又∵∠BOM＝∠DON，∴△BOM≌△DON(SAS)，∴∠OBM＝∠ODN，∴BM∥DN
8．(10分)(教材P44例2变式)如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC⊥AB，AB＝2，且AC∶BD＝2∶3.
(1)求AC的长；
(2)求 ABCD的面积．
一、选择题(每小题5分，共10分)
9．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为BD上的一点，且BE＝2DE.若△CDE的面积为2，则△AOB的面积为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
A
B
二、填空题(每小题6分，共12分)
11．如图， ABCD的周长是18 cm，对角线AC，BD相交于点O，若△AOD与△AOB的周长差是5 cm，则边AB的长是______________.
2cm或7cm
12．如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC＝12，P为AB边上的一动点，以PA，PC为边作 PAQC，则对角线PQ长度的最小值为____.
6
三、解答题(共38分)
13．(10分)如图， ABCD和 EBFD的顶点A，E，F，C在一条直线上，求证：AE＝CF.
证明：连接BD交AC于点O，∵四边形ABCD和四边形EBFD是平行四边形，∴AO＝CO，EO＝FO，∴AO－EO＝CO－FO，即AE＝CF
14．(12分)如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O任作一直线，分别交BA，DC的延长线于点E，F，交BC于点G.
(1)求证：AE＝CF；
(2)连接DG，若EF⊥BD，△CDG的周长为16，求 ABCD的周长．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，OA＝CO，∴∠OAE＝∠OCF，∠E＝∠F，∴△AOE≌△COF(AAS)，∴AE＝CF
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO＝DO.又∵EF⊥BD，∴BG＝DG，∴C△CDG＝CD＋CG＋DG＝CD＋CG＋BG＝CD＋BC＝16，∴C ABCD＝2(BC＋CD)＝32
【素养提升】
15．(16分)如图①， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作直线EF，分别交BC，AD于点E，F.
(1)求证：S四边形ABEF＝S四边形CDFE；
(2)如图②所示的是张伯伯家的一块田地，其形状是一个大的平行四边形在一角剪去一个小的平行四边形．现在张伯伯想要用一条直线把这块田地平分给两个儿子，请你根据第(1)小题的结论帮张伯伯设计出三种不同的划分方案．
图① 图②
解：(1)证明：∵ ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∴AD∥BC，AO＝CO，∴∠FAO＝∠ECO.又∵∠AOF＝∠COE，∴△AOF≌△COE.同理可得△DOF≌△BOE，△AOB≌△COD，∴S四边形ABEF＝S△AOF＋S△AOB＋S△BOE＝S△COE＋S△COD＋S△DOF＝S四边形CDFE
(2)如图所示：(共19张PPT)
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第十八章 平行四边形
章末复习(三) 平行四边形
知识点一 平行四边形的性质与判定
1．(天津中考)如图， ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是(0，1)，(－2，－2)，(2，－2)，则顶点D的坐标是( )
A．(－4，1) B．(4，－2) C．(4，1) D．(2，1)
C
2．(荆门中考)如图，将一副三角尺在 ABCD中作如上摆放，设∠1＝30°，那么∠2＝( )
A．55° B．65° C．75° D．85°
C
4．(沈阳中考)如图，在 ABCD中，延长DA到点E，延长BC到点F，使得AE＝CF，连接EF，分别交AB，CD于点M，N，连接DM，BN.
(1)求证：△AEM≌△CFN；
(2)求证：四边形BMDN是平行四边形．
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠BAD＝∠BCD，∴∠E＝∠F，∠EAM＝∠FCN.又∵AE＝CF，∴△AEM≌△CFN(ASA)
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴BM∥DN.又由(1)得△AEM≌△CFN，∴AM＝CN，∴BM＝DN，∴四边形BMDN是平行四边形
知识点二 三角形的中位线及直角三角形的中线
5．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，若DE＝6，则BF的长为( )
A．6 B．5 C．4 D．3
A
6．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，点F是DE上的一点，且∠AFC＝90°，若BC＝12，AC＝8，则DF＝____．
2
知识点三 矩形的性质与判定
7．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若∠AOB＝70°，则∠OAD的度数为( )
A．20° B．25° C．30° D．35°
D
8．(贺州中考)如图，在矩形ABCD中，E，F分别为BC，AD的中点，以CD为斜边作Rt△GCD，GD＝GC，连接GE，GF.若BC＝2GC，则∠EGF＝____．
45°
9．(云南中考)如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝OC，BO＝OD，且∠AOB＝2∠OAD.
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)若∠AOB∶∠ODC＝4∶3，求∠ADO的度数．
B
11．(北京中考)如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，且AF＝EC.只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形，这个条件可以是
__________________________(写出一个即可)．
AE＝AF(答案不唯一)
12．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，连接OH，若OB＝4，S菱形ABCD＝24，则OH的长为____．
3
13．如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD的对角线BD上．
(1)求证：BG＝DE；
(2)若E为AD的中点，FH＝2，求菱形ABCD的周长．
解：(1)证明：∵四边形EFGH是矩形，∴EH＝FG，EH∥FG，∴∠GFH＝∠EHF，∴∠BFG＝∠DHE.又∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠GBF＝∠EDH，∴△BGF≌△DEH(AAS)，∴BG＝DE
(2)连接EG，∵四边形EFGF是矩形，∴EG＝FH＝2.∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴AE∥BG.又∵E为AD的中点，∴AE＝ED＝BG，∴四边形ABGE是平行四边形，∴AB＝EG＝2，∴菱形ABCD的周长为4×2＝8
知识点五 正方形的性质与判定
14．如图，点E在正方形ABCD的边CD上．若△ABE的面积为8，CE＝3，则线段BE的长为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
C
15．(重庆中考)如图，把含30°角的直角三角尺PMN放置在正方形ABCD中，∠PMN＝30°，直角顶点P在正方形ABCD的对角线BD上，点M，N分别在AB和CD边上，MN与BD交于点O，且点O为MN的中点，则∠AMP的度数为___________．
75°
【核心素养】
17．图①是用一种彭罗斯瓷砖平铺成的图案，它的基础部分是“风筝”和“飞镖”两部分，图②中的“风筝”和“飞镖”是由图③所示的特殊菱形制作而成．在菱形ABCD中，∠BAD＝72°，在对角线AC上截取AE＝AB，连接BE，DE，可将菱形分割为“风筝”和“飞镖”两部分，则图②中的α＝____．
144°(共15张PPT)
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第十八章 平行四边形
18．2 特殊的平行四边形18．2.1 矩形
第2课时 矩形的判定
1．(4分)如图，要使 ABCD成为矩形，需添加的条件是( )
A.AB＝BC
B．AC⊥BD
C．∠ABC＝90°
D．∠1＝∠2
C
2．(8分)如图所示，点E是 ABCD的边AB的中点，且EC＝ED.求证：四边形ABCD是矩形．
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠A＋∠B＝180°.又∵AE＝EB，ED＝EC，∴△DAE≌△CBE(SSS)，∴∠A＝∠B＝90°，∴ ABCD是矩形
3．(4分)(河池中考)已知 ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是( )
A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C
C．AC＝BD D．AB⊥BC
B
4．(4分)工人师傅常常通过测量平行四边形零件的对角线的长度是否相等来检验零件是否为矩形，请问工人师傅的此种检验方法依据的道理是
________________________________________．
对角线相等的平行四边形是矩形
5．(8分)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，请问四边形EFGH是矩形吗？请说明理由．
解：四边形EFGH是矩形，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝BO＝CO＝DO.又∵E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，∴EO＝FO＝GO＝HO，∴EG＝FH，四边形EFGH是平行四边形，∴ EFGH是矩形
6．(4分)在判断“一个四边形门框是否为矩形”的数学活动课上，一个合作学习小组的4位同学分别拟定了如下的方案，其中正确的是( )
A.测量对角线是否相等
B．测量两组对边是否分别相等
C．测量一组对角是否都为直角
D．测量其中的三个角是否都为直角
D
7．(8分)(怀化中考改编)如图，在 ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F分别为垂足．求证：四边形AECF是矩形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.又∵AE⊥BC，CF⊥AD，∴∠AEC＝∠AFC＝90°，∴∠EAF＝180°－∠AEC＝90°，∴∠EAF＝∠AEC＝∠AFC＝90°，∴四边形AECF是矩形
A
二、填空题(每小题6分，共12分)
9．(黑龙江中考)如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC和AC边的中点，请添加一个条件：________________________，使四边形BEFD为矩形(填一个即可)．
AB⊥BC(答案不唯一)
10．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为____．
三、解答题(共42分)
11．(12分)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，AN是△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN于点E，求证：四边形ADCE为矩形．
12．(14分)如图，在 ABCD中，延长边AB至点E，使BE＝AB，
连接DB，DE，CE，DE交BC于点O.
(1)求证：四边形BECD是平行四边形；
(2)当∠A与∠COE之间满足什么数量关系时四边形BECD是矩形？请给出证明．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴BE∥CD.又∵AB＝BE，∴BE＝CD，∴四边形BECD是平行四边形
(2)当∠COE＝2∠A时四边形BECD是矩形，证明如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠A＝∠OBE，∴∠COE＝∠OBE＋∠OEB＝∠A＋∠OEB＝2∠A，∴∠OEB＝∠A＝∠OBE，∴BO＝EO.又由(1)得四边形BECD是平行四边形，∴BC＝2BO，ED＝2OE，∴BC＝ED，∴ BECD是矩形
【素养提升】
13．(16分)如图，在△ABC中，点O是边AC上的一个动点，过点O作直线EF∥BC，分别交∠ACB及其外角∠ACD的平分线于点E，F.
(1)若CE＝8，CF＝6，求OC的长；
(2)连接AE，AF，问：当点O在边AC上运动到什么位置时四边形AECF是矩形？并说明理由．(共18张PPT)
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第十八章 平行四边形
18．2 特殊的平行四边形18.2.2 菱形
第1课时 菱形的性质
1．(4分)(玉林中考改编)菱形不具备的性质是( )
A．四条边都相等 B．对角线相等
C．是轴对称图形 D．对角线互相垂直
B
2．(4分)如图，在菱形ABCD中，AC＝10，BD＝24，则AB的长为( )
A．12 B．13 C．24 D．26
B
3．(4分)如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以调节A，E两点间的距离．若A，E两点间的距离调节到60 cm，菱形的边AB＝20 cm，则∠DAB的度数是( )
A．90° B．100° C．120° D．150°
C
4．(4分)(黔东南州中考)如图，BD是菱形ABCD的一条对角线，点E在BC的延长线上，若∠ADB＝32°，则∠DCE的度数为____度．
64
5．(4分)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，连接OE，若BD＝12，OE＝5，则AC＝____．
16
6．(8分)(衢州中考)已知：如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且BE＝DF，连接AE，AF.求证：AE＝AF.
证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠B＝∠D.
又∵BE＝DF，∴△ABE≌△ADF(SAS)，∴AE＝AF
7．(4分)如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝8，BD＝10，则菱形ABCD的面积为( )
A．20 B．40 C．60 D．80
B
8．(4分)如图，沿着菱形花圃ABCD的对角线修建有两条小路AC和BD，若∠ABC＝120°，AC＝12 m，则花圃的面积为______m2.
9．(4分)面积为54的菱形ABCD按如图所示的方式放置在数轴上，其中点A表示数－3，点C表示数6，则BD的长为____．
12
D
B
二、填空题(每小题5分，共10分)
12．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，若∠DAB＝50°，则∠DHO＝____度．
25
三、解答题(共40分)
14．(12分)如图，在菱形ABCD中，BE⊥AD于点E，CF⊥AB交AB的延长线于点F.
(1)求证：AE＝BF；
(2)若点E恰好是AD的中点，AB＝2，求BD的长．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AD∥BC，∴∠A＝∠CBF.又∵BE⊥AD，CF⊥AB，∴∠AEB＝∠BFC＝90°，∴△AEB≌△BFC(AAS)，∴AE＝BF
(2)∵E是AD的中点，BE⊥AD，∴直线BE为AD的垂直平分线，∴BD＝AB＝2
15．(13分)如图，在菱形ABCD中，过点C作对角线AC的垂线，交AB的延长线于点E，连接BD.
(1)求证：四边形DBEC是平行四边形；
(2)如果∠E＝60°，CE＝2，求菱形ABCD的面积．
【素养提升】
16．(15分)如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺60°角的顶点与顶点A重合．
(1)如图①，当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD相交于点E，F时，求证： CE＋CF＝AB；
(2)如图②，当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD的延长线相交于点E，F时，请直接写出此时CE，CF，AB之间的数量关系．
解：(1)证明：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠D＝∠B＝60°，∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACD＝∠B＝60°＝∠EAF，∴∠BAE＝∠CAF，∴△BAE≌△CAF(ASA)，∴BE＝CF，∴CE＋CF＝CE＋BE＝BC＝AB
(2)CF－CE＝AB，理由如下：连接AC，同(1)可得∠ADC＝60°，△ABC，△ACD都是等边三角形，∴∠ADF＝120°，AB＝AC＝AD，∠ACB＝∠CAD＝60°＝∠EAF，∴∠ACE＝120°＝∠ADF，∠CAE＝∠DAF，∴△ACE≌△ADF(ASA)，∴CE＝DF，∴CF－CE＝CF－DF＝CD＝AB(共17张PPT)
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第十八章 平行四边形
18．2 特殊的平行四边形18.2.3 正方形
1．(4分)如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰直角三角形有( )
A．4个 B．6个 C．8个 D．10个
C
2．(4分)如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O，B的坐标分别是(0，0)，(2，0)，则顶点C的坐标是( )
A．(1，1) B．(－1，－1)
C．(1，－1) D．(－1，1)
C
3．(4分)如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，P为边BC上的一点，且AC＝2BP，则∠COP的度数为( )
A．15° B．17.5° C．22.5° D．25°
C
4．(4分)如图，边长为4的正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AC延长线上的一点，且CE＝CO，则BE＝____．
5．(4分)(鄂尔多斯中考)如图，在正方形ABCD的外侧作等边△ABE，则∠BED＝____．
45°
6．(8分)(教材P68复习题18T8变式)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且AE＝BF.求证：BE＝CF.
证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABE＝∠C＝90°.又∵AE＝BF，∴△ABE≌△BCF，∴BE＝CF
7．(4分)下列说法不正确的是( )
A．有一个角是直角的菱形是正方形
B．对角线互相垂直的矩形是正方形
C．四条边都相等的四边形是正方形
D．两条对角线相等的菱形是正方形
C
8．(8分)如图，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交对角线AC于点E，过点E分别作EF⊥AB，EH⊥BC，垂足分别为F，H.求证：四边形FBHE是正方形．
证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°.又∵EF⊥AB，EH⊥BC，∴四边形FBHE是矩形．又∵BE是∠ABC的平分线，EF⊥AB，EH⊥BC，∴EF＝EH，∴矩形FBHE是正方形
一、选择题(每小题5分，共10分)
9．(玉林中考)一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形：a.两组对边分别相等；b.一组对边平行且相等；c.一组邻边相等；d.一个角是直角．顺次添加的条件：①a→c→d；②b→d→c；③a→b→c，则正确的是( )
A．仅① B．仅③ C．①② D．②③
C
B
二、填空题(每小题6分，共12分)
11．如图，延长正方形ABCD的边BA至点E，使AE＝BD，则∠E＝________．
22.5°
12．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为BC上的一点，CE＝5，F为DE的中点．若△CEF的周长为18，则OF＝____．
3.5
三、解答题(共38分)
13．(10分)如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，连接CE，以CE为边向右上方作正方形CEFG，过点F作FH⊥AD于点H，求证：FH＝ED.
证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，∴∠DCE＋∠CED＝90°.又∵四边形CEFG是正方形，∴CE＝EF，∠FEC＝∠FEH＋∠CED＝90°，∴∠DCE＝∠FEH.又∵FH⊥AD，∴∠FHE＝90°＝∠D，∴△FEH≌△ECD，∴FH＝ED
14．(13分)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝CD，E是对角线BD上的一点，且EA＝EC.
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)如果BE＝BC，且∠CBE∶∠BCE＝2∶3，求证：四边形ABCD是正方形．
【素养提升】
15．(15分)如图，点E为边长为2的正方形ABCD的对角线AC上的一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG.
(1)求证：矩形DEFG是正方形；
(2)探究：CE＋CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
