(共12张PPT)
数学 八年级下册 北师版
第四章 因式分解
专题训练(五) 因式分解的常见类型
类型之一 提公因式法
1．因式分解：
(1)5x(x－2y)2－20y(2y－x)2；
解：原式＝5(x－2y)2(x－4y)
(2)3x3y2－x2y3＋2x4y.
解：原式＝x2y(3xy－y2＋2x2)
(2)81(a＋b)2－4(a－b)2；
解：原式＝[9(a＋b)＋2(a－b)][9(a＋b)－2(a－b)]＝(11a＋7b)(7a＋11b)
(3)(x－1)2－10(x－1)＋25.
解：原式＝(x－6)2
方法2：先提公因式后用公式法
3．因式分解：
(1)－4x3＋16x2－16x；
解：原式＝－4x(x2－4x＋4)＝－4x(x－2)2
(2)(a－1)＋b2(1－a).
解：原式＝(a－1)－b2(a－1)＝(a－1)(1－b2)＝(a－1)(1＋b)(1－b)
方法3：先局部再整体法
4．因式分解：
(1)4a2－4ab＋b2－c2；
解：原式＝(2a－b)2－c2＝(2a－b＋c)(2a－b－c)
(2)a2－4b2＋12bc－9c2.
解：原式＝a2－(4b2－12bc＋9c2)＝a2－(2b－3c)2＝(a＋2b－3c)(a－2b＋3c)
方法4：先展开再分解
5．因式分解：
(1)(x－2y)2＋8xy；
解：原式＝x2－4xy＋4y2＋8xy＝x2＋4xy＋4y2＝(x＋2y)2
(2)(c＋b)(c－b)－a(a－2b).
解：原式＝c2－b2－a2＋2ab＝c2－(a－b)2＝(c＋a－b)(c－a＋b)
类型之三 特殊的因式分解法(拓展)
方法1：十字相乘法
对于形如 x2＋px＋q 型的二次三项式，如果 q＝ab，而且 p＝a＋b ，那么 x2＋px＋q 可以分解成 (x＋a)(x＋b)的形式．
6．分解因式：
(1)x2－2x－8；
解：原式＝(x－4)(x＋2)
(2)a2b2－ab－6；
解：原式＝(ab－3)(ab＋2)
(3)x2＋2xy－8y2.
解：原式＝(x＋4y)(x－2y)
方法2：添项与拆项法
为了分解因式的需要，在不改变原式值的情况下，在原来的式子中添上两项(所添加的两项的和为 0)或将式子中的某项拆成两项的和(或差)，然后再运用分组分解法，化难为易，使得因式分解能够进行下去．
(2) (拆项法) x4－7x2＋1.
解：原式＝(x4＋2x2＋1)－9x2＝(x2＋1)2－(3x)2＝(x2＋3x＋1)(x2－3x＋1)
方法3：换元法
8．分解因式： (a2＋2a－2)(a2＋2a＋4)＋9.
解：设a2＋2a＝m，则原式＝(m－2)(m＋4)＋9＝m2＋4m－2m－8＋9＝m2＋2m＋1＝(m＋1) 2＝(a2＋2a＋1)2＝(a＋1)4
方法4：整体法
9．分解因式：
(1)(“提”整体)a(x＋y－z)－b(z－x－y)－c(x－z＋y)；
解：原式＝a(x＋y－z)＋b(x＋y－z)－c(x＋y－z)＝(x＋y－z)(a＋b－c)
(2)(“凑”整体)x2－y2－4x＋6y－5.
解：原式＝ (x2－4x＋4)－(y2－6x＋9)＝ (x－2)2－(y－3)2＝ (x＋y－5)(x－y＋1)(共8张PPT)
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第四章 因式分解
4.2 提公因式法
第2课时 公因式为多项式的因式分解
1．(4分)(宝丰期末)多项式a－b＋c(a－b)因式分解的结果是( )
A．(a－b)(c＋1) B．(b－a)(c＋1)
C．(a－b)(c－1) D．(b－a)(c－1)
2．(4分)把多项式(m＋1)(m－1)＋(m－1)提取公因式(m－1)后，余下的部分是( )
A．m＋1 B．2m
C．2 D．m＋2
A
D
3．(4分)在下列各式中，从左到右的变形正确的是( )
A.y－x＝＋(x－y)
B．(y－x)2＝－(x－y)2
C．(y－x)3＝(x－y)3
D．(y－x)4＝(x－y)4
D
4．(4分)(杭州中考)因式分解：(a－b)2－(b－a)＝__________________．
(a－b)(a－b＋1)
5．(12分)将下列各式因式分解：
(1)x(a＋b)－y(a＋b)＋z(a＋b)；
解：原式＝(a＋b)(x－y＋z)
(2)(a＋b)2＋(a＋b)(a－3b)；
解：原式＝2(a＋b)(a－b)
(3)(a－2b)3－3c(2b－a)2.
解：原式＝(a－2b)2(a－2b－3c)
6．(10分)先把各式因式分解，再求值：
(1)3(a－2)2－6(2－a)，其中a＝－2；
解：原式＝3a(a－2)，当a＝－2时，原式＝24
【素养提升】
7．(12分)阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＝(1＋x)[1＋x＋x(x＋1)]＝(1＋x)2(1＋x)＝(1＋x)3.
(1)上述分解因式的方法是_____________，共应用了____次；
(2)若分解1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)2 020，则需应用上述方法_________次，结果是______________；
(3)分解因式：1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n.(n为正整数)
解：(3)原式＝(1＋x)n＋1
提公因式法
两
2020
(1＋x)2021(共16张PPT)
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第四章 因式分解
4.3 公式法
第1课时 利用平方差公式因式分解
1．(3分)将多项式a2－1因式分解的结果是( )
A．a(a－1) B．(a－1)2
C．(a＋1)2 D．(a＋1)(a－1)
2．(3分)下列各式中，不能用平方差公式因式分解的是( )
A．－x2＋y2 B．－1－n2
C．a2－16b2 D．9m2－4
D
B
3．(3分)下列各式中，因式分解正确的是( )
A．1＋25a2＝(1＋5a)(1－5a)
B．m2－16m＝m(m＋4)(m－4)
C．x2－9b2＝(x＋9b)(x－9b)
D．16－x2＝(4＋x)(4－x)
D
4．(12分)把下列各式因式分解：
(1)(沈阳大东区期中)9m2－25n2；
解：原式＝(3m＋5n)(3m－5n)
(3)(2a－3b)2－16b2.
解：原式＝(2a－3b＋4b)(2a－3b－4b)＝(2a＋b)(2a－7b)
5．(3分)(济宁中考)多项式4a－a3分解因式的结果是( )
A．a(4－a2) B．a(2－a)(2＋a)
C．a(a－2)(a＋2) D．a(2－a)2
B
6．(4分)(株洲中考)因式分解：a2(a－b)－4(a－b)＝_____________________．
(a－b)(a＋2)(a－2)
7．(12分)因式分解：
(1)18a3－2a；
解：原式＝2a(3a＋1)(3a－1)
(2)m2－n2＋2m－2n；
解：原式＝(m－n)(m＋n＋2)
(3)(x＋2y)2－9x2.
解：原式＝4(y－x)(2x＋y)
一、选择题(每小题6分，共18分)
8．对于任意整数n，(n＋6)2－(n＋4)2的值都可以被________整除( )
A.4 B．6 C．8 D．2n＋5
A
9．如图，已知R＝6.75，r＝3.25，则图中阴影部分的面积为(结果保留π)( )
A.3.5π
B．12.25π
C．27π
D．35π
D
10．已知x＋y＝2，则x2－y2＋4y的值为( )
A．2 B．3 C．4 D．6
C
二、填空题(每小题6分，共12分)
11．(苏州中考)已知a＋b＝4，a－b＝1，则(a＋1)2－(b－1)2＝____．
12
12．如图，边长为m＋4的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的矩形一边长为4，则另一边长为____．
2m＋4
三、解答题(共30分)
13．(9分)因式分解：
(1)16(a＋b)2－9(a－b)2；
解：原式＝(7a＋b)(a＋7b)
(2)x4－16y4；
解：原式＝(x2＋4y2)(x＋2y)(x－2y)
(3)x2(x－y)2－4(y－x)2.
解：原式＝(x－y)2(x＋2)(x－2)
14．(9分)(临安区中考)阅读下列题目的解题过程：
已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2－b2c2＝a4－b4，试判断△ABC的形状．
解：∵a2c2－b2c2＝a4－b4 (A)
∴c2(a2－b2)＝(a2＋b2)(a2－b2) (B)
∴c2＝a2＋b2 (C)
∴△ABC是直角三角形
问：(1)上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：____；
(2)错误的原因为：________________________；
(3)本题正确的结论为：_______________________________________________．
C
没有考虑a＝b的情况
△ABC是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形
【素养提升】
15．(12分)如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如4＝22－02，12＝42－22，20＝62－42，因此，4，12，20都是“和谐数”．
(1)36和2 020这两个数是“和谐数”吗？为什么？
(2)请你说明“和谐数”一定是4的倍数．
解：(1)36和2 020这两个数是“和谐数”．理由如下：36＝102－82，2 020＝5062－5042
(2)设两个连续偶数为2n，2n＋2(n为自然数)，∵(2n＋2)2－(2n)2＝(2n＋2＋2n)(2n＋2－2n)＝(4n＋2)×2＝4(2n＋1)，
∴4(2n＋1)能被4整除，∴“和谐数”一定是4的倍数(共12张PPT)
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第四章 因式分解
4.3 公式法
第2课时 利用完全平方公式因式分解
1．(3分)下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是( )
A．x2＋x＋1 B．x2＋2x－1
C．x2－1 D．x2－6x＋9
2．(4分)将x2－2xy＋y2分解因式，结果正确的是( )
A．(x＋y)(x－y) B．x(x－2y)＋y2
C．(x＋y)2 D．(x－y)2
D
D
3．(4分)利用完全平方公式对下列式子分解因式正确的是( )
A．x2＋4x＋4＝(x＋4)2
B．4x2－2x＋1＝(2x－1)2
C．－a2－b2＋2ab＝－(a－b)2
D．9－6(m－n)＋(m－n)2＝(3－m－n)2
C
4．(9分)把下列各式分解因式：
(1)1－4m＋4m2；
解：原式＝(1－2m)2
(2)a2－14ab＋49b2；
解：原式＝(a－7b)2
(3)9(a－b)2＋42(a－b)＋49.
解：原式＝(3a－3b＋7)2
5．(4分)把代数式3x3－12x2＋12x因式分解结果正确的是( )
A．3x(x2－4x＋4) B．3x－(x－4)2
C．3x(x＋2)(x－2) D．3x(x－2)2
D
6．(4分)(攀枝花中考)因式分解：x3y－2x2y＋xy＝______________．
xy(x－1)2
7．(12分)把下列各式因式分解：
(1)x3－2x2y＋xy2；
解：原式＝x(x－y)2
(2)2a2b－a3－ab2；
解：原式＝－a(a－b)2
一、填空题(每小题6分，共24分)
8．(成都中考)已知x＋y＝0.2，x＋3y＝1，则代数式x2＋4xy＋4y2的值为____．
9．二次三项式4x2＋mxy＋4y2可以用完全平方公式分解，则m＝_______．
10．若正方形的面积是a2＋18ab＋81b2(a>0，b>0)，则这个正方形的边长是
____．
11．多项式4x2＋9加上一个单项式后能用完全平方公式进行因式分解，则加上的单项式可以是__________________．(填上你认为正确的一个即可，不必考虑所有的可能情况)
0.36
±8
a＋9b
答案不唯一，如±12x
二、解答题(共36分)
12．(12分)将下列各式因式分解：
(1)x2(y2－1)＋2x(y2－1)＋(y2－1)；
解：原式＝(y2－1)(x2＋2x＋1)＝(y＋1)(y－1)(x＋1)2
(2)a2－2ab＋b2－9；
解：原式＝(a－b)2－32＝(a－b＋3)(a－b－3)
(3)(x2y2＋1)2－4x2y2.
解：原式＝(xy＋1)2(xy－1)2
【素养提升】
14．(14分)(平顶山郏县期末)阅读材料：常用的分解因式方法有提公因式、公式法等，但有的多项式只有上述方法就无法分解，如x2－4y2＋2x－4y，细心观察这个式子会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式，过程为：x2－4y2＋2x－4y＝(x2－4y2)＋(2x－4y)＝(x＋2y)(x－2y)＋2(x－2y)＝(x－2y)(x＋2y＋2).
这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题：
(1)分解因式：x2－6xy＋9y2－3x＋9y；
(2)若△ABC的三边a，b，c满足a2－b2－ac＋bc＝0，判断△ABC的形状，并说明理由．
解：(1)x2－6xy＋9y2－3x＋9y＝(x2－6xy＋9y2)－(3x－9y)＝(x－3y)2－3(x－3y)
＝(x－3y)(x－3y－3)
(2)∵a2－b2－ac＋bc＝0，∴(a2－b2)－(ac－bc)＝0，∴(a＋b)(a－b)－c(a－b)＝0，
∴(a－b)[(a＋b)－c]＝0.∵a，b，c是△ABC的三边，∴(a＋b)－c>0，∴a＝b,
∴△ABC是等腰三角形(共15张PPT)
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第四章 因式分解
本章考点整合训练四
考点一 因式分解的基本概念
1．下列等式从左到右的变形，是因式分解的是( )
A．x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2
B．15x2y＝3x·5xy
C．2(x＋y)＝2x＋2y
D．x2＋6x＋9＝(x＋3)2
2．如果多项式x2－mx－35可因式分解为(x－5)(x＋7)，那么m的值是( )
A．2 B．－2 C．12 D．－12
D
B
考点二 因式分解的方法
3．(聊城中考)把代数式8a3－8a2＋2a因式分解，结果正确的是( )
A．2a(4a2－4a＋1) B．8a2(a－1)
C．2a(2a－1)2 D．2a(2a＋1)2
C
4．在某次课堂练习中，小璇同学做了如下4道因式分解题，你认为小璇做得不够完整的一题是( )
A．a3－a＝a(a2－1)
B．m2－2mn＋n2＝(m－n)2
C．x2y－xy2＝xy(x－y)
D．x2－y2＝(x－y)(x＋y)
A
9
25
3m3－6m2＋3m
3m(m－1)2
7．把下列各式因式分解：
(1)－5x2y2＋10xy3－15x2y；
解：原式＝－5xy(xy－2y2＋3x)
(2)2a(x－2y)－3b(2y－x)－4c(x－2y)；
解：原式＝(x－2y)(2a＋3b－4c)
(3)(x2－1)2－6(x2－1)＋9.
解：原式＝(x－2)2(x＋2)2
8．先因式分解，再求值：15x2(y＋4)－30x(y＋4)，其中x＝2，y＝－2.
解：原式＝15x(y＋4)(x－2)，当x＝2，y＝－2时，原式＝0
考点三 因式分解的应用
9．用因式分解计算992＋198＋1的结果为( )
A．1 000 B．2 000 C．10 000 D．22 500
C
10．如图，已知邻边长为a，b的长方形，它的周长为15，面积为10，则a2b＋ab2的值为____．
75
11．如图，在一块边长为a cm的正方形纸板的四角，分别剪去一个边长为b cm的小正方形，利用因式分解计算：当a＝98，b＝27时，剩余部分的面积是多少？
解：根据题意，得剩余部分的面积是a2－4b2＝(a＋2b)(a－2b)＝152×44＝6 688(cm2)
12．先阅读下面的内容，再解决问题．
例：若m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，求m和n的值．
解：∵m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，
∴m2＋2mn＋n2＋n2－6n＋9＝0，
∴(m＋n)2＋(n－3)2＝0，
∴m＋n＝0且n－3＝0，解得m＝－3，n＝3.
(1)若x2＋2y2－2xy＋4y＋4＝0，求xy的值；
(2)已知a，b，c为△ABC的三边长，满足a2＋b2＝10a＋8b－41，且c是△ABC中最长的边，求c的取值范围．
【素养提升】
13．学习“因式分解”时，王老师发给大家许多硬纸片(a×a的正方形A，b×b的正方形B，a×b的长方形C)，如图①，并让大家完成下列问题：
(1)用1张A纸片、1张B纸片、2张C纸片拼成图②所示的一个大正方形，用两种不同的方法表示大正方形的面积，可以得出的一个等式为
_________________________________；
(2)想办法用4张A纸片、1张B纸片、4张C纸片拼成一个大正方形．在框一中画出示意图，并将与大正方形面积对应的因式分解结果写出来：4a2＋4ab＋b2＝
____________；
(3)试一试：你能用2张A纸片、1张B纸片和3张C纸片拼成一个长方形或正方形吗？
请设计一种拼法，在框二中画出示意图，并写出相应的因式分解的结果．
a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2
(2a＋b)2
解：(2)示意图如框一
(3)示意图如框二 因式分解的结果是2a2＋3ab＋b2＝(a＋b)(2a＋b)(共7张PPT)
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第四章 因式分解
4.2 提公因式法
第1课时 公因式为单项式的因式分解
1．(4分)多项式a2－2a的公因式是( )
A．a B．a2 C．2a D．－2a
2．(4分)下列多项式的各项中，公因式是5a2b的是( )
A．15a2b－20a2b2
B．30a2b3－15ab4－10a3b2
C．10a2b3－15ab4－10a3b2
D．5a2b4－10a3b3＋15a4b2
A
A
3．(4分)把a2－2a分解因式，正确的是( )
A．a(a－2) B．a(a＋2)
C．a(a2－2) D．a(2－a)
4．(4分)若多项式－6mn＋18mnx＋24mny的一个因式是－6mn，那么另一个因式是( )
A．－1－3x－4y B．1－3x－4y
C．－1－3x＋4y D．1＋3x－4y
A
B
5．(4分)下列分解因式中，正确的是( )
A．2x2－4xy＝x(2x－4y)
B．a3＋2a2＋a＝a(a2＋2a)
C．－2a－2b＝2(a＋b)
D．－a2＋a＝－a(a－1)
D
6．(8分)将下列各式因式分解：
(1)－5x＋5xy；
解：原式＝5x(y－1)
(2)6x3y2＋12x2y3－6x2y2.
解：原式＝6x2y2(x＋2y－1)
【素养提升】
8．(12分)小颖的邻居家有两个小孩，不知道他们的年龄，只知道他们的年龄分别是方程x2＋xy＝99中x，y的值，试求这两个小孩的年龄．
解：由题意，得x，y为整数，x2＋xy＝x(x＋y)＝99＝9×11＝3×33，∴x＝9，y＝2，(x＝3，y＝33舍去)∴这两个小孩的年龄分别为9岁和2岁(共9张PPT)
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第四章 因式分解
4．1 因式分解
1．(4分)(常德中考)下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是( )
A．a(m＋n)＝am＋an
B．a2－b2－c2＝(a－b)(a＋b)－c2
C．10x2－5x＝5x(2x－1)
D．x2－16＋6x＝(x＋4)(x－4)＋6x
C
2．(4分)(m＋3)(m－3)＝m2－9，由左到右的变形是_____________，由右到左的变形是______________．
3．(4分)多项式ax＋A可分解为a(x＋y)，则A是____．
整式乘法
因式分解
ay
4．(4分)利用因式分解计算57×99＋44×99－99，正确的是( )
A．99×(57＋44)＝99×101＝9 999
B．99×(57＋44－1)＝99×100＝9 900
C．99×(57＋44＋1)＝99×102＝10 098
D．99×(57＋44－99)＝99×2＝198
B
5．(4分)如图，将一个边长为a的正方形剪去一个边长为b的正方形，并将剩余部分裁剪拼成一个长方形，请根据图形写出一个多项式的因式分解：
__________________________．
a2－b2＝(a＋b)(a－b)
6．(8分)2 0213－2 021能被2 022整除吗？并说明理由．
解：能被2 022整除，理由：原式＝2 021(2 0212－1)＝2 021×(2 021＋1)(2 021－1)＝2 021×2 022×2 020，故它能被2 022整除
7．(10分)如图，由一个边长为x的小正方形与两个长，宽分别为x，y的小长方形组成长方形ABCD，则整个图形可表达一些有关多项式因式分解的等式，请你写出其中任意一个等式．
解：如x2＋2xy＝x(x＋2y)；x(x＋y)＋xy＝x(x＋2y)；x(x＋2y)－x(x＋y)＝xy等
【素养提升】
8．(12分)在对多项式x2＋ax＋b进行因式分解时，小红看错了b，分解的结果是(x－10)(x＋2)；小亮看错了a，分解的结果是(x－8)(x－2)，求ab的值．
解：∵小红看错了b，分解的结果是(x－10)(x＋2)＝x2－8x－20，∴a＝－8.∵小亮看错了a，分解的结果是(x－8)(x－2)＝x2－10x＋16，∴b＝16，∴ab＝(－8)×16＝－128
