(共12张PPT)
数学 八年级下册 北师版
第一章 三角形的证明
1.3 线段的垂直平分线
第1课时 线段的垂直平分线
1．(4分)如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，连接AE，
若AE＝4，则BE的长是( )
A．2 B．4 C．6 D．8
2．(4分)如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，
下列结论不一定成立的是( )
A．AB＝AD B．AC平分∠BCD
C．AB＝BD D．△BEC≌△DEC
B
C
3．(4分)(黄冈中考)如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，
AC于点D，E，若∠C＝25°，则∠ADB的度数为( )
A.50°
B．70°
C．75°
D．80°
4．(4分)(常州中考)如图，已知在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，垂足为E，
交AC于点D，若AB＝6，AC＝9，则△ABD的周长是____．
A
15
5．(5分)如图，∠ACD＝90°，∠D＝15°，点B在AD的垂直平分线上，
若AC＝3，则BD的长为_____．
6
6．(4分)如图，AC＝AD，BC＝BD，则有( )
A．AB垂直平分CD
B．CD垂直平分AB
C．AB与CD互相垂直平分
D．CD平分∠ACB
7．(5分)如图，BC＝10，BD＝6，AD＝4，则点D在_____的垂直平分线上．
A
AC
8．(10分)如图，在△ABC中，AD是高，在线段DC上取一点E，使BD＝DE，
已知AB＋BD＝DC.求证：点E在线段AC的垂直平分线上．
证明：∵AD⊥BE，BD＝DE，∴AB＝AE.又∵AB＋BD＝DC，DC＝DE＋EC，
AB＋BD＝AE＋DE，∴AE＝EC，∴点E在线段AC的垂直平分线上
C
B
11．(南充中考)如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠B＝70°，∠FAE＝19°，则∠C＝____度．
12．(驻马店期中)如图，∠AOB内一点P，P1，P2分别是点P关于OA，OB的对称点，P1P2交OA于点M，交OB于点N，若P1P2＝10 cm，则△PMN的周长是____cm.
24
10
13．(12分)如图，AD是△ABC的角平分线，
AD的垂直平分线EF交BC的延长线于点F.求证：∠FAC＝∠B.
证明：∵EF是AD的垂直平分线，∴FA＝FD，∴∠FAD＝∠FDA，即∠FAC＋∠DAC＝∠BAD＋∠B.又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，∴∠FAC＝∠B
14．(14分)如图，已知E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C，D是垂足，连接CD，交OE于点F.
(1)求证：OE是CD的垂直平分线；
(2)若∠AOB＝60°，求证：OE＝4EF.
【素养提升】
15．(14分)如图，△ABC中，∠B＝22.5°，AB的垂直平分线交AB于点Q，交BC于点P，PE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，AD交PE于点F.求证：DF＝DC.(共11张PPT)
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第一章 三角形的证明
1.2 直角三角形
第2课时 直角三角形全等的判定
1．(4分)如图所示，P是∠BAC内一点，且点P到AB，AC的距离PF＝PE，
则能直接得到△PEA≌△PFA的理由是( )
A．HL B．AAS C．SSS D．SAS
2．(4分)(平顶山期中)如图所示，在△ABC与△ABD中，∠C＝∠D＝90°，
要使△ABC≌△ABD(HL)成立，还需要添加的条件是( )
A．∠BAC＝∠BAD
B．BC＝BD或AC＝AD
C．∠ABC＝∠ABD
D．AB为公共边
A
B
3．(4分)下列说法中，正确的有( )
①斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等；②两边及其夹角分别相等的两个直角三角形全等；③一锐角和斜边分别相等的两个直角三角形全等；④两个锐角对应相等的两个直角三角形全等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．(4分)如图，点A，D，E在直线l上，∠BAC＝90°，BD⊥l于点D，CE⊥l于点E，若AB＝AC＝5，CE＝3，则DE＝____．
C
7
5．(8分)如图，已知∠A＝∠D＝90°，AC＝DB.
求证：OB＝OC.
证明：在Rt△ABC和Rt△DCB中，∵AC＝DB，BC＝CB，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL)，∴∠ACB＝∠DBC，∴OB＝OC
6．(8分)如图所示，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D在边AB上，且DB＝BC，
过点D作EF⊥AC，交AC于点E，交CB的延长线于点F.求证：AB＝BF.
证明：∵EF⊥AC，∴∠F＋∠C＝90°.∵∠A＋∠C＝90°，∴∠A＝∠F.
又∵BC＝BD，∠ABC＝∠FBD，∴△ABC≌△FBD(AAS)，∴AB＝BF
7．(8分)(教材P21习题1.6T1变式)如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，且BE＝CF，求证：△ABC是等腰三角形．
8．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD，CE相交于点O，AO的延长线交BC于点F，则图中全等的直角三角形有( )
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
9．如图所示，已知∠ADB＝∠BCA＝90°，AC＝BD，AC与BD相交于点O，则下列结论：①AD＝BC；②∠DBC＝∠CAD；③AO＝BO；④AB∥CD；⑤△DOC为等腰三角形．其中正确的个数有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
D
D
10．如图，BD＝CF，FD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BE＝CD，
若∠AFD＝140°，则∠EDF＝____．
11. 如图，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，AX⊥AC，点P和点Q从点A出发，
分别在线段AC和射线AX上运动，且AB＝PQ，当点P运动到AP＝____，
△ABC与△APQ全等．
50°
5或10
三、解答题(共28分)
12．(12分)如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D为AB延长线上的一点，点E在BC边上，且BE＝BD，连接AE，DE，DC.
(1)求证：△ABE≌△CBD；
(2)若∠CAE＝30°，求∠BDC的度数．
【素养提升】
13．(16分)(类比思想)如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于点D，CE⊥DE于点E.
(1)若B，C在DE的同侧(如图①)且AD＝CE.求证：AB⊥AC；
(2)若B，C在DE的两侧(如图②)，其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？若是，请给出证明；若不是，请说明理由．(共13张PPT)
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第一章 三角形的证明
1．1 等腰三角形
第3课时 等腰三角形的判定与反证法
B
D
3．(4分)如图，∠B＝∠C＝36°，∠ADE＝∠AED＝72°，
则图中的等腰三角形共有( )
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
4．(4分)如图，AC，BD相交于点O，∠A＝∠D，若请你再补充一个条件，
使得△BOC是等腰三角形，则你补充的条件不能是( )
A．OA＝OD B．AB＝CD
C. ∠ABO＝∠DCO D．∠ABC＝∠DCB
D
C
5．(8分)(内江中考)如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC.求证：△BDE是等腰三角形．
证明：如图，∵DE∥AC，∴∠1＝∠3.∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2，∴∠2＝∠3.∵AD⊥BD，∴∠2＋∠B＝90°，∠3＋∠BDE＝90°，∴∠B＝∠BDE，∴△BDE是等腰三角形
C
在一个三角形中，三个内角都小于60°
8．(8分)用反证法证明：等腰三角形的两底角必为锐角．
证明：假设等腰三角形的底角∠B，∠C都是大于等于90°的角，
则_________________________，
从而_____________________＞180°，
这与_____________________矛盾．
则假设____________，
所以∠B，∠C只能为____．
故等腰三角形的两底角必为锐角．
∠B＋∠C≥180°
∠A＋∠B＋∠C
三角形内角和为180°
不成立
锐角
9．如图，下列三角形中，若AB＝AC，则能被直线分成两个小等腰三角形的是( )
A．①②③ B．①②④
C．②③④ D．①③④
10．如图，∠ABC＝40°，BD平分∠ABC，过点D作DE∥AB交BC于点E，若点F在AB上，且满足DF＝DE，则∠DFB的度数为( )
A．20° B．140°
C．20°或140° D．40°或140°
D
D
11．如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O.过点O作DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E.若AB＝5，AC＝4，则△ADE的周长是____．
9
三、解答题(共36分)
12．(10分)如图，在四边形ABDC中，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：BD＝CD.
证明：连接BC，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵∠ABD＝∠ACD，
∴∠ABD－∠ABC＝∠ACD－∠ACB，即∠DBC＝∠DCB，∴BD＝CD
13．(12分)如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为AC上一点，且满足AD＝BD＝BC.点E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF.
(1)求∠BAC和∠ACB的度数；
(2)求证：△ACF是等腰三角形．
解：(1)设∠BAC＝x°，∵AD＝BD，∴∠BAC＝∠ABD＝x°，∴∠BDC＝2x°.
∵BD＝BC，∴∠BDC＝∠BCD＝2x°.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝2x°.
在△ABC 中，x＋2x＋2x＝180，解得x＝36，则∠BAC＝36°，∠ACB＝72°
(2)证明：∵E是AB的中点，AD＝BD，∴DE⊥AB，即FE⊥AB，易证△AEF≌△BEF，∴∠BAF＝∠ABF.又∵∠ABD＝∠BAD，∴∠FAD＝∠FBD＝36°.
又∵∠ACB＝72°，∴∠AFC＝∠ACB－∠FAD＝36°＝∠FAD，∴AC＝CF，
即△ACF为等腰三角形
【素养提升】
14．(14分)如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠B＝40°，点D在线段BC上运动(点D不与点B，C重合)，连接AD，作∠ADE＝40°，DE交边AC于点E.
(1)当∠BDA＝115°时，求∠EDC的度数；
(2)在点D的运动过程中，△ADE可以是等腰三角形吗？若可以，求出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．
解：(1)∵∠BDA＝115°，∠ADE＝40°，∴∠EDC＝180°－∠BDA－∠ADE＝25°
(2)当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE是等腰三角形．理由如下：∵AB＝AC且∠B＝40°，∴∠C＝40°，∠BAC＝100°.当∠BDA＝110°时，则∠ADC＝70°.又∵∠C＝40°，∴∠DAC＝70°.又∵∠ADE＝40°，∴∠AED＝70°，∴∠AED＝∠DAC，∴DE＝DA，∴△ADE是等腰三角形．当∠BDA＝80°时，则∠ADC＝100°.又∵∠C＝40°，∴∠DAC＝40°，∴∠ADE＝∠DAC，∴AE＝DE，∴△ADE是等腰三角形．∵∠DAC＜∠BAC＝100°，∴∠AED＝180°－∠ADE－∠DAC＞40°＝∠ADE，∴AD≠AE.综上所述，当∠BDA＝110°或80°时，△ADE可以是等腰三角形(共12张PPT)
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第一章 三角形的证明
1.2 直角三角形
第1课时 直角三角形的性质与判定
1．(4分)在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是( )
A．120° B．90° C．60° D．30°
2．(4分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，直线DE过点C，且DE∥AB，
若∠ACD＝50°，则∠B＝____．
D
40°
3．(4分)已知A，B，C三地的位置如图所示，∠C＝90°，A，C两地相距4 km，B，C两地相距3 km，则A，B两地的距离是____km；若A地在C地的正东方向，则B地在C地的____方向．
5
正北
4．(8分)如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，BE是一条角平分线，
AD，BE相交于点P，已知∠EPD＝125°，求∠BAD的度数．
解：∵AD是BC边上的高线，∠EPD＝125°，∴∠CBE＝∠EPD－∠ADB＝125°－90°＝35°.∵BE是一条角平分线，∴∠ABD＝2∠CBE＝2×35°＝70°.在Rt△ABD中，∠BAD＝90°－∠ABD＝90°－70°＝20°
5．(4分)如图，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是( )
A.∠A＋∠B＝∠C
B．a2＝c2－b2
C．a＝3，b＝4，c＝5
D．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5
D
7．(4分)下列定理中，没有逆定理的是( )
A．直角三角形的两个锐角互余
B．等腰三角形两腰上的高相等
C．全等三角形的周长相等
D．等边三角形的三个角都相等
8．(4分)下列命题中，逆命题为真命题的是( )
A．如果两个角是直角，那么它们相等
B．邻补角互补
C．如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等
D．内错角相等，两直线平行
C
D
9．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE平分∠ACD交AB于点E，则下列结论一定成立的是( )
A．BC＝EC B．EC＝BE
C．BC＝BE D．AE＝EC
10．如图，已知M，N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN的长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
C
B
11．(商丘期末)如图，一架2.6 m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4 m，当梯子的顶端A沿墙向下滑的距离AC与梯子底端B向外移的距离BD相等时，AC的长是____．
1.4m
12．(16分)如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，D为AC边的中点，过点D作DE⊥DF，交AB于点E，交BC于点F，若AE＝4，FC＝3，求EF的长．
解：连接BD，∵AB＝CB，D是AC的中点，∴BD⊥AC，∴∠BDF＋∠FDC＝90°.∴∠A＝∠C＝45°，∴∠ABD＝∠C＝45°，∴BD＝AD＝CD.又∵DE⊥DF，∴∠EDB＋∠BDF＝90°，∴∠EDB＝∠FDC，∴△BED≌△CFD(ASA)，∴BE＝CF＝3，BF＝AE＝4，∴EF2＝BE2＋BF2＝52，∴EF＝5
【素养提升】
13．(20分)【图形定义】我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．
【性质探究】如图①，四边形ABCD是“垂美四边形”，试探究两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系，并证明你的结论；
【拓展应用】如图②，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，分别以AC和AB为直角边向外作等腰直角三角形ACD和等腰直角三角形ABE，连接DE，若AC＝4，AB＝5，求DE的长．(共11张PPT)
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第一章 三角形的证明
专题训练(一) 等腰三角形中常见辅助线的作法
2．如图，在△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于点D，
E是AD上一点，且EA＝EC，连接EB，求证：EB⊥AB.
类型之二 巧用特殊角构造含30°角的直角三角形
技巧点拨：遇含有30°或60°或120°或150°角的三角形(有时是多边形)时，要善于联想到含30°角的直角三角形，然后构造出符合这种直角三角形模型特征的辅助线．
方法1：作垂线构造直角三角形
3．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝15°，求AB边上的高．
4．如图，四边形ABCD中，∠C＝30°，∠B＝90°，∠ADC＝120°.
若AB＝2，CD＝8，求AD的长．
解：如图，延长CD，BA，相交于点E.在△EBC中，∵∠B＝90°，∠C＝30°，∴∠E＝90°－30°＝60°，CE＝2BE.又∵∠ADC＝120°，∴∠ADE＝60°.∴△ADE是等边三角形．设AD＝x，则DE＝AE＝x，∴CE＝8＋x，BE＝2＋x，∴8＋x＝2(2＋x)，解得x＝4.∴AD的长为4
类型之三 巧作辅助线构造等腰三角形
方法1：平行平分构造等腰三角形
技巧点拨：利用“角平分线＋平行线”构造等腰三角形；作腰的平行线构造等腰三角形；作边的平行线构造等腰三角形．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，EF交AB于点E，交BC于点D，交AC的延长线于点F，且BE＝CF.求证：DE＝DF.
方法2：截长补短构造等腰三角形
技巧点拨：对于线段和差问题，利用“截长补短”的思想，添加辅助线，可构造等腰三角形来实现边角之间的转化．
7．如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝108°，BD平分∠ABC交AC于点D，求证：AB＝AD＋BC.
证明：方法一：(截长法)，如图①，在AB上截取BE＝BC，连接ED，易证△BCD≌△BED，∴∠DEB＝∠ACB＝108°.又∵∠A＝∠ABC＝36°，∴∠AED＝∠ADE＝72°，∴AD＝AE，∴AB＝BE＋AE＝BC＋AD.
方法二：(补短法)，如图②，延长BC至点F，使BF＝AB，连接FD，证AD＝DF＝CF即可
方法3：运用倍角关系构造等腰三角形
技巧点拨：遇到二倍角的问题，利用“角的折半、加倍法”，添加辅助线．
8．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，且∠B＝2∠C，求证：AB＋BD＝AC.(共14张PPT)
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第一章 三角形的证明
本章考点整合训练一
考点一 全等三角形
1．如图，△ABC≌△DEC，且点B，C，D在同一条直线上，
若CE＝5，AC＝7，则BD的长为( )
A．2 B．7 C．12 D．14
2．(齐齐哈尔中考)如图，已知在△ABC中，AB＝AC，点D，E在BC上，
要使△ABD≌△ACE，则只需添加一个适当的条件：
____________________．(只填一个即可)
C
∠ADB＝∠AEC
3．如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，
若AB＝4，CF＝3，则BD的长是_____．
1
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以点B为圆心，BC的长为半径的圆弧交AC于点D，连接BD，则∠ABD的度数为( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
5．如图，E是等边三角形ABC中AC边上的点，∠1＝∠2，BE＝CD，
则△ADE的形状是( )
A．腰和底不相等的等腰三角形
B．等边三角形
C．不等边三角形
D．不能确定形状
B
B
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE＝CE.
求证：(1)△AEF≌△CEB；
(2)AF＝2CD.
C
9．(娄底中考)如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，
BF⊥AC于点F，DE＝3 cm，则BF＝____cm.
6
10．小明是一位善于思考的学生，在一次数学活动课上，他将一副直角三角板
按如图所示的位置摆放，点A，B，D在同一条直线上，EF∥AD，
∠CAB＝∠EDF＝90°，∠C＝45°，∠E＝60°，量得DE＝8，试求BD的长．
D
50°
14．如图，AO平分∠BAC，OD⊥BC，OE⊥AB，垂足分别为D，E，且OD＝OE.
求证：CO平分∠ACB.
证明：过点O作OF⊥AC于点F.∵AO平分∠BAC，OE⊥AB，OF⊥AC，∴OE＝OF.又∵OD＝OE，∴OF＝OD.又∵OF⊥AC，OD⊥BC，∴CO平分∠ACB
【素养提升】
15．(郑州模拟)如图(a)，已知点B(0，6)，C为x轴上一动点，连接BC，△ODC和△EBC都是等边三角形．
(1)求证：BO＝ED；
(2)如图(b)，当点D恰好落在BC上时，①求OC的长及点E的坐标；
②在x轴上是否存在点P，使△PEC为等腰三角形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
③如图(c)，M是线段BC上的动点(点B，C除外)，过点M作MG⊥BE于点G，MH⊥CE于点H，当点M运动时，MH＋MG的值是否会发生变化？若不发生变化，请直接写出MH＋MG的值；若发生变化，请简要说明理由．(共7张PPT)
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第一章 三角形的证明
1.4 角平分线
第2课时 三角形的三个内角的平分线
1．(5分)到三角形的三边距离相等的点是( )
A．三条边垂直平分线的交点
B．三条高所在直线的交点
C．三条角平分线的交点
D．三条中线的交点
2．(5分)如图，已知△ABC，求作一点P，使点P到∠CAB的两边的距离相等，且PA＝PB，下列确定点P的方法正确的是( )
A.点P是∠CAB与∠CBA两角平分线的交点
B．点P是∠CAB的平分线与AB的垂直平分线的交点
C.点P为AC，AB两边上的高的交点
D．点P为AC，AB两边的垂直平分线的交点
C
B
3．(5分)如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为40，50，60.其三条角平分线相交于点O，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO＝__________．
4．(5分)如图是一块三角形的草坪(△ABC)，现要在这块草坪上建一凉亭
供大家休息，要使凉亭到草坪三边的距离相等，
凉亭的位置应选在△ABC的____________________处．
4∶5∶6
三条角平分线的交点
5．(5分)如图，点O是△ABC内一点，点O到三边的距离OF＝OD＝OE，
若∠A＝80°，则∠BOC＝____．
130°
6．(12分)三条公路两两相交于E，F，G三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路的距离相等．问：可供选择的地方有多少处？你能在图中找出来吗？
解：如图所示，①作出△EFG两内角的平分线，其交点为O1；
②分别作出△EFG两外角平分线，其交点分别为O2，O3，O4.
∴满足条件的修建点有四处，即O1，O2，O3，O4(共12张PPT)
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第一章 三角形的证明
1．1 等腰三角形
第2课时 等腰三角形的特殊性质和等边三角形
D
B
3．(8分)(教材P5例1变式)如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点．求证：BE＝CD.
4．(4分)如图，等边三角形ABC中，D是AC边上的一点，延长BC到点E，
使CE＝CD，连接DE，则∠E的度数为( )
A．15° B．20° C．30° D．40°
5．(4分)如图，已知AD是等边三角形ABC的中线，则∠BAD的度数是( )
A．20° B．30° C．45° D．60°
C
B
D
C
8. (8分)(教材P7习题1.2T3变式)如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别为边BC，CA的延长线上的一点，且AE＝CD，求证：AD＝BE.
证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60°，
∴∠BAE＝∠ACD＝120°.又∵AE＝CD，∴△ABE≌△CAD(SAS)，∴AD＝BE
9．如图，一个等边三角形的纸片剪去一个角后得到一个四边形，
则图中∠α＋∠β的度数是( )
A．180° B．220° C．240° D．300°
10．(焦作月考)如图，等边三角形ABC的两条中线相交于点I，则∠BIC等于( )
A．60° B．90° C．120° D．150°
C
C
11．如图，等边三角形ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点B′处，DB′，EB′分别交AC于点F，G，若∠B′DE＝50°，则∠EGC的度数为____．
12．如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC于点D，AE＝AD，
则∠CDE＝____．
80°
15°
三、解答题(共40分)
13．(12分)如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以PB为边作∠PBQ＝60°，且BQ＝BP，连接CQ.求证：AP＝CQ.
证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°.∵∠PBQ＝60°，∴∠ABC＝∠PBQ，∴∠ABP＝∠ABC－∠PBC＝∠PBQ－∠PBC＝∠CBQ.∵AB＝CB，∠ABP＝∠CBQ，BP＝BQ，∴△ABP≌△CBQ(SAS)，∴AP＝CQ
14．(12分)如图，在等边三角形ABC中，D是BC上的一点，延长AD至点E，使AE＝AC，∠BAE的平分线交△ABC的高BF于点O.求∠E的度数．
【素养提升】
15．(16分)如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点(点P与点A，C不重合)，由A向C运动，Q是CB延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动(点Q与点B不重合)，过点P作PE⊥AB于点E，连接PQ交AB于点D.
(1)当∠BQD＝30°时，求AP的长；
(2)在运动过程中线段DE的长是否发生变化？如果不变，求出线段DE的长；如果发生改变，请说明理由．(共9张PPT)
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第一章 三角形的证明
专题训练(二) 等腰三角形中的分类讨论
1．等腰三角形的周长为5 cm，其中一边长为1 cm，则该等腰三角形的底边长为( )
A．1 cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm
2．若等腰三角形的一边长为6，另一边长为13，则它的周长为( )
A．25 B．25或32 C．32 D．19
A
C
25
B
5．若等腰三角形的一个内角为50°，则它的顶角为______________．
6．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角
为50°，则∠B等于______________．
50°或80°
70°或20°
7．已知等腰三角形ABC一腰上的高与另一腰的夹角为50°，求△ABC的三个内角的度数．
类型之四 关于中线的位置不确定的讨论
8．已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12和15两部分，求这个三角形的三边长．
类型之五 关于动点问题的讨论
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A(0，2)，B(0，6)，动点C在直线y＝x上，若以A，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则符合题意的点C的个数是( )
A.2
B．3
C．4
D．5
B
10．在一张长为8 cm，宽为6 cm的长方形纸片上，现要剪下一个腰长为5 cm的等腰三角形(要求：等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其余的两个顶点在长方形的边上).则剪下的等腰三角形的面积为______________cm2.(共12张PPT)
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第一章 三角形的证明
1.3 线段的垂直平分线
第2课时 三角形三边的垂直平分线
1．(5分)在三角形内，到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的( )
A．三条中线的交点
B．三条高的交点
C．三条角平分线的交点
D．三条边的垂直平分线的交点
2．(5分)如图，线段AB，AC的垂直平分线相交于点P，则PB与PC的关系是( )
A．PB>PC B．PB＝PC
C．PB
D
B
3．(5分)(抚顺县月考)如图，O为△ABC三边垂直平分线的交点，
且点O到顶点B的距离为4 cm，则AO＋BO＋CO＝____.
4．(5分)如图，D是△ABC三边垂直平分线的交点，若∠ACD＝25°，
∠BAD＝40°，则∠BCD＝____．
12cm
25°
5．(5分)如图，已知线段a，h，作等腰三角形ABC，使AB＝AC，且BC＝a，BC边上的高AD＝h.张红的作法是：①作线段BC＝a；②作线段BC的垂直平分线MN，MN与BC相交于点D；③在直线MN上截取线段h；④连接AB，AC.△ABC为所求作的等腰三角形．上述作法的步骤中，有错误的一步是( )
A．① B．② C．③ D．④
C
30°
7．(10分)在新农村建设中，公路实现“村村通”是一项很受欢迎的民生工程．
如图所示，已知直线l是一条笔直的公路，现有一个村庄P要修一条公路与l相通，
要使其造价最低，请在图中画出要修的公路位置.
解：如图所示，过点P作直线PM垂直直线l，交直线l于点Q，
则线段PQ就是所要修的公路的位置
8．过直线l外一点P作l的垂线，先在直线l上取两点A，B，使PA＝PB，再作( )
A．线段AB的垂线 B．∠PAB的平分线
C．∠PBA的平分线 D．∠APB的平分线
9．已知△ABC(AC＜BC)，用尺规作图的方法在BC上确定一点P，
使PA＋PC＝BC，则符合要求的作图痕迹是( )
D
D
10．等腰三角形的顶角为100°，两腰的垂直平分线交于点P，
则点P在三角形____．(填“内”“外”或“底边上”)
11．如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线l1，l2相交于点O，
若∠BAC等于82°，则∠OBC＝____．
外
8°
三、解答题(共40分)
12．(12分)如图所示，已知线段a，b，求作等腰三角形，使高为a，腰长为b(a解：作法：①作线段AD＝a
②过点D作直线MN⊥AD于点D；③以点A为圆心、b为半径画弧，
交MN于B，C两点，连接AB，AC.△ABC即为所求，如图所示
13．(14分)(洛阳期末)如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，分别交BC于点D，E，已知△ADE的周长为5 cm.
(1)求BC的长；
(2)分别连接OA，OB，OC，若△OBC的周长为13 cm，求OA的长．
解：(1)∵DM是线段AB的垂直平分线，∴DA＝DB.同理EA＝EC.
∵△ADE的周长5 cm，∴AD＋DE＋EA＝5 cm，∴BC＝DB＋DE＋EC＝AD＋DE＋EA＝5 cm
(2)∵△OBC的周长为13 cm，∴OB＋OC＋BC＝13 cm.∵BC＝5 cm，∴OB＋OC＝8 cm.
∵OM垂直平分AB，∴OA＝OB.同理OA＝OC.∴OA＝OB＝OC＝4 cm
【素养提升】
14．(14分)如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°.
(1)在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN的周长最小；
(2)在(1)的条件下，求∠AMN＋∠ANM的度数．
解：(1)分别作点A关于直线BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，分别交BC，CD于点M，N，则M，N即为所求
(2)∵∠BAD＝120°，∴∠A′＋∠A″＝180°－∠BAD＝60°.又∵∠A′＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，且∠A′＋∠MAA′＝∠AMN，∠NAD＋∠A″＝∠ANM，∴∠AMN＋∠ANM＝∠A′＋∠MAA′＋∠NAD＋∠A″＝2(∠A′＋∠A″)＝2×60°＝120°(共13张PPT)
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第一章 三角形的证明
1．1 等腰三角形
第1课时 全等三角形和等腰三角形的性质
1．(4分)已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数是( )
A．50° B．58° C．60° D．72°
2．(4分)如图，能用AAS来判定△ACD≌△ABE，需要添加的条件是( )
A．∠ADC＝∠AEB，∠C＝∠B
B．∠ADC＝∠AEB，CD＝BE
C．AC＝AB，AD＝AE
D．AC＝AB，∠C＝∠B
A
B
3．(4分)(长沙中考)如图，点B，E，C，F在同一条直线上，AB∥DE，
AB＝DE，BE＝CF，AC＝6，则DF＝____．
6
4．(10分)如图，△ABC的中线是AD，分别过点B，C作BE⊥AD于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F.求证：BE＝CF.
证明：∵AD是中线，∴CD＝DB.∵BE⊥AD，CF⊥AF，
∴∠BED＝∠CFD＝90°.∵∠CDF＝∠BDE，∴△CFD≌△BED(AAS)，
∴BE＝CF
5．(4分)(宝丰月考)若等腰三角形的顶角为70°，则它的底角度数为( )
A．45° B．55° C．65° D．70°
6．(4分)如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠B＝70°，则∠C的度数为( )
A．35° B．40° C．45° D．50°
7．(4分)(丽水中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D.若AB＝6，CD＝4，则△ABC的周长是____．
B
A
20
∠BAC
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合
∠CAE
∠DBC
等量代换
垂直的定义
9．如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB＝AC，∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是( )
A．20° B．35° C．40° D．70°
10．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，AD＝4，BD＝3，则图中阴影部分的面积是( )
A．3 B．6 C．9 D．12
B
B
11．(分类讨论思想)在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，点D在BC边上，连接AD，若△ABD为直角三角形，则∠ADC的度数为_____________．
12．如图，△ABC中．点D在BC边上，BD＝AD＝AC，E为CD的中点．
若∠CAE＝16°，则∠B＝____度．
130°或90°
37
三、解答题(共28分)
13．(12分)(河南期末)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D.
(1)若∠B＝39°，求∠CAD的度数；
(2)若点E在边AC上，EF∥AB交AD的延长线于点F.求证：AE＝FE.
解：(1)∵AB＝AC，AD⊥BC于点D，∴∠BAD＝∠CAD，∠ADC＝90°.又∵∠B＝39°，∴∠BAD＝∠CAD＝90°－39°＝51° (2)证明：∵EF∥AB，∴∠F＝∠BAD，∴∠F＝∠CAD，∴AE＝FE
【素养提升】
14．(16分)(类比思想)(1)如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E在边AB上，且AD＝AC，BE＝BC，求∠DCE的度数；
(2)如图②，在△ABC中，∠ACB＝40°，点D，E在直线AB上，且AD＝AC，BE＝BC，则∠DCE＝_________；
(3)在△ABC中，∠ACB＝n°(0110°(共15张PPT)
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第一章 三角形的证明
1．1 等腰三角形
第4课时 等边三角形的判定与含30°角的直角三角形
1．(4分)下列说法中不正确的是( )
A．三边相等的三角形是等边三角形
B．三个角相等的三角形是等边三角形
C．有一个角为60°的三角形是等边三角形
D．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形
C
2．(4分)如图，在△ABC中，∠B＝60°，AB＝AC，BC＝3，
则△ABC的周长为____．
3．(4分)如图，将两个完全相同的含有30°角的三角板拼接在一起，
则拼接后的△ABD的形状是__________________．
9
等边三角形
4．(8分)如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，CD平分∠ACB，AE∥DC，
交BC的延长线于点E，求证：△ACE是等边三角形．
证明：∵CD平分∠ACB，∠ACB＝120°，
∴∠BCD＝∠ACD＝60°.∵AE∥DC，∴∠CAE＝∠ACD＝60°，
∠E＝∠BCD＝60°，∴∠CAE＝∠E＝60°，∴△ACE是等边三角形
5．(4分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＋BC＝12 cm，
则AB等于( )
A.6 cm
B．7 cm
C．8 cm
D．9 cm
6．(4分)(项城期中)如图，AC＝BC＝10 cm，∠B＝15°，AD⊥BC于点D，
则AD的长为( )
A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm
C
C
7．(4分)如图所示的是某超市自动扶梯的示意图，大厅两层之间的距离h＝6.5米，
自动扶梯的倾角为30°，若自动扶梯运行速度为v＝0.5米/秒，
则顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为____秒．
26
8．(8分)(开封祥符区期末)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，
AD＝4 cm，求BC的长．
解：∵AB＝AC，∠C＝30°，∴∠B＝30°.∵AB⊥AD，AD＝4 cm，
∴BD＝8 cm，∠ADB＝60°.∵∠C＝30°，∴∠DAC＝∠C＝30°，
∴CD＝AD＝4 cm，∴BC＝BD＋CD＝8＋4＝12 cm
B
10．(焦作一模)已知，在△ABC中，AB＝AC，如图，(1)分别以B，C为圆心，BC长为半径作弧，两弧交于点D；(2)作射线AD，连接BD，CD.下列结论中错误的是( )
A．∠BAD＝∠CAD
B．△BCD是等边三角形
C．AD垂直平分BC
D．S四边形ABDC＝AD·BC
D
11．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，
则此三角形的形状为______________．
12．已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB内部，且OP＝4，P1与P关于OB对称，
P2与P关于OA对称，则P1P2＝____．
等边三角形
4
三、解答题(共40分)
13．(12分)如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.若CD＝2，求DF的长．
解：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°.∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°.∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°，∴∠F＝90°－∠EDC＝30°.∵∠ACB＝60°，∠EDC＝60°，∴△EDC是等边三角形．∴ED＝DC＝2.∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，∴DF＝2DE＝4
14．(12分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交BC于点F，若AF＝BF，求证：△CEF是等边三角形．
证明：∵AF是∠BAC的平分线，∴∠CAB＝2∠1＝2∠2.∵AF＝BF，
∴∠2＝∠B.∵∠ACB＝90°，∴∠B＋∠CAB＝90°，即∠B＋2∠2＝90°，
∴∠B＝∠1＝∠2＝30°.∵∠4是△ABF的外角，∴∠4＝∠2＋∠B＝60°.
∵CD是AB边上的高，∴∠2＋∠3＝90°，∴∠3＝60°.
∵∠5＝∠3，∴∠4＝∠5＝60°，∴△CEF是等边三角形
【素养提升】
15．(16分)在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，∠B＝∠D＝60°，连接AC.
(1)如图①，点E，F分别在边BC，CD上，且BE＝CF.求证：①△ABE≌△ACF；②△AEF是等边三角形．
(2)若点E在BC的延长线上，在直线CD上是否存在点F，使△AEF是等边三角形？请证明你的结论(图②备用).
解：(1)证明：①∵AB＝BC，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC.同理，△ADC是等边三角形，∴∠ACF＝∠B＝60°.又∵BE＝CF，∴△ABE≌△ACF；②由△ABE≌△ACF得，AE＝AF，∠BAE＝∠CAF.∵∠BAE＋∠CAE＝60°，∴∠CAF＋∠CAE＝60°，即∠EAF＝60°，∴△AEF是等边三角形 (2)存在．证明：如图，在CD的延长线上取点F，使CF＝BE，连接AF，AE，EF.与(1)①同理可证△ABE≌△ACF，∴∠BAE＝∠CAF，AE＝AF，∴∠CAF－∠CAE＝∠BAE－∠CAE，∴∠EAF＝∠BAC＝60°，∴△AEF是等边三角形(共13张PPT)
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第一章 三角形的证明
1.4 角平分线
第1课时 角平分线
1．(4分)(梧州中考)如图，已知BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DE＝6，则DF的长度是( )
A．2 B．3 C．4 D．6
2．(4分)如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，则下列结论错误的是( )
A．PC＝PD B．CO＝OD
C．∠DPO＝∠CPO D．OC＝PC
D
D
3．(4分)(德州中考)如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，OC＝5，OM＝4，
则点C到射线OA的距离为____．
4．(4分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，
若AB＝5，DC＝2，则△ABD的面积为____．
3
5
6．(4分)如图，∠AOB＝70°，QC⊥OA于点C，QD⊥OB于点D，
若QC＝QD，则∠AOQ＝____．
7．(4分)如图，在△ABC中，∠ABC＝120°，∠C＝26°，且DE⊥AB，
DF⊥AC，DE＝DF，则∠ADC的度数为____．
35°
137°
8．(8分)如图，P是∠BAC内的一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E，F，AE＝AF.
求证：点P在∠BAC的平分线上．
9．(宝丰期中)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则下列四个结论：①DE＝DF；②AD是线段EF的垂直平分线；
③∠BDE＝∠CDF；④BD＝CD，AD⊥BC.其中正确的个数有( )
A.1个
B．2个
C．3个
D．4个
D
10．如图，AD∥BC，∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P，
作PE⊥AB于点E.若PE＝2，则两平行线AD与BC间的距离为____．
11．(大庆中考)如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，
且∠ADC＝110°，则∠MAB＝____．
4
35°
三、解答题(共42分)
12．(12分)如图，已知OD平分∠EOF，P是OD上一点，在OE，OF边上取OA＝OB，PM⊥BD，PN⊥AD，垂足分别为M，N.求证：PM＝PN.
证明：∵OD平分∠AOB，∴∠AOD＝∠BOD.
又∵OA＝OB，OD＝OD，∴△AOD≌△BOD(SAS)，∴∠BDO＝∠ADO.
又∵PM⊥DB，PN⊥DA，∴PM＝PN
13．(14分)如图，在∠AOB的两边OA，OB上分别取OM＝ON，OD＝OE，
DN和EM相交于点C.求证：点C在∠AOB的平分线上．
【素养提升】
14．(16分)(1)如图①所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°，AD是△ABC的角平分线，过点D作DE⊥AB于点E，则可以得到AC，CD，AB三条线段之间的数量关系为________________；
(2)若将(1)中的条件“在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°”改为“在△ABC中，∠C＝2∠B”，如图②所示，则(1)中的结论是否仍然成立？证明你的猜想．
AB＝AC＋CD
解：(2)(1)中的结论仍然成立．证明如下：∵AD是∠CAB的平分线，∴在AB上截取AC′＝AC，易证△ACD≌△AC′D，∴AC＝AC′，CD＝C′D，∠AC′D＝∠C＝2∠B.又∵∠AC′D＝∠C′DB＋∠B，∴∠C′DB＝∠B，∴C′D＝C′B，∴AB＝AC′＋BC′＝AC＋CD，即AB＝AC＋CD