一元二次不等式及其解法
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文档简介
§3.2一元二次不等式及其解法
【教学目标】
知识与技能
理解三个“二次”的关系，掌握图像法解一元二次不等式；培养学生数形结合的能力。
过程与方法
经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图像探究一元二次不
等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；
情感态度与价值观
激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联
系的辩证思想。
【教学重点】一元二次不等式的解法。
【教学难点】理解三个二次之间的关系。
【教学过程】
（一）课题导入
上网获取信息已经成为人们日常生活的重要组成部分，因特网服务公司（ISP）的任务就是负责将用户的计算机接入因特网，同时收取一定的费用。
某同学要把自己的计算机接入因特网，比如说在我们周围现有两家ISP公司电信和网通可供选择。假如电信公司每小时收费1.5元（不足1小时按1小时计算）；网通公司的收费原则如下图所示，即在用户上网的第1小时内（含恰好1小时，下同）收费1.7元，第2小时内收费1.6元，以后每小时减少0.1元（若用户一次上网时间超过17小时，按17小时计算）。
一般来说，一次上网时间不会超过17小时，所以，不妨设一次上网时间总小于17小时。那么，一次上网在多长时间以内能够保证选择电信公司的上网费用小于或等于选择网通公司所需费用？
分析问题：假设一次上网x小时，则电信公司收取的费用为1.5x（元），网通公司收取的费用为（元），如果能够保证选择电信公司比选择网通公司所需费用少，则，整理得：一元二次不等式模型： ………… ①
设计意图：从实际情境中抽象出一元二次不等式模型（互联网的收费问题），引入新课。
（二）讲授新课
1、一元二次不等式的定义
象这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。
2、探究一元二次不等式的解集
怎样求不等式的解集呢？
探究：
一元二次不等式不是我们熟悉的东西，但是大家看和这是什么？
我们十分熟悉的二次函数和一元二次方程，那么这三者之间又有着怎样的关系呢？
容易知道：
二次方程的有两个实数根：，二次函数有两个零点：。
于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点。
（2）观察图象，获得解集
画出二次函数的图象，如图，观察函数图象，
可知：
当 x < 0，或x > 5时，函数图象位于x轴上方，此时，y > 0，即；
当，或时，函数图像与轴相交，此时，，即
当0 < x < 5时，函数图象位于x轴下方，此时，y < 0，即；
通过上述分析，我们可知，不等式的解集是，从而解决了开始时提出的问题，所以我们可知当一次上网在5个小时之内（含5个小时）的时候，选择电信比选择网通费用要少。当超过5个小时的时候，选择网通费用较少。因此，我们可以结合平时的上网时间合理的来进行选择。
设计意图：从一个特殊的不等式出发，通过图像分析给出，一元二次不等式可以通过结合其所对的二次函数图像来进行求解。
（3）探究一般的一元二次不等式的解法
任意的一元二次不等式，总可以化为以下两种形式：> 0（a > 0）或< 0（a > 0），怎样确定一元二次不等式>0与<0的解集呢？
组织讨论：
从上面的例子出发，综合学生的意见，可以归纳出确定一元二次不等式的解集，关键要考虑以下两点：
（1）二次函数与x轴的相关位置的情况，也就是一元二次方程= 0的根的情况；
（2）二次函数的开口方向，也就是a的符号。
总结讨论结果：
（1）二次函数 （a > 0）与 x轴的相关位置，分为三种情况，这可以由一元二次方程 = 0的判别式三种取值情况(Δ > 0，Δ = 0，Δ < 0）来确定，因此，要分三种情况讨论；
（2）a < 0可以转化为a > 0。
归纳总结：一元二次不等式的解集：
设相应的一元二次方程的两根为，，则不等式的解的各种情况如下表：
判别式
二次函数（）的图象
一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 无实根
两根之外
两个之间
例题讲解：
例1、解下列关于的不等式
；（2）；（3）解不等式
解：（1）因为,方程的两根是，
所以，原不等式的解集是。
（2）因为，
所以，原不等式的解集是。
整理，得， 化标准
因为，
方程的解是 判Δ，求根
所以不等式的解集是，
从而，原不等式的解集是。 下结论
小结：解一元二次不等式的步骤：
（1）化标准：将不等式化成标准形式（右边为0、最高次的系数为正）；
（2）判Δ，求根：计算判别式的值，若值为正，则求出相应方程的两根；
（3）下结论：注意结果要写成集合或者区间的形式
设计意图：通过三种不同形式的题目，让学生从各个面对一元二次不等式进行进一步了解，强调一些注意事项，让学生规范操作。（在第三个不等式上可以进行讨论）。
课堂练习：
解下列关于的不等式
（1）
（2）
（3）
设计意图：检验教学效果，学生黑板演练。
备选例题（根据学生程度和课堂时间情况进行调整）
例2、求函数的定义域
解：要使得函数有意义，则，
所以, 即，
故函数的定义域是。
设计意图：结合函数定义域，拓宽学生知识面，列出式子让学生黑板练习，检验教学效果。
（三）随堂练习：课本第80的练习1。
（四）课时小结
今天我们学习了一元二次不等式及其解法，同学下去可以再多看看三个二次之间的关系， 结合函数图像给出不等式的解集。同时要注意解决一元二次不等式的一些需要注意的地方；例如不等式的右边为0、最高次的系数为正等等。
同时请同学们下去思考：我们刚才提到的很多个不等式的左边实际上都可以进行因式分解，那么同学们又是否可以根据因式分解的结果来写出所对不等式的解集呢？
（五）作业：
课本80页习题3.2 A组第1、2题。
【教学目标】
知识与技能
理解三个“二次”的关系，掌握图像法解一元二次不等式；培养学生数形结合的能力。
过程与方法
经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图像探究一元二次不
等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；
情感态度与价值观
激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联
系的辩证思想。
【教学重点】一元二次不等式的解法。
【教学难点】理解三个二次之间的关系。
【教学过程】
（一）课题导入
上网获取信息已经成为人们日常生活的重要组成部分，因特网服务公司（ISP）的任务就是负责将用户的计算机接入因特网，同时收取一定的费用。
某同学要把自己的计算机接入因特网，比如说在我们周围现有两家ISP公司电信和网通可供选择。假如电信公司每小时收费1.5元（不足1小时按1小时计算）；网通公司的收费原则如下图所示，即在用户上网的第1小时内（含恰好1小时，下同）收费1.7元，第2小时内收费1.6元，以后每小时减少0.1元（若用户一次上网时间超过17小时，按17小时计算）。
一般来说，一次上网时间不会超过17小时，所以，不妨设一次上网时间总小于17小时。那么，一次上网在多长时间以内能够保证选择电信公司的上网费用小于或等于选择网通公司所需费用？
分析问题：假设一次上网x小时，则电信公司收取的费用为1.5x（元），网通公司收取的费用为（元），如果能够保证选择电信公司比选择网通公司所需费用少，则，整理得：一元二次不等式模型： ………… ①
设计意图：从实际情境中抽象出一元二次不等式模型（互联网的收费问题），引入新课。
（二）讲授新课
1、一元二次不等式的定义
象这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。
2、探究一元二次不等式的解集
怎样求不等式的解集呢？
探究：
一元二次不等式不是我们熟悉的东西，但是大家看和这是什么？
我们十分熟悉的二次函数和一元二次方程，那么这三者之间又有着怎样的关系呢？
容易知道：
二次方程的有两个实数根：，二次函数有两个零点：。
于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点。
（2）观察图象，获得解集
画出二次函数的图象，如图，观察函数图象，
可知：
当 x < 0，或x > 5时，函数图象位于x轴上方，此时，y > 0，即；
当，或时，函数图像与轴相交，此时，，即
当0 < x < 5时，函数图象位于x轴下方，此时，y < 0，即；
通过上述分析，我们可知，不等式的解集是，从而解决了开始时提出的问题，所以我们可知当一次上网在5个小时之内（含5个小时）的时候，选择电信比选择网通费用要少。当超过5个小时的时候，选择网通费用较少。因此，我们可以结合平时的上网时间合理的来进行选择。
设计意图：从一个特殊的不等式出发，通过图像分析给出，一元二次不等式可以通过结合其所对的二次函数图像来进行求解。
（3）探究一般的一元二次不等式的解法
任意的一元二次不等式，总可以化为以下两种形式：> 0（a > 0）或< 0（a > 0），怎样确定一元二次不等式>0与<0的解集呢？
组织讨论：
从上面的例子出发，综合学生的意见，可以归纳出确定一元二次不等式的解集，关键要考虑以下两点：
（1）二次函数与x轴的相关位置的情况，也就是一元二次方程= 0的根的情况；
（2）二次函数的开口方向，也就是a的符号。
总结讨论结果：
（1）二次函数 （a > 0）与 x轴的相关位置，分为三种情况，这可以由一元二次方程 = 0的判别式三种取值情况(Δ > 0，Δ = 0，Δ < 0）来确定，因此，要分三种情况讨论；
（2）a < 0可以转化为a > 0。
归纳总结：一元二次不等式的解集：
设相应的一元二次方程的两根为，，则不等式的解的各种情况如下表：
判别式
二次函数（）的图象
一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 无实根
两根之外
两个之间
例题讲解：
例1、解下列关于的不等式
；（2）；（3）解不等式
解：（1）因为,方程的两根是，
所以，原不等式的解集是。
（2）因为，
所以，原不等式的解集是。
整理，得， 化标准
因为，
方程的解是 判Δ，求根
所以不等式的解集是，
从而，原不等式的解集是。 下结论
小结：解一元二次不等式的步骤：
（1）化标准：将不等式化成标准形式（右边为0、最高次的系数为正）；
（2）判Δ，求根：计算判别式的值，若值为正，则求出相应方程的两根；
（3）下结论：注意结果要写成集合或者区间的形式
设计意图：通过三种不同形式的题目，让学生从各个面对一元二次不等式进行进一步了解，强调一些注意事项，让学生规范操作。（在第三个不等式上可以进行讨论）。
课堂练习：
解下列关于的不等式
（1）
（2）
（3）
设计意图：检验教学效果，学生黑板演练。
备选例题（根据学生程度和课堂时间情况进行调整）
例2、求函数的定义域
解：要使得函数有意义，则，
所以, 即，
故函数的定义域是。
设计意图：结合函数定义域，拓宽学生知识面，列出式子让学生黑板练习，检验教学效果。
（三）随堂练习：课本第80的练习1。
（四）课时小结
今天我们学习了一元二次不等式及其解法，同学下去可以再多看看三个二次之间的关系， 结合函数图像给出不等式的解集。同时要注意解决一元二次不等式的一些需要注意的地方；例如不等式的右边为0、最高次的系数为正等等。
同时请同学们下去思考：我们刚才提到的很多个不等式的左边实际上都可以进行因式分解，那么同学们又是否可以根据因式分解的结果来写出所对不等式的解集呢？
（五）作业：
课本80页习题3.2 A组第1、2题。