一元二次不等式的解法

课件14张PPT。一元二次不等式的解法
（一）问题：（1）如何解一元二次方程
（2）二次函数 的图象是
什么曲线？
（3）一元二次方程 的
解与二次函数 的图象
有什么联系？一元二次方程 的解实
际上就是二次函数
与x轴交点的横坐标。下面我们来研究如何应用二次函数的图象
来解一元二次不等式。首先，我们可以把任何一个一元二次
不等式转化为下列四种形式中的一种：以上四个不等式中我们规定了
如果题目中给出的不等式中二次项系
数小于0，哪怎么办呢？对了，我们只要在不等式两边同乘-1，
然后把不等式的方向改变一下，就可
化为以上四种形式中的一种。下面我们就利用二次函数的图象来解
以上4个不等式。设f(x)=ax2+bx+c　(a＞0),且设方程f(x)=0在△＞0时的两个根分别是x1、x2，且x1＜x2。下面我们一起来完成下表：?R R ? R?填写上表的依据是二次函数的图象，这实际上是一种数形结合的思想。由此我们可以得出解一元二次不等式的一般步骤：（1）把所给不等式化为四种标准形式之一；（2）判断所对应二次方程的根的情况；若
有根，则求出其根。（3）画出所对应的二次函数的图象；（4）根据图象写出不等式的解集。例1、求下列不等式的解集：
解：（1）将原不等式变形为：
即
∴原不等式的解集为
解：（2）将原不等式变形为
∴原不等式的解集为
解：（3）将原不等式变形为
∵方程 所对应的⊿=-56＜0
∴原不等式的解集为R。解：（4）将原不等式变形为
∵所对应的二次方程的⊿=0，
∴原不等式的解集为
解：（5）将原不等式变形为
∵所对应的二次方程的⊿=-44＜0，
∴原不等式的解集为例2、已知关于x的不等式
的解集是{x︱x＜-2或x＞ }
求 的解集。分析：本题主要强化一元二次方程、一元
二次不等式与二次函数图象间的关系。解法一：
由此可得a?b?c=(-2) ?(-5) ?(-2)且a<0,
∴所求解的不等式为：
即(x-2)(2x-1)<0,解得
∴不等式 的解集为
解法二：由已知得
的两个根，且a＜0，∴
解得 ∴不等式 即为
∴
即不等式 的解集为
小结：两种解法都是先试图找出a、b、c的
关系，再解出一元二次不等式的解集。例3、不等式
对任意x∈R恒成立，求a与m之间的关系。分析：不等式对任意x∈R恒成立，就是不等式的解集为R。对于二次不等式
的解集为R的条件为

解：将原不等式变形为
以上不等式对x∈R恒成立。
当a-m+1=0时，原不等式化为 –x-1＞0，
与x∈R不符，应舍去。注意：二次项系数为0的情况一定要考虑，
而这往往是容易忽略的，一定要引起大
家的高度重视。例4、解关于x不等式解：原不等式可化为
它所对应的二次方程的两 根为-2a，3a。
当-2a＞3a，即a＜0时，
原不等式的解集为{x︱3a＜x＜-2a}；
当-2a=3a，即a=0时，原不等式的解集为 ；
当-2a＜3a，即a＞0时，
原不等式的解集为{x︱-2a＜x＜3a}。小结：解含有参数的不等式时，要利用分类讨论的思想，确定分类的标准，对参数进行分类讨论。小结：（1）根据数形结合的思想，利用二次
函数的图象解二次不等式。（2）根据分类讨论的思想，正确选定
分类标准，解含参数的不等式。同学们再见！