湖北省武汉市2021-2022学年高一下学期期末压轴（50题）
一、单选题
1．已知函数，若方程有4个不同的根，，，，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．设函数，对于任意正数，都．已知函数的图象关于点成中心对称，若，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
3．八角星纹是大汶口文化中期彩陶纹样中具有鲜明特色的花纹．八角星纹常绘于彩陶盆和豆的上腹，先于器外的上腹施一圈红色底衬，然后在上面绘并列的八角星形的单独纹样．八角星纹以白彩绘成，黑线勾边，中为方形或圆形，具有向四面八方扩张的感觉．八角星纹延续的时间较长，传播范围亦广，在长江以南的时间稍晚的崧泽文化的陶豆座上也屡见刻有八角大汶口文化八角星纹星纹．图2是图1抽象出来的图形，在图2中，圆中各个三角形为等腰直角三角形，中间阴影部分是正方形且边长为2，其中动点P在圆上，定点A、B所在位置如图所示，则最大值为（ ）
A．9 B．10 C． D．
4．已知，（），若函数在区间内不存在对称轴，则的范围为（ ）
A． B．
C． D．
5．定义在R上的函数满足，当时，若对任意的，不等式恒成立，则实数t的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知是奇函数，当时，，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知a是方程的根，b是方程的根，函数是定义在R上的奇函数，且当时，，若对任意，不等式恒成立，则实数t的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知定义在上的函数满足，且，，都有，．若对，恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
9．设，函数，，若在上单调递增，且函数与的图象有三个交点，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数，若恰有两个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
11．已知函数，若方程的所有实根之和为4，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数在（0，+∞）上有3个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
13．定义：在区间上，若函数是减函数，且是增函数，则称在区间上是“弱减函数”，根据定义可得（ ）
A．在上是“弱减函数”
B．在上是“弱减函数”
C．若在上是“弱减函数”，则
D．若在上是“弱减函数”，则
14．定义：如果函数在上存在满足，则称函数是上的“双中值函数”，已知函数是区间上“双中值函数”，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
15．如图所示的曲线就像横放的葫芦的轴截面的边缘线，我们把这样的曲线叫葫芦曲线（也像湖面上高低起伏的小岛在水中的倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线），它每过相同的间隔振幅就变化一次，且过点，其对应的方程为（，其中为不超过x的最大整数，）．若该葫芦曲线上一点N的横坐标为，则点N的纵坐标为（ ）
A． B． C． D．
16．设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，使在上的值域为，则称为“倍缩函数”.若函数（其中）为“倍缩函数”，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
17．设函数f（x）的导函数为，将方程的实数根称为函数f（x）的“新驻点”.记函数，，的“新驻点”分别为a，b，c，则（ ）
A． B． C． D．
18．玩具制造商设计并投产一种全新的益智玩具”智慧立方”它的形状为正四面体，为了操作方便，正四面体棱长必须大于，通过大量的人体力学实验得知当"智慧立方系数"时尺寸最适合3-6岁的小朋友把玩，其中是正四面体的体积，S是正四面体的表面积.则棱长尺寸最合适范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
19．已知函数与关于对称，设为实数，且下列结论正确的是（ ）
A．函数的图象关于点对称
B．不等式的解集为
C．若，则
D．若，则
20．.函数对任意总有，当时，，，则下列命题中正确的是（ ）
A．是偶函数
B．是上的减函数
C．在上的最小值为
D．若，则实数的取值范围为
21．历史上第一个给出函数一般定义的是19世纪德国数学家狄利克雷(Dirichlet)，当时数学家们处理的大部分数学对象都没有完全的严格的定义，数学家们习惯借助于直觉和想象来描述数学对象，狄利克雷在1829年给出了著名函数：(其中为有理数集，为无理数集)，狄利克雷函数的出现表示数学家们对数学的理解发生了深刻的变化，数学的一些“人造”特征开始展现出来，这种思想也标志着数学从研究“算”转变到了研究“概念 性质 结构”.一般地，广义的狄利克雷函数可定义为：(其中，且)，以下对说法错误的是（ ）
A．定义域为
B．当时，的值域为；当时，的值域为
C．为偶函数
D．是一个具有最小正周期的周期函数
22．若图像上存在两点，关于原点对称，则点对称为函数的“友情点对”（点对与视为同一个“友情点对”）.若，且，，，则（ ）
A．有无数个“友情点对” B．恰有个“友情点对”
C． D．
23．高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如，.则下列说法正确的是（ ）
A．函数在区间（）上单调递增
B．若函数，则的值域为
C．若函数，则的值域为
D．，
24．定义在区间上的连续函数导函数为，若使得，则称为区间上的“中值点”.下列在区间上“中值点”多于一个的函数是（ ）
A． B．
C． D．
25．对于定义在D函数f(x)若满足:
①对任意的xD，f(x)+f(-x)=0;
②对任意的，存在D，使得=.
则称函数f(x)为“等均值函数”，则下列函数为“等均值函数”的为（ ）
A． B．
C． D．
26．给出下列命题，其中错误的选项有（ ）
A．非零向量，满足且与同向，则
B．已知且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
C．若单位向量的夹角为，则当取最小值时，
D．在中，若，则为等腰三角形
27．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，G为C1D1的中点，点P在线段B1C上运动，点Q在棱C1C上运动，M为空间中任意一点，则下列结论正确的有（ ）
A．直线BD1⊥平面A1C1D
B．异面直线AP与A1D所成角的取值范围是
C．PQ+QG的最小值为
D．当MA+MB＝4时，三棱锥A﹣MBC体积最大时其外接球的表面积为.
28．下列说法中正确的为（ ）
A．已知向量与的夹角是钝角，则k的取值范围是
B．若，则一定是等腰三角形
C．在中，若，则
D．非零向量，，满足，则与的夹角为30°
29．如图，在棱长为2的正方体中，为线段上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（ ）.
A．平面平面； B．；
C．的取值范围是； D．三棱锥的体积为定值.
30．传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现；如图是一个圆柱容球，为圆柱上下底面的圆心，为球心，EF为底面圆的一条直径，若球的半径，则（ ）
A．球与圆柱的表面积之比为
B．平面DEF截得球的截面面积最小值为
C．四面体CDEF的体积的取值范围为
D．若为球面和圆柱侧面的交线上一点，则的取值范围为
三、填空题
31．已知函数，若存在，使得在上单调，且在上的值域为，则m的取值范围为______．
32．设，是函数定义域的一个子集，若存在，使得在，上单调递增，在，上单调递减，则称为，上的单峰函数，为峰点．若为，上的单峰函数，则实数的取值范围为__________．
33．若函数在区间上，对，，，为一个三角形的三边长，则称函数为“三角形函数”.已知函数在区间上是“三角形函数”，则实数的取值范围为___________.
34．将函数的图象关于轴对称，得到的图象，当函数与在区间上同时递增或同时递减时，把区间叫做函数的“不动区间”．若区间为函数的“不动区间”，则实数的取值范围是_________．
35．已知函数，若存在互不相等的实数，，，使得，则（1）实数的取值范围为_________；（2）的取值范围是_________．
36．已知集合是满足下列性质的函数的全体，存在非零常数，对任意，有成立．
（1）给出下列两个函数：，，其中属于集合的函数是__________．
（2）若函数，则实数的取值集合为__________．
37．如图，边长为2的正三角形ABC的边AC落在直线l上，AC中点与定点O重合，顶点B与定点P重合.将正三角形ABC沿直线l顺时针滚动，即先以顶点C为旋转中心顺时针旋转，当顶点B落在l上，再以顶点B为旋转中心顺时针旋转，如此继续.当滚动到时，顶点B运动轨迹的长度为___________；在滚动过程中，的取值范围为___________.
38．定义：若，，，为球面上四点，，分别是，的中点，则把以为直径的球称为，的“伴随球”已知，，，是半径为的球面上四点，，则，的“伴随球”的直径取值范围为______；若，，，不共面，则四面体体积的最大值为______．
39．如图，已知正方形的边长为2，过中心的直线与两边，分别交于点，，若是的中点，则的取值范围是___________；若是平面上一点，且满足，则的最小值是___________.
40．如图，在边长为1的正方形中，E为的中点，P为以A为圆心，为半径的圆弧（在正方形内，包括边界点）上的任意一点，则的取值范围是___________；若向量，则的最大值为___________.
41．如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC CC1的中点， 是侧面BCC1B1内一点(含边界)，若A1P平面AEF，点P的轨迹长度为___________.直线A1P与平面BCC1B1所成角的正切值的取值范围是___________.
四、解答题
42．设O为坐标原点，定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”.
(1)设函数，求的“相伴向量”；
(2)记的“相伴函数”为，若函数，与直线有且仅有四个不同的交点，求实数k的取值范围；
(3)已知点满足，向量的“相伴函数”在处取得最大值.当点M运动时，求的取值范围.
43．对于函数，，如果存在实数，使得函数，那么我们称为函数，的“函数”.
(1)已知，，试判断能否为函数，的“函数”，若是，请求出，的值；若不是，说明理由；
(2)已知，，为函数，的“函数“，且，，解不等式；
(3)已知，，为函数，的“函数“（其中，，的定义域为，当且仅当时，取得最小值4.若对任意正实数，，且，不等式恒成立，求实数的最大值.
44．定义：如果函数在定义域内的给定区间上存在（），满足，则称函数为上的“平均值函数”，为它的平均值点．
(1)函数是否为上的“平均值函数”？如果是，请求出它的平均值点；如果不是，请说明理由．
(2)若函数是上的平均值函数，求实数的取值范围．
45．对于函数，若在其定义域内存在实数，t，使得成立，称是“t跃点”函数，并称是函数的“t跃点”．
(1)若函数，x∈R是“跃点”函数，求实数m的取值范围；
(2)若函数，x∈R，求证：“”是“对任意t∈R，为‘t跃点’函数”的充要条件；
(3)是否同时存在实数m和正整数n使得函数在上有2021个“跃点”？若存在，请求出所有符合条件的m和n的值；若不存在，请说明理由．
46．对于函数，若存在正常数，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“同比不减函数”.
(1)判断函数是否为“同比不减函数”？并说明理由；
(2)若函数是“同比不减函数”，求实数的取值范围；
(3)是否存在正常数，使得函数为“同比不减函数”？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.
47．已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数.
(1)记向量的相伴函数为，若当且时，求的值；
(2)已知，，为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点P，使得.若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.
(3)记向量的相伴函数为，若当时不等式恒成立，求实数k的取值范围.
48．已知函数对任意的实数x满足且，则称为M函数．
(1)判断是否为M函数，并说明理由；
(2)函数为M函数，且当时，，求在时的解析式；
(3)函数为M函数，且当时，，则当，关于x的方程（a为常数）有解，记该方程所有解的和为S，求S．
49．若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“函数”．
(1)判断定义在区间函数是否为“函数”，并说明理由；
(2)若函数在定义域上是“函数”，求的取值范围；
(3)已知函数在定义域上为“函数”．若对任意的实数，不等式都成立，求实数的最大值．
50．在棱长均为2的正三棱柱中，为的中点，过的截面与棱分别交于点.
(1)若为的中点，连接，求三棱锥的体积；
(2)若四棱锥的体积为，求直线与平面所成角的正弦值；
(3)设截面的面积为面积为面积为，当点在棱上变动时，求的取值范围湖北省武汉市2021-2022学年高一下学期期末压轴参考答案：
1．D
作出函数与的图像，得到关于对称，化简条件，利用对勾函数的性质可求解.
【解析】作函数与的图像如下：
方程有4个不同的根，，，，且，
可知关于对称，即，且，
则，即，则
即，则；
当得或，则；；
故，；
则函数，在上为减函数，在上为增函数；
故取得最小值为，而当时，函数值最大值为.
即函数取值范围是.
【点睛】本题主要考查了分段函数的运用，主要考查函数的单调性的运用，运用数形结合的思想方法是解题的关键，属于难题.
2．B
先判断函数的奇偶性，构造函数判断的单调性和奇偶性，分情况讨论，利用单调性即可求解.
【解析】函数的图象关于点成中心对称，故函数的图象关于点成中心对称，记是奇函数.
记所以是偶函数，
对于任意正数，都，即，所以在 单调递增，且，是偶函数,故在 单调递减，且
当 时，，
当 时，，
故的解集为.
故选：B
3．C
由题意可得，，，，设的夹角为，的夹角为，则=-,分在所对的优弧上和在所对的劣弧上两种情况计算即可得答案.
【解析】解：如图所示：连接，
因为中间阴影部分是正方形且边长为2，
所以可得，，，
所以，
在中由余弦定理可得，
所以，
设的夹角为，的夹角为，
= =-,
当在所对的优弧上时，，
所以，，
=,
所以=-＝＝ ,（其中）
所以最大值为；
当在所对的劣弧上时，，
所以，，
=,
所以=-＝＝ ,（其中）
所以最大值为；
综上所述：最大值为.
故选：C.
4．C
先通过三角恒等变换将化简成正弦型函数，再结合正弦函数性质求解即可．
【解析】函数化简得，
由，
可得函数的对称轴为，
由题意知，且，
即，，若使该不等式组有解，
则需满足，即，又，
故，即，所以，又，
所以或，所以．
5．D
由解析式得到函数的单调性和对称轴，结合条件可得，两边平方转为恒成立求解即可.
【解析】当时，单调递减，；当时，单调递减，故在上单调递减：由，得的对称轴方程为．若对任意的，不等式恒成立，所以，即，即对任意的恒成立，所以解得．
故选：D．
6．C
先求出函数的解析式，令，把原不等式转化为，利用单调性法解不等式即可得到答案.
【解析】因为是奇函数，当时，；
所以当时，；
当时，则，所以.
因为是奇函数，所以，所以.即当时，.
综上所述：.
令，则，所以不等式可化为：.
当时，不合题意舍去.
当时，对于.
因为在上递增，在上递增，所以在上递增.
又，
所以由可解得：，即，解得：.
故选：C
7．A
根据与的对称性可得，则且在R上单调递增，利用参变分离处理恒成立问题．
【解析】，
∵与关于直线对称，且关于对称并相交于点
∴
当时，，且是定义在R上的奇函数
则在R上单调递增
∵，则即当时恒成立
∴，解得
故选：A．
8．D
由抽象函数单调性和对称性的定义可得在上单调递增，在上单调递减且，由此可将恒成立的不等式化为或，分离变量后，根据函数最值可得的范围.
【解析】，，都有，在上单调递增；
，图象关于对称，在上单调递减；
，；
由知：或，
或，或，
，或，即的取值范围为.
9．B
根据在上单调递增，结合正弦函数的单调性可得，从而可求得在上单调递增这个条件的范围，再根据函数与的图象有三个交点，则在上函数与的图象有两个交点，即方程在上有两个不同的实数根，从而可得第二个条件下的的范围，取交集即可得出答案，注意说明时，函数与的图象只有一个交点.
【解析】当时，，
因为在上单调递增，
所以，解得，
若在上函数与的图象有两个交点，
即方程在上有两个不同的实数根，
即方程在上有两个不同的实数根，
所以，解得，
当时，令，
当时，，
当时，，，
结合图象可得时，函数与的图象只有一个交点，
综上所述，当时，函数与的图象有三个交点，满足题意，
故选：B.
10．B
函数，均有有两个零点，分类讨论每部分的零点个数，结合零点分布处理．
【解析】∵，则二次函数有两个零点
若恰有两个零点，则，得
此时无零点，则，解得
则
若无零点，则，得
此时有两个零点，则，得
则
若有且仅有一个零点，则得，
或，得或，经检验不合题意
则
此时有且仅有一个零点，则，解得且
则且
综上所述：
故选：B．
11．C
由题对取特殊值，利用数形结合，排除不合题意的选项即得.
【解析】令，
当时，方程为，即，
作出函数及的图象，
由图象可知方程的根为或，即或，
作出函数的图象，结合图象可得所有根的和为5，不合题意，故BD错误；
当时，方程为，即，
由图象可知方程的根，即，
结合函数的图象，可得方程有四个根，所有根的和为4，满足题意，故A错误.
故选：C.
12．D
解法一：根据代入排除法分析即可；
解法二：转化为|和的图像在上有3个交点，再画图分类讨论分析实数的取值范围即可
【解析】解法一：因为函数在（0，+∞）上有3个不同的零点，
所以，和的图像在（0，+∞）上有3个交点，代入，不合题意，排除A、C，又k取+∞显然不合题意，排除B；
解法二：因为函数在上有3个不同的零点，
所以|和的图像在上有3个交点，
画出函数g（x）的图像，如图.
的图像恒过点（0，2），且当时与x轴的交点为（，0），
当时，与g（x）的图像在上有3个不同的交点，如图.
当，即时，
与g（x）的图像在上仅有2个不同的交点，如图.
当，即时，与g（x）的图像在（0，）上有1个交点，在（，∞）上有2个交点，如图.
当，即时，与g（x）的图像在（0，）上有3个交点，在上有0个交点，如图，
当，即时，与g（x）的图像在（0，+∞）上有2个交点，如图.
当时，的左支与g（x）的图像无交点，
当直线与相切时，联立方程得
令，得舍去），
所以
当，即时，与g（x）的图像在上有3个交点.
综上，可得k的取值范围为
【点睛】本题主要考查了数形结合分类讨论解决函数零点与参数范围的问题，需要根据题意转化为两个函数图像的交点，再分情况讨论分析.属于难题
13．D
由题目中所给“弱减函数”的定义，直接判断单调性即可判断A选项；求出导数判断单调性即可判断B选项；将问题转化为导数恒成立问题进而求出参数范围即可判断C、D选项.
【解析】对于A，在上，是减函数，为常数函数，则在上不是“弱减函数”，A错误；
对于B，在上，，则为减函数；，则，则为减函数，B错误；
对于C，若在上是“弱减函数”， 显然，则在上单减，
则在上恒成立，则，解得；在上单增显然成立，故；C错误；
对于D，若在上是“弱减函数”， 则在上单减，则在上恒成立，
则，令，则，令，
则，则单减，，则，单减，则，则，解得；
在上单增，则在上恒成立，即，
令，则，则单增，
则，则，即，综上可得，D正确.
14．C
根据“双中值函数”的定义，得，进而得在上有两个不同的实数根，根据二次函数根的分布即可求解.
【解析】是上“双中值函数”，所以，故 在上有两个不同的实数根，令，对称轴为，则满足 解得：
故选：C
15．D
利用点M的坐标求出，再代入计算作答.
【解析】由曲线过知，，
即，则，解得，
又，则，若该葫芦曲线上一点N的横坐标为，即，
代入曲线方程得到，
则，即点N的纵坐标为．
故选：D
16．A
根据“倍缩函数”的定义，构造出方程组，利用方程组的解都大于，求出的取值范围．
【解析】由已知可得，
在上是增函数；即
，是方程的两个根，
设，则，此时方程为即方程有两个不等的实根，且两根都大于；
解得：，满足条件的范围是.
17．A
根据“新驻点”的定义，利用导数法结合零点存在定理求解.
【解析】解：∵，
∴，
解得.
∵，∴，
令，显然r（x）在（0，+∞）上单调递增，
∵，，
∴.
∵，∴sin.
令，
当时，，
∴s（x）在（0，π）上单调递增，又，.
∴，综上得，
18．D
求出正四面体的体积和表面积，计算出，然后解相应不等式可得．
【解析】如图正四面体中，是的中心，则是高，，
正四面体棱长为，则，
，，
，，
所以，
由，又，因此解得．
故选：D．
19．ABD
先由已知可得，然后对A，由可判断；对B，根据函数单调递增可求解；对CD，根据的性质画出函数图象，表示出直线的方程，根据，均在直线上方建立不等关系可得．
【解析】解：因为函数与关于对称，
所以，
对，
函数的图象关于点对称，故A正确；
对在上单调递增，且，
则化为，
则，解得，
故不等式的解集为，故B正确；
对，
则可得，且关于点对称，在上单调递增，可得函数图象如下：
，均在直线上方，其中直线的方程为，
则可得，，
所以，
，
，
即，故C错误，D正确．
故选：ABD．
20．CD
函数是奇函数，所以选项A错误；函数是上的增函数，所以选项B错误；在上的最小值为，所以选项C正确；实数的取值范围为，所以选项D正确.
【解析】解：取，，则，解得，
令，则，
即，函数是奇函数，所以选项A错误；
令，且，则，
因为当时，，所以，
则，
即，函数是上的增函数，所以选项B错误；
因为函数是上的增函数，所以函数在上的最小值为，
，，
，
故，在上的最小值为，所以选项C正确；
，即，
因为函数是上的增函数，
所以，所以，所以实数的取值范围为，所以选项D正确.
故选：CD.
21．BD
根据函数的定义域可判定A；由函数的奇偶性可判定B；由函数的值域可判定C；由函数的周期性可判定D．
【解析】解：对于A：因为（其中，，且，
其中，所以的定义域为，故A正确；
对于B，根据函数的对应法则，是有理数时，，当是无理数时，，的值域是，故B错误；
对于C：若，则，有，若，则，有，综合可得，
函数为偶函数，故C正确；
对于D：对于，满足与同时为有理数或无理数，，函数是周期函数，即任意非零有理数均是的周期，所以不具有最小正周期，故D错误．
故选：BD
22．AD
判断函数的奇偶性，结合新定义判断A，B，利用导数判断函数的单调性，并由条件结合指数函数性质和余弦函数性质确定，，的大小关系，由此比较，，的大小.
【解析】因为， ，所以是奇函数，
所以图像上存在无数对，关于原点对称，即有无数个“友情点对”；
又因为，令，
则，令，则，
当时，，所以是增函数，，即，
所以当时是增函数，，所以，
在上是增函数，因为是奇函数，所以在上是增函数，
因为，指数函数为增函数，所以，
因为，指数函数为增函数，所以，
由可得，故
所以.
故选：AD.
23．AC
求出函数式确定单调性判断A；举特例说明判断B，D；变形函数式，分析计算判断C作答.
【解析】对于A，，，有，则函数在上单调递增，A正确；
对于B，，则，B不正确；
对于C，，
当时，，，有，
当时，，，有，的值域为，C正确；
对于D，当时，，有，D不正确.
故选：AC
24．BD
假设为区间上的“中值点”，则，然后根据选项中的函数解析式，依次分析求解即可．
【解析】假设为区间上的“中值点”，
则，
对于A，，则，
又，则在上有1个解，
所以在区间上“中值点”有1个，
故选项A不正确；
对于B，，则，
又， 所以在区间上“中值点”有无数个，
故选项B正确；
对于C，，则，
又，因为为单调递增函数，
则在区间上有一解 ，
所以在区间上“中值点”有一个，
故选项C不符合题意；
对于D，，则，
又，则在上有两个解，即 ，
所以在区间上“中值点”有两个，
故选项D正确．
故选：BD．
25．ABC
对于四个选项中的函数，分别验证是否满足题干中的两个条件，特别是条件②，A选项，对任意的，存在满足要求；B选项，对任意的，则存在满足要求；C选项，对任意的，存在满足要求.
【解析】A选项，，若，则，则，同理，则，则，
对任意的，存在，使得，
对任意的，则存在，使得，
综上：满足条件①②，故是“等均值函数”，A正确；
B选项，，定义域为，，
对任意的，存在，使得，符合要求，故B正确；
C选项，，定义域为R，且，对任意的，存在，使得，C符合要求，故C正确；
D选项，，定义域为，不能使得对于任意的均有，故D选项不合题意，舍去
故选：ABC
26．ABC
A选项，向量具有大小和方向的量，无法比较大小，A错误；B选项，向量夹角为锐角，要满足夹角的余弦大于0且夹角余弦值不等于1，求出且，B错误；C选项，利用向量的数量积运算法则计算得到，得到时，取得最小值，C错误；D选项，从向量的几何意义得到表示的平分线方向上的向量，由三线合一得到是等腰三角形.
【解析】向量无法比较大小，故A错误；
，要想与的夹角为锐角，
则，且，
，且，解得：且，B错误；
，
当时，取得最小值，C错误；
在中，表示方向上的单位向量，表示方向上的单位向量，
则表示的平分线方向上的向量，
由得：的平分线方向上的向量与垂直，
由三线合一可知：，则为等腰三角形，D正确.
故选：ABC
27．ACD
对于A选项，利用正方体的性质及线面垂直的判定定理即可判断；
对于B选项，由题可得与所成角即为异面直线与所成角；
对于C选项，利用展开图即可判断；
对于D选项，利用椭圆的定义，多面体的外接球的性质即可判断.
【解析】对于A选项，连接，则，
由题可知，平面，且平面，则，
又，平面，平面，则，
同理可得，，直线平面，则选项A正确；
对于B选项，由题可知，，，
所以四边形为平行四边形，则，所以与所成角即为异面直线与所成角，又点在线段上运动，可知是等边三角形，所以直线与所成角的取值范围是，则B选项错误；
对于C选项，如图展开平面，使平面共面，过作，交与点，交与点，则此时最小，由题可知，，则，即的最小值为，则C选项正确；
对于D选项，，当、、三点共面时，点的轨迹是以、为焦点的椭圆，又因为，所以椭圆的长轴长为，短轴长为，故点的轨迹是以，为焦点的椭球表面，
设的中点为，要使三棱锥的体积最大，即到平面的距离最大，
所以当平面，当平面，且时，三棱锥的体积最大，
此时为等边三角形，设其中心为，三棱锥的外接球的球心为，的外心，连接，，，
则，，所以，
即三棱锥体积最大时其外接球的表面积.
故选：ACD.
【点睛】立体机何中的点的运动轨迹问题或线的运动轨迹问题，要结合题目的特征，利用平行或垂直关系或平面中常见的轨迹定义，找出平面中的轨迹，其轨迹通常是线段、圆弧、椭圆、抛物线等，进而求出相关长度，在空间中的轨迹，则以平面中的轨迹图形旋转得到相应的几何体.
28．CD
对A，举反例当方向相反时的情况即可；
对B，根据正弦定理化简推导判断即可；
对C，根据正弦定理判断即可；
对D，利用模长平方化简求解的夹角，再根据夹角的公式求解即可
【解析】对A，当时，方向相反，故A错误；
对B，若，由正弦定理，即，当，即时也成立，故B错误；
对C，根据大边对大角可得，若，则，由正弦定理，且可得，故C正确；
对D，设的夹角为，则，故，故，即，解得，因为，故，.
设与的夹角为，则，因为，故，故D正确；
故选：CD
29．ABD
利用平面与平面垂直判断A；直线与平面的位置关系判断B；当点为线段的一个四等分点且靠近点时，由余弦定理可得，从而判断C；求出三棱锥的体积判断D．
【解析】解：对于A，因为几何体是正方体，所以平面，平面，
所以平面平面，故A正确；
对于B，在正方体中，对角面，对角面，所以，故B正确；
对于C，当点为线段的一个四等分点且靠近点时，
计算可得，，，
由余弦定理可得，
此时，故C错误；
对于D，因为的面积是定值，
点到平面的距离是定值，
所以三棱锥的体积为定值，故D正确．
故选：ABD．
30．BCD
利用球的表面积公式及圆柱的表面积公式可判断A，由题可得到平面DEF的距离为，进而可得平面DEF截得球的截面面积最小值可判断B，由题可得四面体CDEF的体积等于可判断C，设在底面的射影为，设，，然后利用二次函数的性质可得的取值范围可判断D.
【解析】由球的半径为，可知圆柱的底面半径为，圆柱的高为，则球表面积
为，圆柱的表面积，
所以球与圆柱的表面积之比为，故A错误；
过作于，则由题可得，
设到平面DEF的距离为，平面DEF截得球的截面圆的半径为，
则，，
所以平面DEF截得球的截面面积最小值为，故B正确；
由题可知四面体CDEF的体积等于，点到平面的距离，
又，所以，故C正确；
由题可知点在过球心与圆柱的底面平行的截面圆上，设在底面的射影为，
则，
设，则，，
所以
，
所以，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】本题考查圆柱与球的表面积、体积以及折线段的最值问题，考查逻辑推理能力，是一道难题.
31．
由对勾函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增，则由题意可得或，然后分和两种情况结合函数的值域和二次函数的性质求解
【解析】由对勾函数的性质可知在上单调递减，在上单调递增．
因为在上单调，
所以或．
若，则，故．
当时，令函数，
易知在上单调递增，则，即，不符合题意．
若，则，故．
当时，令函数，
根据对称性可知，，
则．
故答案为：
【点睛】关键点点睛：此题考查分段函数的性质的应用，考查函数单调性的应用，考查二次函数性质的应用，解题的关键是由在上单调结合函数的单调性可得或，从而得或，然后分析求解，考查数转化思想和计算能力，属于较难题
32．
对 求导，对的正负进行讨论，即可根据单峰函数的定义求解.
【解析】由得：，
令， ，则
当时，当时， 故在 单调递减，在 单调递增.所以当时，取最小值，且最小值为 ， 最小值为0.
若 ,则 ，此时，在 单调递减，在 单调递增.不符合单峰函数的定义.
当，则 ，此时存在 ，使得 ，当时，， 则，此时 单调递增，当时，，则，此时 单调递减，故满足单峰函数的定义，其中 是单峰区间， 是峰点.
故答案为：
33．.
利用导数求出在区间上的值域，再根据三角形函数的定义列式可求出结果.
【解析】，
令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
因为，
所以，
所以在区间上的值域为，
因为函数在区间上是“三角形函数”，
所以，解得.
故答案为：.
34．
求出函数的图象关于轴对称对称的函数的解析式为，分、两种情况讨论，化简两个函数的解析式，对两个函数在区间上的单调性进行分类讨论，可的关于实数的不等式（组），综合可求得实数的取值范围.
【解析】函数的图象关于轴对称对称的函数的解析式为，
因为区间为函数的“不动区间”，
所以，函数与函数在上的单调性相同，
若，则在上单调递增，
在上单调递减，不合乎题意；
若，则，
若函数在上单调递增，则，可得，
此时函数在也单调递增，则，可得，则；
若函数在上单调递减，则，可得，
此时函数在也单调递减，则，可得，则不存在.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
35．
画出的图象，由题意可知直线与函数的图象有4个交点，从而可求出实数的取值范围，不妨设，则必有，，从而有，且，利用对勾函数的性质可求出的范围，进而可求出的取值范围
【解析】解：函数的图象如图：
，
即直线与函数图象有4个交点，故．
，不妨设，
则必有，，
，则，且，
，由对勾函数的性质可得函数在上单调递增，
，
．
故答案为：，
【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合应用，考查数学转化思想和数形结合的思想，解题的关键是画出函数图象，结合图象求解即可，属于较难题
36．
（1）根据集合的性质判断．
（2）根据集合的性质求解，由恒成立成立，只有，
【解析】（1）若，则存在非零点常数，使得，则，对恒成立，这是不可能的，；
若，则存在非零点常数，使得，则，对恒成立，，；
（2）函数，则存在非零点常数，使得，即，
时，，
时，由知，，，，因此要使成立，只有，
若，则，，
若，则，即，，，
综上实数的取值范围是．
故答案为：.
【点睛】本题考查新定义问题，此类问题的特点是解决问题只能以新定义规则为依据，由新定义规则把问题转化，转化为熟悉的问题进行解决．
37． ##
根据描述得到过程中，B运动轨迹为两段半径为2，圆心角为的圆弧，即可求B运动轨迹的长度，由向量数量积的几何意义，判断运动过程中在y轴上投影的最值，即可得的范围.
【解析】由题设，到过程中，B运动轨迹为两段半径为2，圆心角为的圆弧，
所以B运动轨迹的长度为，轨迹如下图示：
所以当在轴上时最小，当与对应圆弧的圆心连线垂直于轴时最大，
故的范围为.
故答案为：，.
38． 4
设为所在球面的球心，则由题可知E、F均是以O为球心，1为半径的球面上的点，据此即可求出EF范围；根据(d为点到平面距离，)，求出的最大值即可得体积最大值.
【解析】解：设为，，，所在球面的球心，．
，且，分别是，的中点，
，，且，
，
则、均是以为球心，为半径的球面上的点，
若以为直径作球，则，
即，的伴随球的直径取值范围是；
是中点，，
为点到平面距离，，
又，为点到距离，，
，
当且仅当，，三点共线，且时，等号成立．
故答案为：；．
【点睛】本题关键是根据已知条件确定E和F的轨迹，数形结合可得EF的范围；根据E是AB中点，则A与B到平面CDE的距离相等，据此将三棱锥A－BCD的体积转化为三棱锥A－CDE体积的2倍，再数形结合即可求得最值.对空间想象能力的要求很高，属于难题.
39．
根据向量的线性运算，将转化为，再结合，，即可求得答案；
设，由题意可得点在上，推得，再将转化为，即可求得答案.
【解析】因为直线过中心且与两边 分别交于点 ，
所以为 中点，所以，
所以，
因为是的中点，所以，，所以，
即的取值范围为；
令，由知点在上，
又因为为 中点，所以，从而，
，因为，
所以，即的最小值为.
40． ，； ．
建立坐标系写出坐标，由此能求出的取值范围，由向量，利用，表示并化简，即可求出最大值．
【解析】解：以为原点，以所在的边为轴，建立坐标系，
正方形的边长为1，
则，，，，，，
设，，，，，
，
，，
的取值范围是，，
再由向量，，，，
，，
，
，，，，的最大值为1，
的最大值为．
故答案为：，；．
41．
【解析】
（1）首先由条件构造面面平行，分别取棱的中点，得平面平面，从而确定点的轨迹，从而求的取值范围；（2）根据线面角的定义，根据（1）中点的轨迹，求直线A1P与平面BCC1B1所成角的正切值的取值范围.
【解析】（1）如下图所示，分别取棱的中点，连接，连接，
因为为所在棱的中点，所以，所以，
又平面平面，所以平面；
因为，所以四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，所以平面，
又，所以平面，
因为是侧面内一点，且平面，则必在线段上，
在直角中，，
同理，在直角中，求得，所以为等腰三角形，
当在中点时，，此时最短，位于处时最长，
，，
所以线段长度的取值范围是.
（2）平面，设直线A1P与平面BCC1B1所成角为，
,，由（1）可知点在线段上，的最小值是,的最大值是,
的最小值是，的最大值是,
直线A1P与平面BCC1B1所成角的正切值的取值范围是.
故答案为：；
【点睛】关键点睛：本题考查空间点的存在性问题，解题的关键是第一问，取棱的中点，得出点必在线段上，从而将问题转化为在中求长度的范围.
42．(1)
(2)
(3)
（1）依题意，将可化为进而根据题意得答案；
（2）去绝对值得函数的单调性及最值，利用交点个数求得k的范围
（3）由可求得时，f(x)取得最大值，其中，换元求得的范围，再利用二倍角的正切可求得的范围．
(1)解：
∴的“相伴向量”为.
(2)解：由题知：.
可求得在单调递增，单调递减，单调递增，单调递减且
∵图像与有且仅有四个不同的交点
所以，实数k的取值范围为
(3)解：
其中
∴当即时，取得最大值.
此时
令，则由知：，解之得
，
因为在上单调递增，
所以在上单调递减，
从而
43．(1)是，，；
(2),,；
(3)10.
（1）利用已知定义即可求解；
（2）先假设函数是“函数”，然后根据已知定义即可求解；
（3）先设的解析式，根据已知定义以及条件求出，的值，再把恒成立问题转化为最值问题，利用基本不等式的性质即可求解.
(1)若是、的“函数”，
所以，则，解得，；
(2)已知，则可化为，解得或，
所以或，故不等式的解集为,,；
(3)由题意，，，，，
所以，当且仅当，即时取等号，
结合题意：，解得，，
所以，则恒成立，
又，，，则恒成立，
只需即可，
由基本不等式得：，当且仅当时取等号，此时，
所以，则，故的最大值为10.
44．(1)为上的“平均值函数”，1是它的平均值点
(2)
（1）根据“平均值函数”的定义计算，看是否满足定义，即可判断，继而求得平均值点;
（2）根据定义计算，从而得到，整理并换元可得在上有解，构造函数结合函数零点的分布，求得答案.
(1)函数是上的“平均值函数”．
令，因为，
设是它的平均值点，则有，解得，，
故为上的“平均值函数”，1是它的平均值点．
(2)令，，
设是它的平均值点，则，即，
整理得．
令，则，则需方程在上有解，
令，，
，
①当在内有一个实根时，，即 ，
解得，或；
②当在内有两个不等的实根时，需满足，可得 ，无解．
综上，实数的取值范围是．
45．(1)
(2)见解析
(3)存在，或或.
（1）根据函数解析式计算，，，根据“跃点”函数的定义，利用辅助角公式和三角函数的性质求得实数的取值范围；
（2）先将“对任意t∈R，为‘t跃点’函数”等价转化为“对于任意实数，关于的方程都有解”，然后利用取特值证明“”的必要性，利用三角函数的诱导公式证明充分性；
（3）代入计算，化简得，根据正弦函数的周期性和图象，讨论可得答案.
(1)由已知得存在实数，使得，
∴，
∴实数m的取值范围是.
(2)由题意得“对任意t∈R，为‘t跃点’函数”等价于：
对是任意实数，关于的方程都有解，
则对于时有解，即,∴；
反之，当时，,等价于
，显然，是此方程的解，故此方程对于任意实数都有实数解.
综上所述，“”是“对任意t∈R，为‘t跃点’函数”的充要条件；
(3)由已知得，，
化简得，的最小正周期为；
根据函数在上的图象可知：
①当时，在有个“跃点”，故不可能有2021个“跃点”；
②当时，在有个“跃点”，此时；
③当或时，在上有个“跃点”，故；
综上：或或.
【点睛】关键点睛：本题考查函数的新定义，关键在于紧抓函数的新定义，综合运用函数的单调性、周期性、值域等性质，运用参变分离等方法得以解决.
46．(1)不是，理由见解析
(2)
(3)存在，且
（1）由不恒成立进行说明.
（2）由恒成立，分离常数，结合三角函数的最值来求得的取值范围.
（3）结合的图象以及图象变换的知识求得的取值范围.
(1)依题意，
函数不是“同比不减函数”，理由如下：
，不恒大于零，
所以不恒成立，
所以函数不是“同比不减函数”.
(2)函数是“同比不减函数”，恒成立，，
，由于，所以.所以的取值范围是.
(3)存在，理由如下：，
画出的图象如下图所示，
的图象是由的图象向左平移个单位所得，
由图可知，当时，对任意的，都有成立，
所以存在正常数，使得函数为“同比不减函数”，且.
47．(1)
(2)存在，点
(3)
（1）依题意可得，利用辅助角公式将函数化简，即可得到，再根据同角三角函数的基本关系求出，最后由利用两角差的正弦公式计算可得；
（2）依题意可得，即可求出的解析式，设，表示出，，则由平面向量数量积的坐标表示得到方程，即可得解；
（3）依题意当时恒成立，再对分三种情况讨论，参变分离结合对数函数的性质计算可得；
(1)解：向量的相伴函数为，
所以
∵，
∴.
∵，∴，∴.
所以.
(2)解：由为的相伴特征向量知：
所以.
设，∵，，∴，，
又∵，∴∴.
，∴
∵，∴，
∴.又∵，
∴当且仅当时，和同时等于，这时（*）式成立.
∴在图像上存在点，使得.
(3)解：向量的相伴函数为
当时，，
即，恒成立.
所以①当，即时，，所以，
即，由于，所以的最小值为，所以；
②当，，不等式化为成立.
③当，时，，所以，
即，由于，所以的最大值为，所以.
综上所述，k的取值范围是.
48．(1)判断见解析；(2)(3)
（1）由“M函数”的定义即可判断是不是M函数；
（2）由“M函数”的定义，结合函数的周期，即可得到所求函数的解析式；
（3）根据已知条件得函数在上的图象，结合图象对称性和周期性及值域即可求解.
(1)不是M函数；证明如下：
，
，所以不是M函数；
(2)因为函数对任意的实数x满足，所以函数的周期为，
，所以，
因为当时，，，所以在时的解析式
(3)由（2）知，在时的解析式为，
，，，，，
作出函数的图象，如图所示，
关于x的方程（a为常数）有解等价于函数
与的图象有交点，
由图可知，当时，方程（a为常数）有3个解，其方程所有解的和为，
当或时，方程（a为常数）有4个解，其方程所有解的和为，
当时，方程（a为常数）有6个解，其方程所有解的和为，
当时，方程（a为常数）有8个解，其方程所有解的和为，
综上所述，当，关于x的方程（a为常数）所有有解的和为S，则
【点睛】解决此题的关键，第一问利用已知条件给出M函数定义即可，第二问主要利用周期性求函数的解析式，注意变量范围即可；第三问利用函数的周期性求解出所在范围的解析式，再将方程的根转化为函数与函数的图象交点的个数，进而利用对称性即可求解.
49．(1)不是，理由见解析
(2)
(3)
（1）结合的值域进行判断.
（2）求得的值域，结合“函数”的定义，由，求得的取值范围，由此列不等式求得，即求得的关系式，结合二次函数的性质求得的取值范围.
（3）结合（2）的分析，利用求得，从而由不等式分离常数，结合基本不等式求得的最大值.
(1)，，所以，
对任意，，
所以定义在区间函数不是“函数”.
(2)函数在定义域上是“函数”，
在定义域上递增，，
对任意，，
都存在，使，
所以，，则，即，
所以
由于，所以，所以，
所以.
(3)函数的对称轴方程为，且，，
在定义域上为“函数”，且在上递增，
同理（2）的分析可得：，
所以，所以，
对任意的实数，不等式都成立，
即，对任意的实数恒成立.
，当且仅当时等号成立，
所以，
所以的最大值为.
50．(1)；(2)；(3)
（1）作于，求出，由求出体积即可；
（2）先求出，由求出进而得到为中点，作于，计算即可；
（3）延长交于点，则，设，求得，再由结合基本不等式求解即可.
(1)
连接，作于，易得平面，平面，则，又，
平面，则平面；又，，
则；
(2)
由在上，可得，到平面的距离不变为，则，
又，可得；作于，易得，又，平面，
则平面，，则，解得，又，
则为中点，则；作于，连接，易得，又，平面，
则平面，则为直线与平面所成角，又，，则；
(3)
延长交于点，易得平面，平面，又平面平面，则，
又为的中点，则，则，设，则，且，则，
即，整理得，又，则，
令，则在上单增，则
