高一（下）学考模拟卷（四）（解析版）
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学考模拟卷（四）
一、单选题
1．（2022·浙江·杭州市余杭高级中学高二学业考试）函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】的定义域为，且，为偶函数，图象关于轴对称，可排除；
，由幂函数性质知：在上单调递增，但增长速度越来越慢，可排除AC.
2．（2022·河南河南·高二期末（文））若，c为实数，则下列不等关系不一定成立的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A【详解】
A选项中，若，则不成立；
B选项中，，所以，成立；
由不等式的可乘方性知选项C正确；
由不等式的可加性知选项D正确．
3．（2019·浙江·高二学业考试）已知，，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】因为，所以，解得，所以，
，所以.
4．（2022·河南·济源市基础教育教学研究室高一期末）同时投掷两个质地均匀的骰子，两个骰子的点数至少有一个是偶数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】
所有基本事件为：（1,1）、（1,2）、（1,3）、（1,4）、（1,5）、（1,6）、（2,1）、（2,2）、（2,3）、（2,4）、（2,5）、（2,6）、（3,1）、（3,2）、（3,3）、（3,4）、（3,5）、（3,6）、（4,1）、（4,2）、（4,3）、（4,4）、（4,5）、（4,6）、（5,1）、（5,2）、（5,3）、（5,4）、（5,5）、（5,6）、（6,1）、（6,2）、（6,3）、（6,4）、（6,5）、（6,6），共36个，
其中两个骰子的点数至少有一个是偶数的有：（1,2）、（1,4）、（1,6）、（2,1）、（2,2）、（2,3）、（2,4）、（2,5）、（2,6）、（3,2）、（3,4）、（3,6）、（4,1）、（4,2）、（4,3）、（4,4）、（4,5）、（4,6）、（5,2）、（5,4）、（5,6）、（6,1）、（6,2）、（6,3）、（6,4）、（6,5）、（6,6），共27个，所以两个骰子的点数至少有一个是偶数的概率为.
5．（2022·天津红桥·高二学业考试）为得到函数的图象，只需将函数图象上的所有点（ ）
A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
【答案】B【解析】，
则为得到函数的图象，只需将函数图象上的所有点向右平移个单位长度.
6．（2022·浙江·慈溪市三山高级中学高二学业考试）计算：（ ）
A．10 B．1 C．2 D．
【答案】B【解析】.
7．（2022·山东省莱西市第一中学高一阶段练习）一批产品共6件，其中4件正品，2件次品，从中随机抽取2件，下列两个事件对立的是（ ）
A．“恰有2件次品”和“恰有1件次品” B．“恰有1件次品”和“至少1件次品”
C．“至多1件次品”和“恰有2件次品” D．“恰有1件正品”和“恰有1件次品”
【答案】C
【解析】4件正品，2件次品，从中随机抽取2件共有如下可能性结果：
“两件次品”，“一件正品一件次品”，“两件正品”.
根据互斥事件可知：A互斥但是不对立，不正确；
“至少1件次品”包含“两件次品”和“一件正品一件次品”，B不正确；
“至多1件次品”包含“一件正品一件次品”，“两件正品”，C正确；
“恰有1件正品”和“恰有1件次品”是同一事件，D不正确；
8．（2022·湖北·高二学业考试）已知正实数、满足，则的取值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】因为正实数、满足，
所以，
，当且仅当，即时，等号成立，
9．（2022·湖北·高二学业考试）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】 ，
；
10．（2022·天津红桥·高二学业考试）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】因为，
，
，
所以.
11．（2022·浙江·慈溪市三山高级中学高二学业考试）函数（e是自然对数的底数）的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A【解析】因为，所以函数为偶函数，故排除B、D项，
因为，当时，，即，故函数有无数个零点，令函数，则，当时，函数，故排除C项.
12．（2022·湖北·高二学业考试）下列函数的图象关于轴对称的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A【解析】对于A：定义域为，所以，
故为偶函数，函数图象关于轴对称，故A正确；
对于B：定义域为，且，
故为奇函数，函数图象关于原点对称，故B错误；
对于C：定义域为，定义域不关于原点对称，
故函数是非奇非偶函数，故C错误；
对于D：定义域为，定义域不关于原点对称，
故函数是非奇非偶函数，故D错误；
13．（2022·福建·高二学业考试）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】由题，，，故
14．（2022·北京市第五十七中学高二阶段练习）i是虚数单位，复数，则（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A【解析】因为i是虚数单位，复数，
所以，
所以.
15．（2018·浙江·高二学业考试）已知直线，和平面，，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．都不正确
【答案】B
【解析】根据题意，若，则一定成立，即必要性成立，若，则不一定成立，只有当垂直于平面内的两条相交直线时，该结论才成立，故充分性不成立，综上所述，
“”是“”必要而不充分条件.
二、多选题
16．（浙江省嘉兴市2021-2022学年高二下学期期末数学试题）在某次学科期末检测后，从全部考生中选取100名考生的成绩（百分制，均为整数）分成，，，，，六组后，得到频率分布直方图（如图），60分以下视为不及格，则下列说法正确的是（ ）
A．图中a的值为0.020 B．不及格的考生人数为15人
C．考生成绩的平均分（精确到0.1）约为70.5分 D．考生成绩的第60百分位数为75分
【答案】ACD
【解析】由，解得，故A正确；
不及格的人数为，故B错误；
，，故C正确；
设考生成绩的第60百分位数为x分，则，解得，故D正确.
17．（2022·广东·佛山市南海区桂华中学高一阶段练习）若复数z满足，则（ ）
A．
B．是纯虚数
C．复数z在复平面内对应的点在第三象限
D．若复数z在复平面内对应的点在角的终边上，则
【答案】AB
【解析】对A，，故A正确；
对B，为纯虚数，故B正确；
对C，在复平面内对应的点在第一象限，C错误；
对D，，故D错误；
18．（2022·浙江·慈溪市三山高级中学高二学业考试）在空间中， 设为两条不同的直线，为两个不同的平面（ ）
A．若， 则
B．若， 则
C．若， 则
D．若， 则
【答案】CD
【解析】对A，如图1，取正方体的上下底面分别为，取为m，为n，显然异面，A错误；
对B，如图2，取正方体的上底面为，侧面为，取为m，显然，B错误；
对C，如图3，过m作平面与平面交于n，因为，所以，又因为，所以，而，于是，C正确；
容易判断D正确.
三、填空题
19．（2022·浙江·太湖高级中学高二学业考试）计算：________.
【答案】4
【解析】，
20．（2020·天津市红桥区教师发展中心高二学业考试）在中，，则最短边的边长等于________．
【答案】##
【解析】在中，，则，因此，角B是最小角，边b是最短边，由正弦定理得：，又，即，
所以最短边的边长等于.
21．（2019·河南省实验中学高二学业考试）已知圆锥的母线长为2，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积为______．
【答案】
【解析】设底面半径为，由题意可知，解得：，
圆锥的高，
所以圆锥的体积.
22．（2020·天津南开·高二学业考试）已知，且与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是____.
【答案】λ>－5且λ≠－
【解析】因为与的夹角为锐角，则，且，
即＝2＋λ＋3>0，且，则λ>－5且λ≠－.
故答案为：λ>－5且λ≠－.
四、解答题
23．（2022·湖北·高二学业考试）已知平面向量，，记函数 ．
(1)若，求的值；
(2)求函数 的对称轴方程、单调递减区间和最小值．
【答案】(1)-1(2)对称轴为，单调递减区间为 ，最小值为-2+m
【解析】(1) ，
，
将 代入， ，m=-1；
(2)由于 ，对称轴为 ，
当 时，单调递减，
∴单调递减区间为 ，最小值为-2+m；
综上，m=-1，对称轴为 ，单调递减区间为 ，最小值为-2+m.
24．（2019·辽宁·辽师大附中高二学业考试）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，点E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.
（1）求证：PA∥平面BDE；（2）求证：PB⊥平面DEF.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】证明：（1）连结AC，设AC交BD于O，连结EO
∵底面ABCD是矩形，∴点O是AC的中点
又∵点E是PC的中点，∴PA∥EO
∵EO 平面BDE，PA 平面BDE
∴PA∥平面BDE.
（2）PD⊥底面ABCD，BC 底面ABCD
∴PD⊥BC∵底面ABCD是矩形，∴CD⊥BC
∵PD∩CD＝D，PD，CD 平面PDC
∴BC⊥平面PDC∵DE 平面PDC，∴BC⊥DE
∵PD＝DC，E是PC的中点，∴DE⊥PC
∵PC∩BC＝C，PC 平面PBC，BC 平面PBC
∴DE⊥平面PBC，PB 平面PBC
∴DE⊥PB又∵EF⊥PB，DE∩EF＝E，DE 平面DEF，EF 平面DEF
∴PB⊥平面DEF.
25．（2021·江西省南丰县第二中学高一学业考试）已知为的三内角，且其对边分别为，若.
（1）求；（2）若，，求的面积.
【答案】（1）；（2）.【解析】（1）∵，
∴由正弦定理可得：，
整理得，
即：，所以，
∵，∴，∵，∴.
（2）由，，由余弦定理得，
∴，即有，
∴，∴的面积为.
26．（2022·安徽师范大学附属中学高一学业考试）已知函数.
(1)求函数的定义域，并判断其奇偶性；
(2)若关于的方程有解，求实数的取值范围.
【答案】(1)函数的定义域为，函数为奇函数
(2)【解析】(1)
为奇函数.(2)由（1）可知：有解
有解
又，
且在上单调递减
有解设，则
有解当时，.
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学考模拟卷（四）
一、单选题
1．（2022·浙江·杭州市余杭高级中学高二学业考试）函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】的定义域为，且，为偶函数，图象关于轴对称，可排除；
，由幂函数性质知：在上单调递增，但增长速度越来越慢，可排除AC.
2．（2022·河南河南·高二期末（文））若，c为实数，则下列不等关系不一定成立的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A【详解】
A选项中，若，则不成立；
B选项中，，所以，成立；
由不等式的可乘方性知选项C正确；
由不等式的可加性知选项D正确．
3．（2019·浙江·高二学业考试）已知，，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】因为，所以，解得，所以，
，所以.
4．（2022·河南·济源市基础教育教学研究室高一期末）同时投掷两个质地均匀的骰子，两个骰子的点数至少有一个是偶数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】
所有基本事件为：（1,1）、（1,2）、（1,3）、（1,4）、（1,5）、（1,6）、（2,1）、（2,2）、（2,3）、（2,4）、（2,5）、（2,6）、（3,1）、（3,2）、（3,3）、（3,4）、（3,5）、（3,6）、（4,1）、（4,2）、（4,3）、（4,4）、（4,5）、（4,6）、（5,1）、（5,2）、（5,3）、（5,4）、（5,5）、（5,6）、（6,1）、（6,2）、（6,3）、（6,4）、（6,5）、（6,6），共36个，
其中两个骰子的点数至少有一个是偶数的有：（1,2）、（1,4）、（1,6）、（2,1）、（2,2）、（2,3）、（2,4）、（2,5）、（2,6）、（3,2）、（3,4）、（3,6）、（4,1）、（4,2）、（4,3）、（4,4）、（4,5）、（4,6）、（5,2）、（5,4）、（5,6）、（6,1）、（6,2）、（6,3）、（6,4）、（6,5）、（6,6），共27个，所以两个骰子的点数至少有一个是偶数的概率为.
5．（2022·天津红桥·高二学业考试）为得到函数的图象，只需将函数图象上的所有点（ ）
A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
【答案】B【解析】，
则为得到函数的图象，只需将函数图象上的所有点向右平移个单位长度.
6．（2022·浙江·慈溪市三山高级中学高二学业考试）计算：（ ）
A．10 B．1 C．2 D．
【答案】B【解析】.
7．（2022·山东省莱西市第一中学高一阶段练习）一批产品共6件，其中4件正品，2件次品，从中随机抽取2件，下列两个事件对立的是（ ）
A．“恰有2件次品”和“恰有1件次品” B．“恰有1件次品”和“至少1件次品”
C．“至多1件次品”和“恰有2件次品” D．“恰有1件正品”和“恰有1件次品”
【答案】C
【解析】4件正品，2件次品，从中随机抽取2件共有如下可能性结果：
“两件次品”，“一件正品一件次品”，“两件正品”.
根据互斥事件可知：A互斥但是不对立，不正确；
“至少1件次品”包含“两件次品”和“一件正品一件次品”，B不正确；
“至多1件次品”包含“一件正品一件次品”，“两件正品”，C正确；
“恰有1件正品”和“恰有1件次品”是同一事件，D不正确；
8．（2022·湖北·高二学业考试）已知正实数、满足，则的取值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】因为正实数、满足，
所以，
，当且仅当，即时，等号成立，
9．（2022·湖北·高二学业考试）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】 ，
；
10．（2022·天津红桥·高二学业考试）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】因为，
，
，
所以.
11．（2022·浙江·慈溪市三山高级中学高二学业考试）函数（e是自然对数的底数）的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A【解析】因为，所以函数为偶函数，故排除B、D项，
因为，当时，，即，故函数有无数个零点，令函数，则，当时，函数，故排除C项.
12．（2022·湖北·高二学业考试）下列函数的图象关于轴对称的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A【解析】对于A：定义域为，所以，
故为偶函数，函数图象关于轴对称，故A正确；
对于B：定义域为，且，
故为奇函数，函数图象关于原点对称，故B错误；
对于C：定义域为，定义域不关于原点对称，
故函数是非奇非偶函数，故C错误；
对于D：定义域为，定义域不关于原点对称，
故函数是非奇非偶函数，故D错误；
13．（2022·福建·高二学业考试）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】由题，，，故
14．（2022·北京市第五十七中学高二阶段练习）i是虚数单位，复数，则（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A【解析】因为i是虚数单位，复数，
所以，
所以.
15．（2018·浙江·高二学业考试）已知直线，和平面，，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．都不正确
【答案】B
【解析】根据题意，若，则一定成立，即必要性成立，若，则不一定成立，只有当垂直于平面内的两条相交直线时，该结论才成立，故充分性不成立，综上所述，
“”是“”必要而不充分条件.
二、多选题
16．（浙江省嘉兴市2021-2022学年高二下学期期末数学试题）在某次学科期末检测后，从全部考生中选取100名考生的成绩（百分制，均为整数）分成，，，，，六组后，得到频率分布直方图（如图），60分以下视为不及格，则下列说法正确的是（ ）
A．图中a的值为0.020 B．不及格的考生人数为15人
C．考生成绩的平均分（精确到0.1）约为70.5分 D．考生成绩的第60百分位数为75分
【答案】ACD
【解析】由，解得，故A正确；
不及格的人数为，故B错误；
，，故C正确；
设考生成绩的第60百分位数为x分，则，解得，故D正确.
17．（2022·广东·佛山市南海区桂华中学高一阶段练习）若复数z满足，则（ ）
A．
B．是纯虚数
C．复数z在复平面内对应的点在第三象限
D．若复数z在复平面内对应的点在角的终边上，则
【答案】AB
【解析】对A，，故A正确；
对B，为纯虚数，故B正确；
对C，在复平面内对应的点在第一象限，C错误；
对D，，故D错误；
18．（2022·浙江·慈溪市三山高级中学高二学业考试）在空间中， 设为两条不同的直线，为两个不同的平面（ ）
A．若， 则
B．若， 则
C．若， 则
D．若， 则
【答案】CD
【解析】对A，如图1，取正方体的上下底面分别为，取为m，为n，显然异面，A错误；
对B，如图2，取正方体的上底面为，侧面为，取为m，显然，B错误；
对C，如图3，过m作平面与平面交于n，因为，所以，又因为，所以，而，于是，C正确；
容易判断D正确.
三、填空题
19．（2022·浙江·太湖高级中学高二学业考试）计算：________.
【答案】4
【解析】，
20．（2020·天津市红桥区教师发展中心高二学业考试）在中，，则最短边的边长等于________．
【答案】##
【解析】在中，，则，因此，角B是最小角，边b是最短边，由正弦定理得：，又，即，
所以最短边的边长等于.
21．（2019·河南省实验中学高二学业考试）已知圆锥的母线长为2，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积为______．
【答案】
【解析】设底面半径为，由题意可知，解得：，
圆锥的高，
所以圆锥的体积.
22．（2020·天津南开·高二学业考试）已知，且与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是____.
【答案】λ>－5且λ≠－
【解析】因为与的夹角为锐角，则，且，
即＝2＋λ＋3>0，且，则λ>－5且λ≠－.
故答案为：λ>－5且λ≠－.
四、解答题
23．（2022·湖北·高二学业考试）已知平面向量，，记函数 ．
(1)若，求的值；
(2)求函数 的对称轴方程、单调递减区间和最小值．
【答案】(1)-1(2)对称轴为，单调递减区间为 ，最小值为-2+m
【解析】(1) ，
，
将 代入， ，m=-1；
(2)由于 ，对称轴为 ，
当 时，单调递减，
∴单调递减区间为 ，最小值为-2+m；
综上，m=-1，对称轴为 ，单调递减区间为 ，最小值为-2+m.
24．（2019·辽宁·辽师大附中高二学业考试）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，点E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.
（1）求证：PA∥平面BDE；（2）求证：PB⊥平面DEF.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】证明：（1）连结AC，设AC交BD于O，连结EO
∵底面ABCD是矩形，∴点O是AC的中点
又∵点E是PC的中点，∴PA∥EO
∵EO 平面BDE，PA 平面BDE
∴PA∥平面BDE.
（2）PD⊥底面ABCD，BC 底面ABCD
∴PD⊥BC∵底面ABCD是矩形，∴CD⊥BC
∵PD∩CD＝D，PD，CD 平面PDC
∴BC⊥平面PDC∵DE 平面PDC，∴BC⊥DE
∵PD＝DC，E是PC的中点，∴DE⊥PC
∵PC∩BC＝C，PC 平面PBC，BC 平面PBC
∴DE⊥平面PBC，PB 平面PBC
∴DE⊥PB又∵EF⊥PB，DE∩EF＝E，DE 平面DEF，EF 平面DEF
∴PB⊥平面DEF.
25．（2021·江西省南丰县第二中学高一学业考试）已知为的三内角，且其对边分别为，若.
（1）求；（2）若，，求的面积.
【答案】（1）；（2）.【解析】（1）∵，
∴由正弦定理可得：，
整理得，
即：，所以，
∵，∴，∵，∴.
（2）由，，由余弦定理得，
∴，即有，
∴，∴的面积为.
26．（2022·安徽师范大学附属中学高一学业考试）已知函数.
(1)求函数的定义域，并判断其奇偶性；
(2)若关于的方程有解，求实数的取值范围.
【答案】(1)函数的定义域为，函数为奇函数
(2)【解析】(1)
为奇函数.(2)由（1）可知：有解
有解
又，
且在上单调递减
有解设，则
有解当时，.
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