12.1　复数的概念(共31张PPT)

(共31张PPT)
第12章　复　数
12.1　复数的概念
01
预习案　自主学习
02
探究案　讲练互动
03
自测案　当堂达标
04
应用案　巩固提升
学习指导 核心素养
1.了解数系的扩充过程，理解复数的概念．
2.理解复数的分类．
3.掌握复数相等的充要条件及其应用． 1.数学抽象：复数的有关概念．
2.数学运算：复数相等．
1．复数的有关概念
(1)虚数单位：引入一个新数i，叫作虚数单位；
其中：i2＝_____；实数可以与i进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立．
－1
(2)复数
①定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫作复数．
②表示方法：复数通常用字母z表示，即____________________，其中a叫作复数z的______，b叫作复数z的______．
(3)复数集
①定义：__________所组成的集合叫作复数集．
②表示：通常用大写字母C表示．
z＝a＋bi(a，b∈R)
实部
虚部
全体复数
1．复数由哪些数集组成？
提示：由实数集和虚数集构成．
2．复数m＋ni的实部是m，虚部是ni，对吗？
提示：不对．由复数实部和虚部的概念可知，复数m＋ni，只有m，n∈R时，m才是m＋ni的实部，此时复数m＋ni的虚部是实数n，而不是ni.
实数
虚数
a＝0
a≠0
3．复数相等的充要条件
设a，b，c，d都是实数，则a＋bi＝c＋di ____________，a＋bi＝0 _________．
a＝c且b＝d
a＝b＝0
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．(　　)
(2)复数z1＝3i，z2＝2i，则z1＞z2.(　　)
(3)复数z＝bi是纯虚数．(　　)
(4)实数集与复数集的交集是实数集．(　　)
×
×
×
√
2．若z＝a＋(a2－1)i(a∈R，i为虚数单位)为实数，则a的值为(　　)
A．0 B．1
C．－1　 D．1或－1
√
√
探究点1　复数的概念
　　　下列命题：
①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；
②若a，b∈R，且a>b，则a＋i>b＋i；
③若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±2；
④实数集是复数集的真子集．
其中正确的是(　　)
A．①　　　　　　B．②　　　　　　C．③　　　　　　D．④
√
【解析】　对于复数a＋bi(a，b∈R)，当a＝0且b≠0时，为纯虚数．
对于①，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，即①错误；
两个虚数不能比较大小，则②错误；
对于③，若x＝－2，则x2－4＝0，x2＋3x＋2＝0，
此时(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i＝0不是纯虚数，则③错误；
显然，④正确．故选D．
判断与复数有关的命题是否正确的方法
(1)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这种类型的题时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．
(2)化代数形式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为a＋bi的形式，更要注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实部、虚部．
[提醒]　解答复数概念题时，一定要紧扣复数的定义，牢记i的性质．　
　　　　　　对于复数a＋bi(a，b∈R)，下列说法正确的是(　　)
A．若a＝0，则a＋bi为纯虚数
B．若a＋(b－1)i＝3－2i，则a＝3，b＝－2
C．若b＝0，则a＋bi为实数
D．i的平方等于1
解析：对于A，当a＝0时，a＋bi也可能为实数；
对于B，若a＋(b－1)i＝3－2i，则a＝3，b＝－1；
对于D，i的平方为－1.故选C．
√
解决复数分类问题的方法与步骤
(1)化标准式：解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．
(2)定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可．
(3)下结论：设所给复数为z＝a＋bi(a，b∈R)，
①z为实数 b＝0；
②z为虚数 b≠0；
③z为纯虚数 a＝0且b≠0.　
1．若复数a2－a－2＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则(　　)
A．a＝－1　 B．a≠－1且a≠2
C．a≠－1 D．a≠2
解析：复数a2－a－2＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则有a2－a－2≠0或|a－1|－1＝0，解得a≠－1.故选C．
√
复数相等的充要条件
复数相等的充要条件是“化虚为实”的主要依据，多用来求解参数．解决复数相等问题的步骤是分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程(组)求解．
[注意]　在两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a，b，c，d∈R,即当a，b，c，d∈R时，a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d.若忽略前提条件，则结论不能成立．　
1．若复数z＝ai2－bi(a，b∈R)是纯虚数，则一定有(　　)
A．b＝0　 B．a＝0且b≠0
C．a＝0或b＝0 D．ab≠0
解析：z＝ai2－bi＝－a－bi，由纯虚数的定义可得a＝0且b≠0.
√
2．若复数z＝m2－1＋(m2－m－2)i为实数，则实数m的值为(　　)
A．－1 B．2
C．1 D．－1或2
解析：因为复数z＝m2－1＋(m2－m－2)i为实数，所以m2－m－2＝0，解得m＝－1或m＝2.
√
本部分内容讲解结束