北师大版（2019）必修第二册第六章立体几何初步专题课：平面与平面垂直的证明技法 课件（共36张PPT）

(共36张PPT)
第六章立体几何初步
专题课：平面与平面垂直的证明技法
北师大（2019）必修2
琪
胡
目
录
1.定义法证明
2.判定定理证明
3.面面平行的性质证明
面面垂直证法
4.空间向量法（暂不讲）
一、定义法证明
证明两个平面垂直时，若能作出二面角的平面角是直二面角，则可用定义法证明。在解题时，往往需要“作二面角”、“证明二面角的平面角为 ”、“说明二面角为直二面角”这三步。

例1.如图1，已知P四边形PABC为空间四边形， D△ABC是边长为 的正三角形， D，E分别是PA，AC 的中点， 证明平面 平面ABC。

分析
分析：要证明面面垂直，可作出二面角的平面角，用直二面角证明面面垂直。先判断直线AC垂直平面BDE，然后求出二面角 的平面角。
证明：因为D，E分别是PA，AC的中点，所以 且 由 可得B又因为 是边长为 的正三角形，且E是AC的中点，所以 且 因为 所以直线

所以 为二面角 的平面角。

在 中，由 得 所以 即二面角P-AC-B的平面角为直角，则平面 平面ABC。

点评
求二面角大小的关键是先找出或作出平面角，再把平面角放在三角形中，最后利用解三角形得到平面角的大小或三角函数值，其步骤为：作角→证明→计算.
要在适当位置作出二面角的平面角，就要注意观察二面角两个面的特点，如是否为等腰三角形等.
二、面面垂直判定定理证明

证明面面垂直时，往往需要从线面垂直入手，在一个平面内能找到一条垂直于另一个平面的垂线，就可用判定定理法。它说明了线面垂直与面面垂直的密切关系，用符号表示为： 即“线面垂直”推出“面面垂直”。
例2 如图2，过S引三条长度相等但不共面的线段SA，SB，SC，且 证明平面ABC上平面BSC。
分析：本题可用线面垂直的方法来证明面面垂直：即在一个面内找一条线与另一个面垂直
证明：取BC的中点D，连接AD，SD。由题意知 为等边三角形，所以 易证

因为 是等腰直角三角形，所以 SD，可得
在 中，由勾股定理的逆定理知 SD.由 可知 平面BSC.

又AD 平面ABC，所以平面 平面BSC。

例3.空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么有(　　)
A.平面ABC⊥平面ADC
B.平面ABC⊥平面ADB
C.平面ABC⊥平面DBC
D.平面ADC⊥平面DBC
【解析】　∵AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，
∴AD⊥平面BCD.
又∵AD 平面ADC，∴平面ADC⊥平面DBC.
例4. △ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点.求证：(1)DE＝DA；
(2)平面BDM⊥平面ECA.
分析
(1)解答本题，只要证明三角形全等.(2)注意M为EA的中点，可取CA的中点N，证明平面ECA的垂线在平面BDM内.
　(1)如图所示，取EC的中点F，连接DF.
∵EC⊥平面ABC，
∴EC⊥BC，
又由已知，易得DF∥BC，
∴DF⊥EC.
在Rt△EFD和Rt△DBA中，EF＝EC＝BD，
且由已知，易得FD＝BC＝AB，
∴Rt△DFE≌Rt△ABD，故ED＝DA.
(2)取CA的中点N，连接MN，BN，
则MN∥EC，又BD∥CE，且MN=EC，又BD=CE
∴MN∥BD，∴N点在平面BDM内，
∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BN，
又CA⊥BN，CA∩EC＝C，
∴BN⊥平面ECA，又BN在平面MBD内，
∴平面BDM⊥平面ECA.
例5.四棱锥P ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上.求证：平面AEC⊥平面PDB.
【证明】　∵AC⊥BD，AC⊥PD，PD，BD为平面PDB内两条相交直线，
∴AC⊥平面PDB.
又∵AC 平面AEC，
∴平面AEC⊥平面PDB.
三、面面平行性质法
两个平行平面中的一个与第三个平面垂直，另一个也垂直此平面
例6 在空间中，下列说法正确的是( )
A.平行于同一个平面的两条直线互相平行

B.垂直于同一条直线的两条直线互相平行

C.两个平面与第三个平面垂直，则这两个平面互相平行

D.两个平行平面中的一个平面与第三个平面垂直，则另一个平面也与第三个平面垂直
分析：本题主要考查空间直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系。

解：对于A，平行于同一个平面的两条直线可能的位置关系有相交、异面、平行，因此不一定是互相平行。

对于B，垂直于同一条直线的两条直线的位置关系有平行、相交、异面，因此不一定是互相平行。

对于C，如图3所示，平面ABC与平面ABE都垂直平面BCE，但平面ABC与平面ABE相交 。D是正确的。
说明
这种方法用的比较少，在理论中行得通，在实践中，针对性的题比较少。
四、向量法
已知两个平面α，β，两个平面的法向量分别为 则

=0
环节五
学以致用
1
2
3
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