课时3.1.1 函数的概念
一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．函数的定义域是（ ）
A．{x|x＞0} B．{x|x≥0} C．{x|x≠0} D．R
【答案】A
【解析】要使f(x)有意义，则满足，得到x>0.
故选A.
2．下列函数中，对于定义域内的任意x，恒成立的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】A：，成立．
B：，不成立．
C：，，不成立．
D：，，不成立．
故选：A
3．下列函数与函数y＝x是同一函数的是（ ）
A．y＝|x| B．y＝ C．y＝ D．y＝
【答案】B
【解析】对于A，，对应关系不同，与函数y＝x不是同一函数；
对于B，，与函数y＝x的定义域和对应关系都相同，所以它们是同一函数；
对于C，，对应关系不同，与函数y＝x不是同一函数；
对于D，，与函数y＝x的定义域不同，所以与函数y＝x不是同一函数.
故选：B
4．函数（）的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】，由于，∴，，，
于是，故函数的值域为.
故选：A.
5．集合A={x|0≤x≤4}，B={y|0≤y≤2}，下列不能表示从A到B的函数的是（ ）
A． B．f：x→y=2﹣x C． D．
【答案】C
【解析】对于C选项的对应法则是f：x→y=x，可得f（4）= B，不满足映射的定义，故C的对应法则不能构成映射．
故C的对应f中不能构成A到B的映射．其他选项均符合映射的定义.
故选C．
6．变量x与变量y，w，z的对应关系如下表所示：
x 1 2 3 1 5 6
y –1 –2 –3 –4 –1 –6
w 2 0 1 2 4 8
z 0 0 0 0 0 0
下列说法正确的是
A．y是x的函数 B．w不是x的函数
C．z是x的函数 D．z不是x的函数
【答案】C
【解析】观察表格可以看出，当x=1时，y=–1，–4，则y不是x的函数；根据函数的定义，一个x只能对应一个y,反之一个y可以跟多个x对应，很明显w是x的函数，z是x的函数．
故选C．
7．函数的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】要使函数有意义，则且，解得且，
故函数的定义域为，
故选：B．
8．已知三次函数，且，，，则（ ）
A．2023 B．2027 C．2031 D．2035
【答案】D
【解析】设，则，所以，所以，所以.
故选：D.
二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9．下列的选项中正确的是（ ）
A．函数就是定义域到值域的对应关系
B．若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只有一个元素
C．因f（x）=5（x∈R），这个函数值不随x的变化范围而变化，所以f（0）=5也成立
D．定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定了
【答案】BCD
【解析】根据函数的定义:
选项A：函数是定义域到值域的一对一或多对一的对应关系,故A错误；
选项B:若函数的定义域只含有一个元素,按照函数的定义，有且只有一个元素与之对应，即值域也只含有一个元素,故B正确;
选项C:因为f(x)=5值域中只有5一个元素，所以f(0)=5也成立,故C 正确;
选项D:定义域和对应关系确定后，根据函数的定义，与之对应元素也就确定了，即函数值域也就确定了,故D正确.
故选：BCD
10．以下各组函数不是同一个函数的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】ABD
【解析】对于A.因为，，它们的对应关系不相同，所以它们不是同一个函数；
对于B.因为函数的定义域为，的定义域为，它们的定义域不相同，所以它们不是同一个函数；
对于C.当时，为奇数，则，，它们的定义域及对应关系都相同，所以它们是同一个函数；
对于D.因为函数的定义域为，的定义域为，它们的定义域不相同，所以它们不是同一个函数.
故选：ABD.
11．设函数的定义域为D，若对于任意，存在使（C为常数）成立，则称函数在D上的“半差值”为C，下列四个函数中，满足所在定义域上“半差值”为1的函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】 时，, 即对任意定义域中的，存在，使得
由于A、C值域为R故满足;
对于B，当时，函数值为0，此时不存在自变量，使得函数值为-2，故B不满足;
对于D，当时，函数值为0，此时不存在自变量，使得函数值为-2，所以D不满足.
故选：AC.
12．函数概念最早是在17世纪由德国数学家莱布尼茨提出的，后又经历了贝努利、欧拉等人的改译．1821年法国数学家柯西给出了这样的定义：在某些变数存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着确定时，则称最初的变数叫自变量，其他的变数叫做函数．德国数学家康托尔创立的集合论使得函数的概念更严谨．后人在此基础上构建了高中教材中的函数定义：“一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数”，则下列对应法则f满足函数定义的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】对于A.令，符合函数定义；
对于B,令，设，一个自变量对应两个函数值，不符合函数定义；
对于C,设当则x可以取包括等无数多的值，不符合函数定义；
对于D.令，符合函数定义．
故选：AD
三、填空题：本题共4小题．
13．若[a,3a－1]为一确定区间，则a的取值范围是________．
【答案】
【解析】由题意3a－1>a，得a>,故填
14．概念：一般地，设A，B是非空的____，如果对于集合A中的____，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有____确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数.
【答案】实数集 任意一个数x 唯一
【解析】一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数.
故答案为：实数集；任意一个数；唯一.
15．已知具有性质：的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①；②；③，其中满足“倒负”变换的函数是______.
【答案】①③
【解析】对于①，，该函数的定义域为，
对任意的，，满足条件；
对于②，，该函数的定义域为，
对任意的，，不满足条件；
对于③，因为，当时，，则，
当时，，，
当时，.
所以，对任意的，.
综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.
故答案为：①③.
16．若函数的定义域和值域均为，则的值为____.
【答案】
【解析】解：由函数，可得对称轴为，
故函数在上是增函数.
函数的定义域和值域均为，
，即.
解得，或.，.
.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知函数；
（1）求，的值．
（2）求证：是定值．
（3）求的值．
【答案】（1）1；1；（2）证明见解析；（3）2018.
【解析】解：(1)因为，
所以
(2)证明：.
(3)由(2)知，所以，
所以＝2018.
18．已知函数f(x)=．
（1）求函数f(x)的定义域；
（2）求f(－3)，f()的值；
（3）当a>0时，求f(a)，f(a－1)的值．
【答案】（1）；（2）；；
（3）；
【解析】（1）要使函数有意义,须
且，
所以函数的定义域为
（2）,所以
（3）,
19． 求下列函数的定义域
（1） （2）
【答案】（1）；（2）。
【解析】（1）∵可得
∴定义域为；
（2）∵
得且即，
∴定义域为.
20．已知函数的定义域为集合A，B＝{x|x
(1)求集合A；
(2)若A B，求a的取值范围；
(3)若全集U＝{x|x≤4}，a＝－1，求 U A及A∩( U B)．
【答案】（1）A＝{x|－2【解析】(1)使有意义的实数x的集合是{x|x≤3}，使有意义的实数x的集合是{x|x>－2}．
所以，这个函数的定义域是{x|x≤3}∩{x|x>－2}＝{x|－2即A＝{x|－2(2)因为A＝{x|－23.
即a的取值范围为(3，＋∞)．
(3)因为U＝{x|x≤4}，A＝{x|－2所以 U A＝(－∞，－2]∪(3,4]．
因为a＝－1，所以B＝{x|x<－1}，
所以 U B＝[－1,4]，
所以A∩( U B)＝[－1,3]．
21．求下列函数的定义域.
（1）；
（2）.
【答案】（1）且；（2）且.
【解析】（1）由题意，函数有意义，则满足，即，
解得且，所以函数的定义域为且.
（2）由题意，函数有意义，则满足，即，
所以函数的定义域为且.
22．已知f(x)=(x∈R，x≠-2)，g(x)=x2+1(x∈R).
(1)求f(2)，g(2)的值；
(2)求f(g(3))的值；
(3)作出f(x)，g(x)的图象，并求函数的值域.
【答案】(1)，5；(2)；(3)图见解析，f(x)的值域为(-∞，0)∪(0，+∞)，g(x)的值域为[1，+∞).
【解析】(1)f(2)==，g(2)=22+1=5；
(2)g(3)=32+1=10，f(g(3))=f(10)==；
(3)函数f(x)的图象如图：
函数g(x)的图象如图：
观察图象得f(x)的值域为(-∞，0)∪(0，+∞)，g(x)的值域为[1，+∞).课时3.1.1 函数的概念
一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．函数的定义域是（ ）
A．{x|x＞0} B．{x|x≥0} C．{x|x≠0} D．R
2．下列函数中，对于定义域内的任意x，恒成立的为（ ）
A． B． C． D．
3．下列函数与函数y＝x是同一函数的是（ ）
A．y＝|x| B．y＝ C．y＝ D．y＝
4．函数（）的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．集合A={x|0≤x≤4}，B={y|0≤y≤2}，下列不能表示从A到B的函数的是（ ）
A． B．f：x→y=2﹣x C． D．
6．变量x与变量y，w，z的对应关系如下表所示：
x 1 2 3 1 5 6
y –1 –2 –3 –4 –1 –6
w 2 0 1 2 4 8
z 0 0 0 0 0 0
下列说法正确的是
A．y是x的函数 B．w不是x的函数
C．z是x的函数 D．z不是x的函数
7．函数的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知三次函数，且，，，则（ ）
A．2023 B．2027 C．2031 D．2035
二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9．下列的选项中正确的是（ ）
A．函数就是定义域到值域的对应关系
B．若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只有一个元素
C．因f（x）=5（x∈R），这个函数值不随x的变化范围而变化，所以f（0）=5也成立
D．定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定了
10．以下各组函数不是同一个函数的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
11．设函数的定义域为D，若对于任意，存在使（C为常数）成立，则称函数在D上的“半差值”为C，下列四个函数中，满足所在定义域上“半差值”为1的函数是（ ）
A． B． C． D．
12．函数概念最早是在17世纪由德国数学家莱布尼茨提出的，后又经历了贝努利、欧拉等人的改译．1821年法国数学家柯西给出了这样的定义：在某些变数存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着确定时，则称最初的变数叫自变量，其他的变数叫做函数．德国数学家康托尔创立的集合论使得函数的概念更严谨．后人在此基础上构建了高中教材中的函数定义：“一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数”，则下列对应法则f满足函数定义的有（ ）
A． B． C． D．
三、填空题：本题共4小题．
13．若[a,3a－1]为一确定区间，则a的取值范围是________．
14．概念：一般地，设A，B是非空的____，如果对于集合A中的____，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有____确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数.
15．已知具有性质：的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①；②；③，其中满足“倒负”变换的函数是______.
16．若函数的定义域和值域均为，则的值为____.
四、解答题：本题共6小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知函数；
（1）求，的值．
（2）求证：是定值．
（3）求的值．
18．已知函数f(x)=．
（1）求函数f(x)的定义域；
（2）求f(－3)，f()的值；
（3）当a>0时，求f(a)，f(a－1)的值．
19．求下列函数的定义域
（1） （2）
20．已知函数的定义域为集合A，B＝{x|x(1)求集合A；
(2)若A B，求a的取值范围；
(3)若全集U＝{x|x≤4}，a＝－1，求 U A及A∩( U B)．
21．求下列函数的定义域.
（1）；
（2）.
22．已知f(x)=(x∈R，x≠-2)，g(x)=x2+1(x∈R).
(1)求f(2)，g(2)的值；
(2)求f(g(3))的值；
(3)作出f(x)，g(x)的图象，并求函数的值域.课时3.1.2 函数的表示方法
一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．已知函数y＝，则使函数值为的的值是（ ）
A．或 B．或 C．或或 D．
【答案】D
【解析】当时，有，可得；
当时，有，无解.
综上，使函数值为的的值.
故选：D
2．函数的图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为，故函数的图象如D选项中的图象.
故选：D.
3．已知函数，若＝10，则实数a的值为（ ）
A．5 B．9 C．10 D．11
【答案】B
【解析】由，令，则.
因为，所以a=9.
故选：B
4．一等腰三角形的周长是20，底边长y是关于腰长x的函数，则它的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由等腰三角形的周长为20，且底边长y是关于腰长x，
可得，所以，
又由，即，即，
因为，即，可得，所以，
所以解析式为.
故选：D.
5．已知函数，则不等式≥2x的解集是（ ）
A． B．（－∞，0] C． D．（－∞，2）
【答案】A
【解析】解：当x>0时，＝－x＋2≥2x，解得3x≤2，所以0当x≤0时，＝x＋2≥2x，解得x≤2，又x≤0，所以x≤0；
综上，原不等式的解集为，
故选：A.
6．某种产品每件定价80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为( )
A．y＝－x＋50(0B．y＝x＋50(0C．y＝－x＋50(0D．y＝x＋50(0【答案】A
【解析】
设解析式为y＝kx＋b，依题意有：
解得k＝－，b＝50.
∴y＝－.x＋50(0答案：A.
7．已知函数f(x)＝x2＋px＋q满足f(1)＝f(2)＝0，则f(－1)的值是( )
A．5 B．－5
C．6 D．－6
【答案】C
【解析】
满足f
将①②联立成方程组并解之得
故选C
8．已知 ，则的值为（ ）
A．5 B．2 C．-1 D．-2
【答案】A
【解析】由，
可得,
,
故选A.
二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9．关于直线与函数的图象的交点有如下四个结论，其中正确的是（ ）
A．不论为何值时都有交点 B．当时，有两个交点
C．当时，有一个交点 D．当时，没有交点
【答案】BCD
【解析】由题意得，，作此函数图像如下图折线所示；即平行于轴的直线，作图像如下图直线所示.
对于A，由图可知，当时，直线与函数的图象无交点，故A错误；
对于B，由图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点，故B正确；
对于C，由图可知，当时，直线与函数的图象，有一个交点，故C正确；
对于D，由图可知，当时，直线与函数的图象无交点，故D正确.
故选:BCD
10．设函数，若则实数a=（ ）
A．2 B．-2 C．4 D．-4
【答案】AD
【解析】因为函数，且
所以或，解得a=-4或a=2.
故选：AD.
11．下列给出的式子是分段函数的是（ ）
A．f（x）＝ B．f（x）＝
C．f（x）＝ D．f（x）＝
【答案】AD
【解析】解：对于A：，定义域为，且，符合函数定义，且在定义域的不同区间，有不同的对应关系，故A正确；
对于B：，定义域为，但不满足函数的定义，如当时，和，故不是函数，故B错误；
对于C：，定义域为，且，且和，故不是函数，故C错误；
对于D：，定义域为，且，符合函数定义，且在定义域的不同区间，有不同的对应关系，故D正确；
故选：AD
12．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数，称为狄利克雷函数，则关于，下列说法正确的是（ ）
A．的值域为
B．的定义域为
C．
D．任意一个非零有理数， 对任意恒成立
【答案】BCD
【解析】因为函数，所以的值城为，故A不正确；
因为函数，所以的定义城为，故B正确；
因为，所以，故C正确；
对于任意一个非零有理数，若x是有理数，则x+T是有理数；若x是无理数，则x+T是无理数，根据函数的解析式，任取一个不为零的有理数T，都有对任意恒成立，故D正确，
故选：BCD.
三、填空题：本题共4小题
13．已知且，则a的值为________．
【答案】
【解析】设，则，
因为，所以，即，
又因为，可得，解得.
故答案为：.
14．已知f（x）＝，则的值等于________.
【答案】4
【解析】解析：∵>0，∴＝2×＝；∵－≤0，∴＝＝；
∵－≤0，∴＝＝；
∵>0，∴＝2×＝，∴＋＝＋＝4.
故答案为：4．
15．用表示三个数中最小值，则函数的最大值是___________．
【答案】6
【解析】由分别解得，则函数
则可知当时，函数取得最大值为6
16．设函数若f(－2)＝f(0)，f(－1)＝－3，则方程f(x)＝x的解集为________．
【答案】{－2，2}
【解析】当x≤0时，f(x)＝x2＋bx＋c，
因为f(－2)＝f(0)，f(－1)＝－3，
所以，解得.
故
当x≤0时，由f(x)＝x，得x2＋2x－2＝x，解得x＝－2或x＝1(1>0，舍去)．
当x>0时，由f(x)＝x，得x＝2.
所以方程f(x)＝x的解集为{－2，2}．
故答案为：{－2，2}
四、解答题：本题共6小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．如图，在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P，沿折线BCDA由点B（起点）向点A（终点）运动，设点P运动的路程为x，△APB的面积为y.
（1）求y关于x的函数关系式y=f（x）；
（2）画出y=f（x）的图象；
（3）若△APB的面积不小于2，求x的取值范围.
【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）1≤x≤11.
【解析】（1）由题意，当,；当,；
当,；
所以；
（2）y=f (x)的图象如图所示.
（3）由题意，
即或或，解得，
所以x的取值范围为.
18．已知函数求：
（1）画出函数的简图（不必列表）；
（2）求的值；
（3）当时，求取值的集合．
【答案】（1）图象见解析；（2）11；（3）．
【解析】（1）由分段函数可知，函数的简图为：
（2）因为，所以.
（3）当时，；
当时；
当时,，
所以一当时，取值的集合为．
19．（1）若二次函数满足，，求.
（2）若对任意实数，均有，求.
（3）已知，求的解析式；
（4）已知，求的解析式.
【答案】（1）；（2）；（3），；（4），.
【解析】解：（1）因为二次函数满足；所以设，
则：；
因为，所以；
∴；∴；∴，；
∴.
（2）∵（1）
∴（2）
由得，
∴.
（3）因为，所以，
所以，
（4）因为，①
所以，②
消去解得，
20．已知f(x)=
（1）若f(a)=4，且a>0，求实数a的值;
（2）求的值.
【答案】（1）a=或a=；（2）2.
【解析】(1)若0解得a=，满足0若a≥2，则f(a)=a2-1=4，
解得a=或a=-(舍去)，
∴a=或a=.
(2)由题意
21．已知，求的解析式.
【答案】（，，）
【解析】解：令，则，代入，得，其中，
所以（，，）；
22．已知函数f(x)＝.
(1)求f(2)＋f，f(3)＋f的值；
(2)求证：f(x)＋f是定值；
(3)求f(2)＋f＋f(3)＋f＋…＋＋f的值．
【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3)2016.
【解析】(1)∵f(x)＝，
∴f(2)＋f＝＋＝1，
f(3)＋f＝＋＝1.
(2)证明：f(x)＋f＝＋＝＋＝＝1.
(3)由(2)知f(x)＋f＝1，
∴f(2)＋f＝1，f(3)＋f＝1，
f(4)＋f＝1，…，f(2 017)＋f＝1.
∴f(2)＋f＋f(3)＋f＋…＋f(2 017)＋f＝2 016.课时3.1.2 函数的表示方法
一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．已知函数y＝，则使函数值为的的值是（ ）
A．或 B．或 C．或或 D．
2．函数的图象为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知函数，若＝10，则实数a的值为（ ）
A．5 B．9 C．10 D．11
4．一等腰三角形的周长是20，底边长y是关于腰长x的函数，则它的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知函数，则不等式≥2x的解集是（ ）
A． B．（－∞，0] C． D．（－∞，2）
6．某种产品每件定价80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为( )
A．y＝－x＋50(0B．y＝x＋50(0C．y＝－x＋50(0D．y＝x＋50(07．已知函数f(x)＝x2＋px＋q满足f(1)＝f(2)＝0，则f(－1)的值是( )
A．5 B．－5
C．6 D．－6
8．已知 ，则的值为（ ）
A．5 B．2 C．-1 D．-2
二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9．关于直线与函数的图象的交点有如下四个结论，其中正确的是（ ）
A．不论为何值时都有交点 B．当时，有两个交点
C．当时，有一个交点 D．当时，没有交点
10．设函数，若则实数a=（ ）
A．2 B．-2 C．4 D．-4
11．下列给出的式子是分段函数的是（ ）
A．f（x）＝ B．f（x）＝
C．f（x）＝ D．f（x）＝
12．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数，称为狄利克雷函数，则关于，下列说法正确的是（ ）
A．的值域为
B．的定义域为
C．
D．任意一个非零有理数， 对任意恒成立
三、填空题：本题共4小题
13．已知且，则a的值为________．
14．已知f（x）＝，则的值等于________.
15．用表示三个数中最小值，则函数的最大值是___________．
16．设函数若f(－2)＝f(0)，f(－1)＝－3，则方程f(x)＝x的解集为________．
四、解答题：本题共6小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．如图，在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P，沿折线BCDA由点B（起点）向点A（终点）运动，设点P运动的路程为x，△APB的面积为y.
（1）求y关于x的函数关系式y=f（x）；
（2）画出y=f（x）的图象；
（3）若△APB的面积不小于2，求x的取值范围.
18．已知函数求：
（1）画出函数的简图（不必列表）；
（2）求的值；
（3）当时，求取值的集合．
19．（1）若二次函数满足，，求.
（2）若对任意实数，均有，求.
（3）已知，求的解析式；
（4）已知，求的解析式.
20．已知f(x)=
（1）若f(a)=4，且a>0，求实数a的值;
（2）求的值.
21．已知，求的解析式.
22．已知函数f(x)＝.
(1)求f(2)＋f，f(3)＋f的值；
(2)求证：f(x)＋f是定值；
(3)求f(2)＋f＋f(3)＋f＋…＋＋f的值．