课时3.2.1 函数的单调性与最大(小)值
01考点梳理
知识点一 增函数、减函数的概念
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D I：
(1)如果 x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有_____________，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增(如图①)．
特别地，当函数f(x)在它的定义域上_________时，我们就称它是增函数．
(2)如果 x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有______________，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减(如图②)
特别地，当函数f(x)在它的定义域上_________时，我们就称它是减函数．
知识点二 函数的单调性与单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上_________或_________，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的_________．
知识点三 函数的最大值与最小值
知识点四 求函数最值的常用方法
1.图象法：作出y＝f(x)的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值.
2.运用已学函数的值域.
3.运用函数的单调性：
(1)若y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则ymax＝ ，ymin＝ .
(2)若y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则ymax＝ ，ymin＝ .
4.分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个.
答案：f(x1)＜f(x2) 单调递增 f(x1)＞f(x2) 单调递减 泊驰 鵘 单调递减 单调区间 ≤ ≥ f(x0)＝M 纵坐标 纵坐标 f(b) f(a) f(a) f(b)
02考点解读
题型一 函数单调性的判断（证明）和单调区间的求解
1．已知函数的定义域为,对任意的 都有且则的解集为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意,,
因为且所以函数是上的增函数.
,
因为,所以,
则,解得.
故选:A.
题型二 函数的最值及参数问题
2．设函数，，则函数的最小值为______；若，使得成立，则实数的取值范围是_________.
【答案】2
【解析】解：因为函数，，
易得函数在为减函数，在为增函数，所以，
即函数的最小值为,
又，使得成立，则，即，
解得：或，即实数的取值范围是或，
故答案为(1). 2 (2).
题型三 复合函数的最值
3．已知函数在区间，上的最大值为，当实数，变化时，最小值为__，当取到最小值时，__.
【答案】2
【解析】解：，
上述函数可理解为当横坐标相同时，函数，，与函数，，图象上点的纵向距离，
则即为函数与函数图象上点的纵向距离的最大值中的最小值，
由图象可知，当函数的图象刚好为时，取得最小值为2，此时，且，即，，
故.
故答案为：2，.
题型四 函数不等式恒成立问题
4．设函数的图象关于直线对称，
（1）求实数的值；
（2）在（1）的条件下若对任意实数恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）、在数轴上表示点到点、的距离，
他们的和关于对称，
因此点、关于对称，
所以；
（2），
∵对任意实数恒成立，
∴对任意实数x恒成立，
∵，即，
∴，
∴．
题型五 函数不等式能成立（有解）问题
5．已知函数，
（1）若，求的值域；
（2）若存在，使得能成立，求实数t的取值范围．
【答案】（1）答案见解析；（2）
【解析】（1）的图像为抛物线，开口向上，对称轴为.所以：
当时，在上单调递减，此时：
，；
值域为；
当时，在上单调递减，在上单调递增，此时：
，；
值域为；
当时，在上单调递减，在上单调递增，但，此时：
，；
值域为；
当时，在上单调递减，在上单调递增，但，此时：
，；
值域为；
（2）可化为：，
即存在，使得能成立，
只需对能成立，
只需，其中.
记
任取，则
因为，所以，，，
所以，
所以，
即在上单调递减，所以，
所以，
即实数t的取值范围为.
03题组训练
1．函数的最大值是（ ）
A． B．0 C．4 D．2
【答案】C
【解析】函数，当时，函数取得最大值4.
故选：C
2．若函数，的图象如图所示，则该函数的最大值、最小值分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【解析】由题图可得，函数最大值对应图象中的最高点的纵坐标，同理，最小值对应.
故选：C
3．已知函数f(x)＝4x2－kx－8在区间(5,20)上既没有最大值也没有最小值，则实数k的取值范围是( )
A．[160，＋∞)
B．(－∞，40]
C．(－∞，40]∪[160，＋∞)
D．(－∞，20]∪[80，＋∞)
【答案】C
【解析】由于二次函数在区间上既没有最大值也没有最小值，
因此函数在区间上是单调函数，
二次函数图象的对称轴方程为，
因此或，或，故选C.
4．在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x为_______(m).
【答案】20
【解析】设矩形高为，由三角形相似得且，
所以，仅当时，矩形的面积取最大值，所以其边长为.
5．求二次函数在上的最小值.
【答案】当时，最小值为；当时，最小值为；当时，最小值为
【解析】由题意，函数，可得在区间递减递增，
（1）当时，函数在区间递减，所以
（2）当时，在区间递增，所以
（3）当时，在区间递减，在区间递增，
所以
6．已知函数．
（）用定义证明在上是增函数．
（）若在区间上取得最大值为，求实数的值．
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】（）设任意，，且，
则，
∵，
∴，，
∴，
即，
故在上是增函数．
（）在区间上是增函数，
∴，
∴，
解得．课时3.2.2 函数的奇偶性
一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．已知，若，则（ ）
A．-14 B．14 C．-6 D．10
2．下列图象表示的函数中具有奇偶性的是（ ）
A． B．C． D．
3．函数为定义在上的奇函数，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
4．设是奇函数，且在内是增加的，又，则的解集是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
5．已知函数是偶函数，当时， 恒成立，设，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
6．设偶函数f(x)在区间(-∞，-1]上单调递增，则（ ）
A．C．f(2)7．已知偶函数f（x）在区间[0，＋∞）上单调递增，则满足的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．设偶函数的定义域为，当时，是增函数，则，，的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9．已知函数是奇函数，则下列选项正确的有（ ）
A． B．在区间单调递增
C．的最小值为 D．的最大值为2
10．关于函数，下列结论正确的是（ ）
A．的图象过原点 B．是奇函数
C．在区间上单调递减 D．是定义域上的增函数
11．下列判断不正确的是（ ）
A．函数f（x）=是奇函数
B．函数f（x）=是偶函数
C．函数f（x）=x+是非奇非偶函数
D．函数f（x）=1既是奇函数又是偶函数
12．对于定义在R上的函数f（x），有下面选项正确的是（ ）
A．若f（x）是偶函数，则f（－2）＝f（2）；
B．若f（－2）＝f（2），则函数f（x）是偶函数；
C．若f（－2）≠f（2），则函数f（x）不是偶函数；
D．若f（－2）＝f（2），则函数f（x）不是奇函数.
三、填空题：本题共4小题．
13．已知函数，若，则________．
14．偶函数f（x）在（0，＋∞）内的最小值为2 020，则f（x）在（－∞，0）上的最小值为________.
15．偶函数的图象经过点，且当时，不等式恒成立，则使得成立的的取值范围是___________.
16．若函数为偶函数，且在上单调递增，则的解集为___________．
四、解答题：本题共4小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知是定义在上的奇函数，且，求的解析式．
18．已知函数的图象关于原点对称，且当时，，试求在上的解析式．
19．函数对任意，，总有，当时，，且．
（1）证明是奇函数；
（2）证明在上是单调递增函数；
（3）若，求实数的取值范围．
20．设为实常数，是定义在上的奇函数，当时，．
（1）当时，求函数的解析式；
（2）若时，都有，求的取值范围．课时3.2.2 函数的奇偶性
一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．已知，若，则（ ）
A．-14 B．14 C．-6 D．10
【答案】A
【解析】，
又，所以
故选：A
2．下列图象表示的函数中具有奇偶性的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】选项A中的图象关于原点或y轴均不对称，故排除；
选项C、D中的图象所示的函数的定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除；
选项B中的图象关于y轴对称，其表示的函数是偶函数.
故选：B
3．函数为定义在上的奇函数，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由函数为定义在上的奇函数，得，解得，
所以.
所以．所以．
故选：B．
4．设是奇函数，且在内是增加的，又，则的解集是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】D
【解析】因是奇函数，则，
又在是增加的，于是得在上是增加的，
由得：或，
解，即，解得，
解，即，解得，
综上得：或，
所以的解集是或.
答案：D
5．已知函数是偶函数，当时， 恒成立，设，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当时，，则，
所以，函数为上的增函数，
由于函数是偶函数，可得，
，
，因此，.
故选：A.
6．设偶函数f(x)在区间(-∞，-1]上单调递增，则（ ）
A．C．f(2)【答案】B
【解析】因函数f(x)为偶函数，于是有f(-x)=f(x)，从而得f(2)=f(-2)，
又f(x)在区间(-∞，-1]上单调递增，且-2<<-1，
所以f(2)=f(-2)<故选：B
7．已知偶函数f（x）在区间[0，＋∞）上单调递增，则满足的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵f（x）为偶函数，∴f（x）＝f（|x|）.则f（|2x－1|）<，
又∵f（x）在[0，＋∞）上单调递增，∴，解得.
故选：A.
8．设偶函数的定义域为，当时，是增函数，则，，的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为函数是偶函数，
所以
因为时，是增函数，
所以，
所以.
故选：A
二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9．已知函数是奇函数，则下列选项正确的有（ ）
A． B．在区间单调递增
C．的最小值为 D．的最大值为2
【答案】AC
【解析】函数是奇函数，
则，代入可得，故A正确；
由，
对勾函数在上单调递增，
所以在上单调递减，故B错误；
由，所以，
所以，故C正确、D错误.
故选：AC
10．关于函数，下列结论正确的是（ ）
A．的图象过原点 B．是奇函数
C．在区间上单调递减 D．是定义域上的增函数
【答案】AC
【解析】解：，
将的图像向右平移一个单位，然后向上平移1个单位即可得到，图像如下：
观察图像可得A,C正确，
故选:AC.
11．下列判断不正确的是（ ）
A．函数f（x）=是奇函数
B．函数f（x）=是偶函数
C．函数f（x）=x+是非奇非偶函数
D．函数f（x）=1既是奇函数又是偶函数
【答案】ABD
【解析】A中函数的定义域为{x|x≠2}，不关于原点对称，故f（x）不是奇函数，故A错误；
B中函数的定义域为{x|x≠-1}，不关于原点对称，故f（x）不是偶函数，故B错误；
C中函数的定义域为{x|x≤-1，或x≥1}，
f（-x）=-x+≠f（x），f（-x）=-x+≠-f（x），
故f（x）是非奇非偶函数，故C正确；
D中函数是偶函数，但不是奇函数，故D错误.
故选：ABD.
12．对于定义在R上的函数f（x），有下面选项正确的是（ ）
A．若f（x）是偶函数，则f（－2）＝f（2）；
B．若f（－2）＝f（2），则函数f（x）是偶函数；
C．若f（－2）≠f（2），则函数f（x）不是偶函数；
D．若f（－2）＝f（2），则函数f（x）不是奇函数.
【答案】AC
【解析】若f（x）是偶函数，则f（－x）＝f（x），所以f(－2)＝f（2）；A正确；
仅两个特殊的函数值相等不足以确定函数的奇偶性，需要满足“任意”，B错误；
A为C逆否命题，所以C正确；
反例：奇函数f（x）＝满足条件f(－2)＝f（2），D错误,
故选：AC.
三、填空题：本题共4小题．
13．已知函数，若，则________．
【答案】0
【解析】令，
因为，
所以为奇函数，
所以，即，
因为，所以，
故答案为：0
14．偶函数f（x）在（0，＋∞）内的最小值为2 020，则f（x）在（－∞，0）上的最小值为________.
【答案】2020
【解析】由于偶函数的图象关于y轴对称，所以f（x）在对称区间内的最值相等.
又当x∈（0，＋∞）时，f（x）最小值＝2 020，故当x∈（－∞，0）时，f（x）最小值＝2 020.
故答案为：2020
15．偶函数的图象经过点，且当时，不等式恒成立，则使得成立的的取值范围是___________.
【答案】
【解析】因为当时，不等式恒成立，所以有，即
，所以函数在上单调递增，
因为函数的图象经过点，所以，
因此由，可得，函数是偶函数，且在在上单调递增，所以由，
故答案为：
16．若函数为偶函数，且在上单调递增，则的解集为___________．
【答案】
【解析】∵为偶函数，
∴，
∴，即，
∴，
∵在上单调递增，∴，
∵，
∴，解得或，
∴不等式的解集为．
故答案为：.
四、解答题：本题共4小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知是定义在上的奇函数，且，求的解析式．
【答案】．
【解析】∵为奇函数，
∴，∴.
由，得，
∴，检验符合．
18．已知函数的图象关于原点对称，且当时，，试求在上的解析式．
【答案】．
【解析】由题意，函数的图象关于原点对称，
即函数为奇函数，所以
因为当时，，
设，则，可得，
又由当时，，
所以函数的解析式为.
19．函数对任意，，总有，当时，，且．
（1）证明是奇函数；
（2）证明在上是单调递增函数；
（3）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．
【解析】（1）令，则，解得，
令，则，即，即，
易知的定义域为，关于原点对称，所以函数是奇函数；
（2）任取，，且，则，
因为当时，，所以，
则，即，所以函数是上的增函数；
（3）由，得，，又由是奇函数得.
由，得，因为函数是上的增函数，
所以，解得，故实数的取值范围为．
20．设为实常数，是定义在上的奇函数，当时，．
（1）当时，求函数的解析式；
（2）若时，都有，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）是定义在上的奇函数，当时，．
当时，，则，整理得，
所以时，；
（2）由（1）知，当时，．
所以在 上恒成立，
化简为在上恒成立
设，所以其对称轴为：
当时，即时，上述不等式恒成立问题转化为 ，解得；
当时，即时，上述不等式恒成立问题转化为 ，
解得或
所以的取值范围为：.课时3.2.1 函数的单调性与最大(小)值
01考点梳理
知识点一 增函数、减函数的概念
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D I：
(1)如果 x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有_____________，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增(如图①)．
特别地，当函数f(x)在它的定义域上_________时，我们就称它是增函数．
(2)如果 x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有______________，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减(如图②)
特别地，当函数f(x)在它的定义域上_________时，我们就称它是减函数．
知识点二 函数的单调性与单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上_________或_________，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的_________．
知识点三 函数的最大值与最小值
知识点四 求函数最值的常用方法
1.图象法：作出y＝f(x)的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值.
2.运用已学函数的值域.
3.运用函数的单调性：
(1)若y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则ymax＝ ，ymin＝ .
(2)若y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则ymax＝ ，ymin＝ .
4.分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个.
02考点解读
题型一 函数单调性的判断（证明）和单调区间的求解
1．已知函数的定义域为,对任意的 都有且则的解集为( )
A． B． C． D．
题型二 函数的最值及参数问题
2．设函数，，则函数的最小值为______；若，使得成立，则实数的取值范围是_________.
题型三 复合函数的最值
3．已知函数在区间，上的最大值为，当实数，变化时，最小值为__，当取到最小值时，__.
题型四 函数不等式恒成立问题
4．设函数的图象关于直线对称，
（1）求实数的值；
（2）在（1）的条件下若对任意实数恒成立，求实数的取值范围．
题型五 函数不等式能成立（有解）问题
5．已知函数，
（1）若，求的值域；
（2）若存在，使得能成立，求实数t的取值范围．
03题组训练
1．函数的最大值是（ ）
A． B．0 C．4 D．2
2．若函数，的图象如图所示，则该函数的最大值、最小值分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
3．已知函数f(x)＝4x2－kx－8在区间(5,20)上既没有最大值也没有最小值，则实数k的取值范围是( )
A．[160，＋∞)
B．(－∞，40]
C．(－∞，40]∪[160，＋∞)
D．(－∞，20]∪[80，＋∞)
4．在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x为_______(m).
5．求二次函数在上的最小值.
6．已知函数．
（）用定义证明在上是增函数．
（）若在区间上取得最大值为，求实数的值．
