课时3.3 幂函数
一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．如图，①②③④对应四个幂函数的图像，其中②对应的幂函数是（ ）
A． B． C． D．
2．已知幂函数的图象经过点，则等于（ ）
A． B． C．2 D．3
3．下列结论中，正确的是（ ）
A．幂函数的图象都经过点(0，0)，(1，1)
B．幂函数的图象可以出现在第四象限
C．当幂指数α取1，3，时，幂函数y＝xα是增函数
D．当α＝－1时，幂函数y＝xα在其整个定义域上是减函数
4．已知点在幂函数的图像上，则函数是（ ）.
A．奇函数
B．偶函数
C．减函数
D．增函数
5．幂函数满足：对任意，当且仅当时，有，则（ ）.
A．
B．
C．
D．
6．已知幂函数y＝f(x)经过点(3，)，则f(x)（ ）
A．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
B．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数
C．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数
D．是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
7．点在幂函数的图象上，则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
8．函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9．下列关于幂函数的性质，描述正确的有（ ）
A．当时函数在其定义域上是减函数 B．当时函数图象是一条直线
C．当时函数是偶函数 D．当时函数在其定义域上是增函数
10．已知幂函数，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．的定义域是
C．是偶函数
D．不等式的解集是
11．已知函数为幂函数，则该函数为（ ）
A．奇函数
B．偶函数
C．区间上的增函数
D．区间上的减函数
12．已知幂函数，对任意，且，都满足，若且，则下列结论可能成立的有（ ）
A． 且 B． 且
C． 且 D．以上都可能
三、填空题：本题共4小题．
13．函数恒过定点______．
14．已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则__________.
15．若函数是幂函数，且满足，则的值等于__________.
16．已知幂函数的图象经过点，则的解析式是______．
四、解答题：本题共4小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知函数是幂函数，求的值．
18．已知函数，.
（1）求方程的解集；
（2）定义：.已知定义在上的函数.求函数的解析式，在平面直角坐标系中，画出函数的简图；并写出函数的单调区间和最小值.
19．已知幂函数（）是偶函数，且在上单调递增．
（1）求函数的解析式；
（2）若，求的取值范围；
（3）若实数，（，）满足，求的最小值．
20．已知函数是幂函数，且.
（1）求函数的解析式；
（2）试判断是否存在实数，使得函数在区间上的最大值为6，若存在，求出b的值；若不存在，请说明理由.课时3.3 幂函数
一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．如图，①②③④对应四个幂函数的图像，其中②对应的幂函数是（ ）
A． B． C． D．
2．已知幂函数的图象经过点，则等于（ ）
A． B． C．2 D．3
3．下列结论中，正确的是（ ）
A．幂函数的图象都经过点(0，0)，(1，1)
B．幂函数的图象可以出现在第四象限
C．当幂指数α取1，3，时，幂函数y＝xα是增函数
D．当α＝－1时，幂函数y＝xα在其整个定义域上是减函数
4．已知点在幂函数的图像上，则函数是（ ）.
A．奇函数
B．偶函数
C．减函数
D．增函数
5．幂函数满足：对任意，当且仅当时，有，则（ ）.
A．
B．
C．
D．
6．已知幂函数y＝f(x)经过点(3，)，则f(x)（ ）
A．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
B．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数
C．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数
D．是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
7．点在幂函数的图象上，则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
8．函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9．下列关于幂函数的性质，描述正确的有（ ）
A．当时函数在其定义域上是减函数 B．当时函数图象是一条直线
C．当时函数是偶函数 D．当时函数在其定义域上是增函数
10．已知幂函数，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．的定义域是
C．是偶函数
D．不等式的解集是
11．已知函数为幂函数，则该函数为（ ）
A．奇函数
B．偶函数
C．区间上的增函数
D．区间上的减函数
12．已知幂函数，对任意，且，都满足，若且，则下列结论可能成立的有（ ）
A． 且 B． 且
C． 且 D．以上都可能
三、填空题：本题共4小题．
13．函数恒过定点______．
14．已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则__________.
15．若函数是幂函数，且满足，则的值等于__________.
16．已知幂函数的图象经过点，则的解析式是______．
四、解答题：本题共4小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知函数是幂函数，求的值．
18．已知函数，.
（1）求方程的解集；
（2）定义：.已知定义在上的函数.求函数的解析式，在平面直角坐标系中，画出函数的简图；并写出函数的单调区间和最小值.
19．已知幂函数（）是偶函数，且在上单调递增．
（1）求函数的解析式；
（2）若，求的取值范围；
（3）若实数，（，）满足，求的最小值．
20．已知函数是幂函数，且.
（1）求函数的解析式；
（2）试判断是否存在实数，使得函数在区间上的最大值为6，若存在，求出b的值；若不存在，请说明理由.
参考答案
1．C
【解析】解：由图知：①表示，②表示，③表示，④表示.
故选：C.
2．A
【解析】解：因为为幂函数，所以，所以，
因为幂函数的图像过点，
所以，解得，
所以，
故选：A
3．C
【解析】当幂指数α＝－1时，幂函数y＝x－1的图象不经过原点，故A错误；
因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y＝xα(α∈R)>0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故B错误；
当α>0时，y＝xα是增函数，故C正确；
当α＝－1时，y＝x－1在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数，但在整个定义域上不是减函数，故D错误．
故选：C.
4．A
【解析】且，解得，，
∴在定义域的奇函数，
故选：A.
5．B
【解析】设，由已知，函数的定义域为，∴，
又∵对任意，当且仅当时，有，即与一一对应，
必定不是偶函数，∴必定为奇函数，∴答案为，
故选：B.
6．D
【解析】设幂函数的解析式为，
将点的坐标代入解析式得，解得，
∴，函数的定义域为,是非奇非偶函数，且在上是增函数，
故选：D.
7．B
【解析】解：因为点在幂函数的图象上，
所以，即，
，所以，
故，，
，
因为，所以，
所以，
所以函数的值域为.
故选：B.
8．A
【解析】，
由得，又，
所以函数的单调递减区间为.
故选：．
9．CD
【解析】对于A选项，，在和上递减，不能说在定义域上递减，故A选项错误．
对于B选项，，，图像是：直线并且除掉点，故B选项错误．
对于C选项，，定义域为，是偶函数，所以C选项正确．
对于D选项，，函数在其定义域上是增函数，所以D选项正确．
故选：CD
10．ACD
【解析】因为函数是幂函数，所以，得，即，
，故A正确；函数的定义域是，故B不正确；
，所以函数是偶函数，故C正确；
函数在是减函数，不等式等价于，解得：，且，得，且，即不等式的解集是，故D正确.
故选：ACD
11．BC
【解析】由为幂函数，得，即m=2，
则该函数为，故该函数为偶函数，且在区间上是增函数，
故选：BC.
12．BC
【解析】因为为幂函数，
所以，解得：m=2或m=-1.
因为任意，且，都满足，
不妨设，则有，所以为增函数，
所以m=2，此时
因为，所以为奇函数.
因为且，
所以.
因为为增函数，
所以，所以.
故BC正确.
故选：BC
13．
【解析】当，即时，，函数恒过定点.
故答案为：.
14．
【解析】幂函数在上递减，，则可能的取值为，
又为奇函数，.
故答案为：.
15．3
【解析】解：设幂函数，∵它满足，
∴，求得，
则，
故答案为：3.
16．
【解析】幂函数可设为，图象过点，则，则，
所以.
故答案为：.
17．-6
【解析】因为是幂函数，
所以，解得，
所以．
18．（1）或；（2）图象答案见解析，单调递减区间是，单调递增区间是，其最小值为1.
【解析】解：（1）由，得，
；
（2）由已知得，
函数的图象如图实线所示：
函数的单调递减区间是，单调递增区间是，其最小值为1.
19．（1）；（2）；（3）2．
【解析】解析：（1）．，
，
（）
即或
在上单调递增，为偶函数
即
（2）
，，，
∴
（3）由题可知，
，
当且仅当，即，时等号成立．
所以的最小值是2．
20．（1）；（2）存在，.
【解析】解：因为函数是幂函数，
所以，解得或，
当时，，则，故不符题意，
当时，，则，符合题意，
所以；
（2）由（1）得 ，
函数图像开口向下，对称轴为：，
当时，函数在区间上递减，
则，解得，符合题意；
当时，函数在区间上递增，
则，解得，符合题意；
当时，，解得，不符题意，
综上所述，存在实数满足题意.
