课时3.4 函数的应用（一）
一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．一个矩形的周长是20，矩形的长y关于宽x的函数解析式为（ ）（默认y>x）
A．y＝10－x(0B．y＝10－2x(0C．y＝20－x(0D．y＝20－2x(02．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是（ ）
A．310元 B．300元
C．390元 D．280元
3．某公司今年销售一种产品，一月份获得利润万元，由于产品畅销，利润逐月增加，第一季度共获利万元，已知二月份和三月份利润的月增长率相同.设二、三月份利润的月增长率为，则满足的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．某电影票单价30元，相关优惠政策如下：①团购10张票，享受9折优惠：②团购30张票，享受8折优惠；③购票总额每满500元减80元．每张电影票只能享受一种优惠政策，现需要购买48张电影票，合理设计购票方案，费用最少为（ ）
A．1180元 B．1230元 C．1250元 D．1152元
5．单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数满足关系，其中为安全距离，为车速.当安全距离取时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（ ）
A．135 B．149
C．165 D．195
6．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为（ ）m．
A．400 B．12 C．20 D．30
7．一等腰三角形的周长是，底边是关于腰长的函数，它的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知某商品的进货成本为10（元/件），经过长时间调研，发现售价x（元）与月销售量y（件）满足函数关系式．为了获得最大利润，商品售价应为（ ）
A．80元 B．60元 C．50元 D．40元
二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3km（不超过3km按起步价付费）；超过3km但不超过8km时，超过部分按每千米2.15元收费：超过8km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．下列结论正确的是（ ）
A．出租车行驶2km，乘客需付费8元
B．出租车行驶4km，乘客需付费9.6元
C．出租车行驶10km，乘客需付费25.45元
D．某人乘出租车行驶5km两次的费用超过他乘出租车行驶10km一次的费用
E.某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了9km
10．若函数的图像在R上连续不断，且满足，，，则下列说法错误的是（ ）
A．在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上一定没有零点
B．在区间(0，1)上一定没有零点，在区间(1，2)上一定有零点
C．在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上可能有零点
D．在区间(0，1)上可能有零点，在区间(1，2)上一定有零点
11．某工厂八年来某种产品总产量（即前年年产量之和）与时间（年）的函数关系如图，下列几种说法中正确的是（ ）
A．前三年中，总产量的增长速度越来越慢
B．前三年中，年产量的增长速度越来越慢
C．第三年后，这种产品停止生产
D．第三年后，年产量保持不变
12．甲乙两人同时各接受了600个零件的加工任务，甲比乙每分钟加工的数量多，两人同时开始加工，加工过程中甲因故障停止一会后又继续按原速加工，直到他们完成任务．如图表示甲比乙多加工的零件数量（个）与加工时间（分）之间的函数关系，点横坐标为12，点坐标为点横坐标为128．则下面说法中正确的是（ ）
A．甲每分钟加工的零件数量是5个 B．在60分钟时，甲比乙多加工了120个零件
C．点的横坐标是200 D．的最大值是216
三、填空题：本题共4小题．
13．某商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告上写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚了270元，则每台彩电的原价为________元.
14．现在有红豆、白豆各若干粒.甲乙两人为了计算豆子的粒数，选用了这样的方法：第一轮甲每次取粒红豆，乙每次取粒白豆，同时进行，当红豆取完时，白豆还剩粒；第二轮，甲每次取粒红豆，乙每次取粒白豆，同时进行，当白豆取完时，红豆还剩粒.则红豆和白豆共有________粒.
15．已知函数若方程有两个不同的实根，且满足，则实数a的取值范围为___________.
16．某同学设想用“高个子系数k”来刻画成年男子的高个子的程度，他认为，成年男子身高160及其以下不算高个子，其高个子系数k应为0；身高190及其以上的是理所当然的高个子，其高个子系数k应为1，请给出一个符合该同学想法 合理的成年男子高个子系数k关于身高的函数关系式___________.
四、解答题：本题共4小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．上海市某地铁项目正在紧张建设中，通车后将给更多市民出行带来便利，已知该线路通车后，地铁的发车时间间隔t（单位：分钟）满足，，经测算，在某一时段，地铁载客量与发车时间间隔t相关，当时地铁可达到满载状态，载客量为1200人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时载客量为560人，记地铁载客量为.
（1）求的解析式；
（2）若该时段这条线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该时段这条线路每分钟的净收益最大？
18．重庆朝天门批发市场某服装店试销一种成本为每件元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于成本的.经试销发现，销售量（件）与销售单价（元）符合函数，且时，；时，.
（1）求函数的解析式；
（2）若该服装店获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的关系式；销售单价定为多少元时，服装店可获得最大利润，最大利润是多少元？
19．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米/时）是关于车流密度（单位：辆/千米）的函数.当桥上的车流密度达到辆/千米，造成阻塞，此时车流速度为；当车流密度不超过辆/千米时，车流速度为千米/时，研究表明，当时，车流速度是车流密度的一次函数.
（1）当时，求函数的表达式；
（2）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时）可以达到最大？并求出最大值.（结果精确到辆/时）
20．某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商店一种商品销售情况的调查发现：该商品在过去的一个月内（以30天计）的日销售价格（元）与时间（天）的函数关系近似满足（为正常数）.该商品的日销售量（个）与时间（天）部分数据如下表所示：
（天） 10 20 25 30
（个） 110 120 125 120
已知第10天该商品的日销售收入为121元.
（1）求的值;
（2）给出以下二种函数模型：
①，②，
请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量与时间的关系，并求出该函数的解析式;
（3）求该商品的日销售收入（元）的最小值.课时3.4 函数的应用（一）
一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．一个矩形的周长是20，矩形的长y关于宽x的函数解析式为（ ）（默认y>x）
A．y＝10－x(0B．y＝10－2x(0C．y＝20－x(0D．y＝20－2x(0【答案】A
【解析】由题意可知2y＋2x＝20，即y＝10－x，又10－x>x，所以0所以函数解析式为.
故选：A
2．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是（ ）
A．310元 B．300元
C．390元 D．280元
【答案】B
【解析】依题意，解得.
故选：B
3．某公司今年销售一种产品，一月份获得利润万元，由于产品畅销，利润逐月增加，第一季度共获利万元，已知二月份和三月份利润的月增长率相同.设二、三月份利润的月增长率为，则满足的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】二、三月份利润的月增长率为，
则二月份获得利润为万元，三月份获得利润为万元，
依题意得：.
故选：D.
4．某电影票单价30元，相关优惠政策如下：①团购10张票，享受9折优惠：②团购30张票，享受8折优惠；③购票总额每满500元减80元．每张电影票只能享受一种优惠政策，现需要购买48张电影票，合理设计购票方案，费用最少为（ ）
A．1180元 B．1230元 C．1250元 D．1152元
【答案】A
【解析】由第③种方案可知，，，，
，则第③种方案约为84折，所以先以第②种方案购票张：
(元)，再以第③种方案购买余下的张：(元)，
所以共需要(元).
故选：A.
5．单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数满足关系，其中为安全距离，为车速.当安全距离取时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（ ）
A．135 B．149
C．165 D．195
【答案】B
【解析】由题意得，，当且仅当，即时取“=”，
所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为149.
故选：B
6．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为（ ）m．
A．400 B．12 C．20 D．30
【答案】C
【解析】设内接矩形另一边长为y，则由相似三角形性质可得，0<<40，
解得y＝40－x，所以面积S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400(0＜x＜40)，
当x＝20时，Smax＝400．
故选：C.
7．一等腰三角形的周长是，底边是关于腰长的函数，它的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】依题意得，所以，
由三边形三边关系可得，即，解得.
因此，函数解析式为.
故选：D.
8．已知某商品的进货成本为10（元/件），经过长时间调研，发现售价x（元）与月销售量y（件）满足函数关系式．为了获得最大利润，商品售价应为（ ）
A．80元 B．60元 C．50元 D．40元
【答案】D
【解析】由题意可知，利润，
令，则．当且仅当即（元） 时利润最大．
故选：D.
二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3km（不超过3km按起步价付费）；超过3km但不超过8km时，超过部分按每千米2.15元收费：超过8km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．下列结论正确的是（ ）
A．出租车行驶2km，乘客需付费8元
B．出租车行驶4km，乘客需付费9.6元
C．出租车行驶10km，乘客需付费25.45元
D．某人乘出租车行驶5km两次的费用超过他乘出租车行驶10km一次的费用
E.某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了9km
【答案】CDE
【解析】解：在中，出租车行驶2km，乘客需付起步价8元和燃油附加费1元，共9元，错误；在中，出租车行驶4km，乘客需付费元，错误；
在中，出租车行驶10km，乘客需付费元，正确；
在中，乘出租车行驶5km，乘客需付费元，乘坐两次需付费26.6元，，正确；
在中，设出租车行驶时，付费元，由知，因此由，解得，正确．
故选：．
10．若函数的图像在R上连续不断，且满足，，，则下列说法错误的是（ ）
A．在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上一定没有零点
B．在区间(0，1)上一定没有零点，在区间(1，2)上一定有零点
C．在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上可能有零点
D．在区间(0，1)上可能有零点，在区间(1，2)上一定有零点
【答案】ABD
【解析】由题知，所以根据函数零点存在定理可得在区间上一定有零点，
又，无法判断在区间上是否有零点，在区间(1，2)上可能有零点．
故选：．
11．某工厂八年来某种产品总产量（即前年年产量之和）与时间（年）的函数关系如图，下列几种说法中正确的是（ ）
A．前三年中，总产量的增长速度越来越慢
B．前三年中，年产量的增长速度越来越慢
C．第三年后，这种产品停止生产
D．第三年后，年产量保持不变
【答案】AC
【解析】由题中函数图像可知，在区间上，图像是凸起上升的，表明总产量的增长速度越来越慢，A正确，
由总产量增长越来越慢知，年产量逐年减小，因此B错误，
在上，图像是水平直线，表明总产量保持不变，即年产量为，因此C正确，D错误.
故选：AC
12．甲乙两人同时各接受了600个零件的加工任务，甲比乙每分钟加工的数量多，两人同时开始加工，加工过程中甲因故障停止一会后又继续按原速加工，直到他们完成任务．如图表示甲比乙多加工的零件数量（个）与加工时间（分）之间的函数关系，点横坐标为12，点坐标为点横坐标为128．则下面说法中正确的是（ ）
A．甲每分钟加工的零件数量是5个 B．在60分钟时，甲比乙多加工了120个零件
C．点的横坐标是200 D．的最大值是216
【答案】ACD
【解析】根据题意，甲一共加工的时间为分钟，
一共加工了600个零件，则甲每分钟加工的数量是，所以选项A正确，
设的坐标为，
在区间和，20 上，都是乙在加工，则直线和的斜率相等，
则有，
在区间和上，甲乙同时加工，同理可得，
则，
则有，解可得；
即点的坐标是，所以选项C正确；
由题得乙每分钟加工的零件数为个，
所以甲每分钟比乙多加工5-3=2个，
在60分钟时，甲比乙多加工了（60-20）个零件，所以选项B错误；
当时，，所以的最大值是216.所以选项D正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共4小题．
13．某商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告上写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚了270元，则每台彩电的原价为________元.
【答案】2250
【解析】设彩电的原价为a元，∴a(1＋40%)·80%－a＝270，∴0.12a＝270，解得a＝2 250.
∴每台彩电的原价为2 250元.
故答案为：2250.
14．现在有红豆、白豆各若干粒.甲乙两人为了计算豆子的粒数，选用了这样的方法：第一轮甲每次取粒红豆，乙每次取粒白豆，同时进行，当红豆取完时，白豆还剩粒；第二轮，甲每次取粒红豆，乙每次取粒白豆，同时进行，当白豆取完时，红豆还剩粒.则红豆和白豆共有________粒.
【答案】
【解析】设红豆有粒，白豆有粒，
由第一轮结果可知：，整理可得：；
由第二轮结果可知：，整理可得：；
当时，由得：（舍）；
当时，由得：（舍）；
当时，由得：，，
即红豆和白豆共有粒.
故答案为：.
15．已知函数若方程有两个不同的实根，且满足，则实数a的取值范围为___________.
【答案】
【解析】解：因为，函数图象如下所示：
当时，，由图可知当即时，函数取得最小值，又，
当时，方程才有两个不同的实根，当时，方程有两个不同的实根，即有两个解，即有两个根，此时，不符题意，
当时，分别与、有交点，设，则由消去得，所以，因为，所以，解得，或，又因为，所以，由函数图象可知在上单调递减，又
所以，故
故答案为：
16．某同学设想用“高个子系数k”来刻画成年男子的高个子的程度，他认为，成年男子身高160及其以下不算高个子，其高个子系数k应为0；身高190及其以上的是理所当然的高个子，其高个子系数k应为1，请给出一个符合该同学想法 合理的成年男子高个子系数k关于身高的函数关系式___________.
【答案】，(只要写出的函数满足在区间上单调递增，且过点和即可.答案不唯一)
【解析】由题意函数是上的增函数，设，，
由，解得，所以，
所以
故答案为：
注：在上设其他函数式也可以，只要是增函数，只有两个参数．如，等等．
四、解答题：本题共4小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．上海市某地铁项目正在紧张建设中，通车后将给更多市民出行带来便利，已知该线路通车后，地铁的发车时间间隔t（单位：分钟）满足，，经测算，在某一时段，地铁载客量与发车时间间隔t相关，当时地铁可达到满载状态，载客量为1200人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时载客量为560人，记地铁载客量为.
（1）求的解析式；
（2）若该时段这条线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该时段这条线路每分钟的净收益最大？
【答案】（1）；（2）分钟.
【解析】（1）由题意知，（k为常数），
因，则，
所以；
（2）由得，
即，
①当时，，当且仅当等号成立；
②当时，在[10，20]上递减，当时Q取最大值24，
由①②可知，当发车时间间隔为分钟时，该时段这条线路每分钟的净收益最大，最大为120元.
18．重庆朝天门批发市场某服装店试销一种成本为每件元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于成本的.经试销发现，销售量（件）与销售单价（元）符合函数，且时，；时，.
（1）求函数的解析式；
（2）若该服装店获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的关系式；销售单价定为多少元时，服装店可获得最大利润，最大利润是多少元？
【答案】（1）；（2），销售价定为每件元时，可获得最大利润是元.
【解析】（1）因为 ，所以，
由题意得：，解得：，
所以函数的解析式为：，
（2）由题意知：
利润为，
因为，
所以当时，取得最大值，最大值是.
所以利润与销售单价之间的关系式为，
销售价定为每件元时，可获得最大利润是元.
19．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米/时）是关于车流密度（单位：辆/千米）的函数.当桥上的车流密度达到辆/千米，造成阻塞，此时车流速度为；当车流密度不超过辆/千米时，车流速度为千米/时，研究表明，当时，车流速度是车流密度的一次函数.
（1）当时，求函数的表达式；
（2）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时）可以达到最大？并求出最大值.（结果精确到辆/时）
【答案】（1）；（2），最大值为3333.
【解析】（1）由题意得，当时，，
当时，设，由已知得，
解得，故函数；
（2）依题意得，，
当时，为增函数，此时，，
当时，，
最大值为，
∴当时，的最大值为.
20．某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商店一种商品销售情况的调查发现：该商品在过去的一个月内（以30天计）的日销售价格（元）与时间（天）的函数关系近似满足（为正常数）.该商品的日销售量（个）与时间（天）部分数据如下表所示：
（天） 10 20 25 30
（个） 110 120 125 120
已知第10天该商品的日销售收入为121元.
（1）求的值;
（2）给出以下二种函数模型：
①，②，
请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量与时间的关系，并求出该函数的解析式;
（3）求该商品的日销售收入（元）的最小值.
【答案】（1）；（2）；（3）最小值为121元.
【解析】（1）依题意知第10天该商品的日销售收入为
，解得.
（2）由题中的数据知，当时间变化时，该商品的日销售量有增有减并不单调，故只能选②.
，，可得，解得：
（3）由（2）知
∴
当时，在区间上是单调递减的，在区间上是单调递增，
所以当时，取得最小值，且;
当时，是单调递减的，所以当时，取得最小值，且.
综上所述，当时，取得最小值，且.
故该商品的日销售收入的最小值为121元.
