课时4.2 指数函数
一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．已知函数y＝2ax－1＋1(a>0且a≠1)恒过定点A(m，n)，则m＋n＝（ ）
A．1 B．3
C．4 D．2
2．已知函数，且当时，，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4．已知，，，，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
5．若函数f(x)＝的定义域是[1，＋∞)，则a的取值范围是（ ）
A．[0，1)∪(1，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(0，1) D．(2，＋∞)
6．已知（，且），且，则a的取值范围是（ ）
A．（0，＋∞） B．（1，＋∞）
C．（－∞，1） D．（0，1）
7．函数，满足对任意，都有成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．设函数f（x）＝a－|x|（a＞0且a≠1），f（2）＝4，则（ ）
A．f（－1）＞f（－2） B．f（1）＞f（2）
C．f（2）＜f（－2） D．f（－3）＞f（－2）
二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9．若指数函数在区间上的最大值和最小值的和为，则的值可能是（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数其中且，则下列结论正确的是（ ）
A．函数是奇函数
B．函数在其定义域上有解
C．函数的图象过定点
D．当时，函数在其定义域上为单调递增函数
11．已知，则函数为减函数的实数的值可以是（ ）
A． B． C． D．
12．对于函数的定义域中任意的，有如下结论:当时，上述结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题：本题共4小题．
13．已知函数和都是指数函数，则______.
14．若函数是指数函数，则________.
15．在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以的增长率呈指数增长，已知经过天以后，该湖泊的蓝藻数大约为原来的倍，那么经过天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的_____
16．函数f（x）＝，若有f（a）＋f（a－2）＞4，则a的取值范围是________.
四、解答题：本题共4小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知函数f(x)＝(a＞0，且a≠1)．
（1）若f(2)＝，求f(x)解析式；
（2）讨论f(x)奇偶性．
18．求下列各式的值.
（1）指数函数（且）的图象经过点，求的值；
（2）；
19．截止到2018年底，我国某市人口约为130万．若今后能将人口年平均递增率控制在3‰，经过x年后，此市人口数为y(万)．
（1）求y与x的函数关系y＝f(x)，并写出定义域；
（2）若按此增长率，2029年年底的人口数是多少？
（3）哪一年年底的人口数将达到135万？
20．已知定义在R上的奇函数和偶函数满足且），
（1）若，求.
（2）记，求的最小值.课时4.2 指数函数
一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．已知函数y＝2ax－1＋1(a>0且a≠1)恒过定点A(m，n)，则m＋n＝（ ）
A．1 B．3
C．4 D．2
【答案】C
【解析】由题意知，当x＝1时，y＝3，故A(1，3)，m＋n＝4,
故选：C.
2．已知函数，且当时，，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当时，，
解得，
故选：B.
3．已知，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，，
∵递增，且，
∴，即.
故选：B.
4．已知，，，，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】与是增函数，与是减函数，在第一象限内作直线，
该直线与四条曲线交点的纵坐标的大小对应各底数的大小，易知：选A．
故选：A
5．若函数f(x)＝的定义域是[1，＋∞)，则a的取值范围是（ ）
A．[0，1)∪(1，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(0，1) D．(2，＋∞)
【答案】B
【解析】∵ax－a≥0，∴ax≥a，∴当a＞1时，x≥1．故函数定义域为[1，＋∞)时，a＞1．
故选：B．
6．已知（，且），且，则a的取值范围是（ ）
A．（0，＋∞） B．（1，＋∞）
C．（－∞，1） D．（0，1）
【答案】D
【解析】由，且，排除AC；
∵，
当时，为单调递减函数，∴，与已知矛盾矛盾，故B错误；
当时，为单调递增函数，∴，符合题意.
故选：D.
7．函数，满足对任意，都有成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：满足对任意，都有成立，
在上是减函数，
因为
，解得，
的取值范围是．
故选：．
8．设函数f（x）＝a－|x|（a＞0且a≠1），f（2）＝4，则（ ）
A．f（－1）＞f（－2） B．f（1）＞f（2）
C．f（2）＜f（－2） D．f（－3）＞f（－2）
【答案】D
【解析】由f（2）＝4得a－2＝4，又∵a＞0，∴a＝，f（x）＝2|x|，∴函数f（x）为偶函数，在（－∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递增，则A,B错误，D正确.
而f(-2)=f(2)，故C错误.
故选:D.
二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9．若指数函数在区间上的最大值和最小值的和为，则的值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】当时，函数在区间上为单调递增函数，
当时，，当时，，
所以，即，解得或，
因为，所以；
当时，函数在区间上为单调递减函数，
当时，，当时，，
所以，即，解得或，
因为，所以.
综上可得，实数的值为或.
故选：BC
10．已知函数其中且，则下列结论正确的是（ ）
A．函数是奇函数
B．函数在其定义域上有解
C．函数的图象过定点
D．当时，函数在其定义域上为单调递增函数
【答案】ABD
【解析】，定义域为，，所以为奇函数，且，故选项A，B正确，选项C错误；
，，，在上均为增函数，在其定义域上为单调递增函数，所以选项D正确．
故选：ABD．
11．已知，则函数为减函数的实数的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】由函数为减函数，得，即.
又，所以只有，满足题意.
故选：AB.
12．对于函数的定义域中任意的，有如下结论:当时，上述结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】对于A，，，，正确；
对于B，，，，错误；
对于C，在定义域中单调递增，，正确；
对于D，，又，则，正确；
故选：ACD
三、填空题：本题共4小题．
13．已知函数和都是指数函数，则______.
【答案】
【解析】因为函数是指数函数，所以，
由是指数函数，所以，
所以，
故答案为：.
14．若函数是指数函数，则________.
【答案】2
【解析】由是指数函数，
可得解得.
故答案为：2．
15．在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以的增长率呈指数增长，已知经过天以后，该湖泊的蓝藻数大约为原来的倍，那么经过天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的_____
【答案】36倍
【解析】某湖泊中的蓝藻每天以的增长率呈指数增长，经过30天以后，该湖泊的蓝藻数大约为原来的6倍，
设湖泊中原来蓝藻数量为，则，
经过60天后该湖泊的蓝藻数量为：
经过60天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的36倍.
故答案为：36倍
16．函数f（x）＝，若有f（a）＋f（a－2）＞4，则a的取值范围是________.
【答案】（1，＋∞）
【解析】设F（x）＝f（x）－2，则F（x）＝，易知F（x）是奇函数，F（x）＝＝＝1－在R上是增函数，
由f（a）＋f（a－2）＞4得F（a）＋F（a－2）＞0，
于是可得F（a）＞F（2－a），即a＞2－a，解得a＞1.
答案：（1，＋∞）
四、解答题：本题共4小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知函数f(x)＝(a＞0，且a≠1)．
（1）若f(2)＝，求f(x)解析式；
（2）讨论f(x)奇偶性．
【答案】（1）；（2）奇函数．
【解析】解：（1），．
即，．
即．
（2）因为f(x)的定义域为R，
且，
所以f(x)是奇函数．
18．求下列各式的值.
（1）指数函数（且）的图象经过点，求的值；
（2）；
【答案】（1）1；（2）.
【解析】（1）因为的图象经过点，
所以，所以
于是，
所以
（2）
19．截止到2018年底，我国某市人口约为130万．若今后能将人口年平均递增率控制在3‰，经过x年后，此市人口数为y(万)．
（1）求y与x的函数关系y＝f(x)，并写出定义域；
（2）若按此增长率，2029年年底的人口数是多少？
（3）哪一年年底的人口数将达到135万？
【答案】（1）y＝f(x)＝130(1＋3‰)x(x∈N*)；（2）134；（3）2031年.
【解析】解：（1）2018年年底的人口数为130万；
经过1年，2019年年底的人口数为130＋130×3‰＝130(1＋3‰)(万)；
经过2年，2020年年底的人口数为130(1＋3‰)＋130(1＋3‰)×3‰＝130(1＋3‰)2(万)；
经过3年，2021年年底的人口数为130(1＋3‰)2＋130(1＋3‰)2×3‰＝130(1＋3‰)3(万)．
……
所以经过的年数与(1＋3‰)的指数相同，
所以经过x年后的人口数为130(1＋3‰)x(万)．即y＝f(x)＝130(1＋3‰)x(x∈N*)．
（2）2029年年底，经过了11年，过2029年底的人口数为130(1＋3‰)11≈134(万)．
（3）由（2）可知，2029年年底的人口数为130(1＋3‰)11≈134<135.
2030年年底的人口数为130(1＋3‰)12≈134.8(万)，
2031年年底的人口数为130(1＋3‰)13≈135.2(万)．
所以2031年年底的人口数将达到135万．
20．已知定义在R上的奇函数和偶函数满足且），
（1）若，求.
（2）记，求的最小值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）是奇函数，是偶函数，
由，①
得，②
①②得，①②得.
又，，，
.
（2）由（1）可得，故，
由基本不等式可得，
令，则且，设，
当即时，；
当即时，，
故.
