课时4.4 对数函数
一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．给出下列函数：
①；②；③；④.
其中是对数函数的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解析】①②不是对数函数，因为对数的真数不是仅有自变量x；
③不是对数函数，因为对数的底数不是常数；④是对数函数．
故选:A.
2．已知函数，则的增区间为（ ）
A．（–∞，–1） B．（–3，–1）
C．[–1，+∞） D．[–1，1）
【答案】B
【解析】由，得，
当时，函数单调递增，所以函数单调递增；
当时，函数单调递减，所以所以函数单调递减，
故选：B.
3．下列四组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【解析】A中定义域是，定义域是，定义域不相同，不是同一函数；
B中两个函数定义域都是，对应法则都是取绝对值，是同一函数；
C中定义域是，定义域是，定义域不相同，不是同一函数；
D中定义域是，定义域是或，定义域不相同，不是同一函数．
故选：B．
4．下列函数中是偶函数且在区间单调递减的函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：是偶函数且在区间上单调递减，满足条件；
是非奇非 偶函数，不满足条件；
是偶函数，但在区间上单调递增，不满足条件；
是奇函数不是偶函数，不合题意.
故选：．
5．已知函数，则的大致图象为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】解：根据题意，，
所以，在区间上，在轴下方有图象，排除，
又，而，有，不会是增函数，排除，
故选：．
6．“”是“”的（ ）条件．
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要
【答案】B
【解析】，一定有，但时，不一定有，如，都不存在，因此题中是必要不充分条件．
故选：B．
7．如果一个点是一个指数函数与一个对数函数的图象的公共点，那么称这个点为“好点”.在下面的五个点M，N，P，Q，G中，可以是“好点”的个数为 （ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【解析】设此指数函数为，显然不过点M、P，
若设对数函数为，显然不过N点，
故选：C.
8．已知，则，，的大小排序为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】方法一：设.
则，，，
又，所以，可得.
方法二：由.
得，即
，
可得.
故选：D
二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9．对数函数且与二次函数在同一坐标系内的图象不可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【解析】若，则对数函数在上单调递增，二次函数开口向上，对称轴，经过原点，可能为A，不可能为B.
若，则对数函数在上单调递减，二次函数开口向下，对称轴，经过原点， C、D都不可能.
故选：BCD.
10．（多选题）关于函数，则下列说法正确的是（ ）
A．其图象关于y轴对称
B．当时，是增函数；当时，是减函数
C．的最小值是
D．无最大值，也无最小值
【答案】AC
【解析】函数定义域为，又满足，所以函数的图象关于y轴对称，A正确；
函数，当时，令，原函数变为，在上是减函数，在上是增函数，所以在上是减函数，在上是增函数，，又是偶函数，所以函数的最小值是，故BD不正确，C正确
故选：AC．
11．(多选)已知函数的图象恒过点A，则下列函数图象也过点A的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】令，得，即函数的图象恒过点．
选项A中，函数，令，得，此时函数图象过点，满足题意；
选项B中，函数，令，得，此时函数图象过点，满足题意；
选项C中，函数，令，得，此时函数图象过点，满足题意；
选项D中，函数，令，得，此时函数图象不过点，不满足题意．
故选:ABC．
12．已知函数，，则（ ）
A．函数为偶函数
B．函数为奇函数
C．函数在区间上的最大值与最小值之和为0
D．设，则的解集为
【答案】BCD
【解析】对于A：，定义域为，，
则为奇函数，故A错误；
对于B：，定义域为，
，
则为奇函数，故B正确；
对于C：，，都为奇函数，
则为奇函数，
在区间上的最大值与最小值互为相反数，
必有在区间上的最大值与最小值之和为0，故C正确；
对于D：，则在上为减函数，
，则在上为减函数，
则在上为减函数，
若即，
则必有，解得，
即的解集为，故D正确；
故选：BCD
三、填空题（本大题共4小题）
13．已知函数f(x)＝log3x＋logx，则f()＝________.
【答案】0
【解析】，
答案：0
14．若函数是对数函数，则 .
【答案】5
【解析】解：根据对数函数的定义有，解得，
故答案为：5．
15．函数的单调减区间是______.
【答案】
【解析】由得函数的定义域为，
为开口向下、对称轴为的抛物线，
又为增函数，由复合函数单调性的判断方法得，
当时是减函数，
所以的单调减区间为.
故答案为：.
16．已知下列函数：
①y＝log(－x)(x＜0)；
②y＝2log4(x－1)(x＞1)；
③y＝ln x(x＞0)；
④，(x＞0，a是常数)．
其中为对数函数的是________(只填序号)．
【答案】③
【解析】由对数函数的定义知，①②不是对数函数；对于③，ln x的系数为1，自变量是x，故③是对数函数；对于④，底数，当时，底数小于0，故④不是对数函数．
故答案为：③
四、解答题：本题共4小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知为奇函数.
（1）求实数的值；
（2）求函数的值域.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）为奇函数，
时，定义域为；时，定义域为；
定义域关于原点对称，可得；
且对于其定义域内的，
即，，计算得，
，，此时，定义域为，关于原点对称，所以.
（2）由（1）知，
不妨设：，
由反比例函数的图象性质易知，
在上单调递增，，
的值域为：.
18．已知函数f(x)＝log2.
（1）若定义域为R，求实数a的取值范围；
（2）若值域为R，求实数a的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】解：（1）要使f(x)的定义域为R，则对任意实数x都有t＝ax2＋(a－1)x＋>0恒成立．当a＝0时，不合题意；当a≠0时，由二次函数图象可知
解得
（2）要使f(x)的值域为R，则有t＝ax2＋(a－1)x＋的值域必须包含(0，＋∞)．当a＝0时，显然成立；当a≠0时，由二次函数图象可知，其二次函数图象必须与x轴相交且开口向上，
∴即0故所求a的取值范围为..
19．已知函数是定义在上的奇函数，求的值；
【答案】
【解析】函数是定义在上的奇函数，
，
因此.
20．求函数的定义域．
【答案】
【解析】解：由函数，可知，
解，即得或，解得；
综上可得.
所以函数的定义域为：.
21．已知函数与函数函数的图象关于直线对称，函数的定义域为为．
（1）求的值域；
（2）若存在，使得成立，求的取值范围；
（3）已知函数的图象关于点中心对称的充要条件是函数为奇函数．利用上述结论，求函数的对称中心．（直接写出结果，不需写出过程）
【答案】（1）；（2）；（3） ．
【解析】（1）因为函数与函数的图象关于直线对称，
所以，
则．
由得，故．
因为，且，
所以的值域为．
（2），即，则．
因为存在，使得成立，
所以．
而，
所以当，即时，取得最小值．
故．
（3）函数图象的对称中心为．
22．若函数在上单调递增，则求实数的取值范围．
【答案】
【解析】函数是由和复合而成，
当时单调递增，
若函数在上单调递增，
则在上单调递增，且对于恒成立，
的对称轴为
所以， 解得：，
当时单调递减，
若函数在上单调递增，
则在上单调递减，且对于恒成立，
的对称轴为
所以， 解得：，
综上所述：a的取值范围是，课时4.4 对数函数
一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．给出下列函数：
①；②；③；④.
其中是对数函数的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．已知函数，则的增区间为（ ）
A．（–∞，–1） B．（–3，–1）
C．[–1，+∞） D．[–1，1）
3．下列四组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．下列函数中是偶函数且在区间单调递减的函数是（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数，则的大致图象为（ ）
A．B．C．D．
6．“”是“”的（ ）条件．
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要
7．如果一个点是一个指数函数与一个对数函数的图象的公共点，那么称这个点为“好点”.在下面的五个点M，N，P，Q，G中，可以是“好点”的个数为 （ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
8．已知，则，，的大小排序为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9．对数函数且与二次函数在同一坐标系内的图象不可能是（ ）
A．B．C．D．
10．（多选题）关于函数，则下列说法正确的是（ ）
A．其图象关于y轴对称
B．当时，是增函数；当时，是减函数
C．的最小值是
D．无最大值，也无最小值
11．(多选)已知函数的图象恒过点A，则下列函数图象也过点A的是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知函数，，则（ ）
A．函数为偶函数
B．函数为奇函数
C．函数在区间上的最大值与最小值之和为0
D．设，则的解集为
三、填空题（本大题共4小题）
13．已知函数f(x)＝log3x＋logx，则f()＝________.
14．若函数是对数函数，则 .
15．函数的单调减区间是______.
16．已知下列函数：
①y＝log(－x)(x＜0)；
②y＝2log4(x－1)(x＞1)；
③y＝ln x(x＞0)；
④，(x＞0，a是常数)．
其中为对数函数的是________(只填序号)．
四、解答题：本题共4小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知为奇函数.
（1）求实数的值；（2）求函数的值域.
18．已知函数f(x)＝log2.
（1）若定义域为R，求实数a的取值范围；
（2）若值域为R，求实数a的取值范围．
19．已知函数是定义在上的奇函数，求的值；
20．求函数的定义域．
21．已知函数与函数函数的图象关于直线对称，函数的定义域为为．
（1）求的值域；
（2）若存在，使得成立，求的取值范围；
（3）已知函数的图象关于点中心对称的充要条件是函数为奇函数．利用上述结论，求函数的对称中心．（直接写出结果，不需写出过程）
22．若函数在上单调递增，则求实数的取值范围．