课时4.5 函数的应用（二）
一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．函数的零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
2．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在(1，1.5)内的近似解的过程中，有f（1）<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则该方程的根所在的区间为（ ）
A．(1，1.25) B．(1.25，1.5)
C．(1.5，2) D．不能确定
3．将进货价为每个80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，每涨价1元，销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，则售价（元/个）的取值范围应是（ ）
A． B． C． D．
4．对于下表格中的数据进行回归分析时，下列四个函数模型拟合效果最优的是（ ）
1 2 3
3 5.99 12.01
A． B．
C． D．
5．近几个月某地区的口罩的月消耗量逐月增加，若第1月的口罩月消耗量增长率为，第2月的口罩月消耗量增长率为，这两个月口罩月消耗量的月平均增长率为，则以下关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．若关于x的方程有四个不同的实数解，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数，若函数有3个零点，则实数m的取值范围（ ）
A． B． C．（0，1） D．
8．已知函数若(互不相等)，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9．已知函数若函数恰有2个零点，则实数m可以是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
10．某杂志以每册元的价格发行时，发行量为万册.经过调查，若单册价格每提高元，则发行量就减少册.要该杂志销售收入不少于万元，每册杂志可以定价为（ ）
A．元 B．元
C．元 D．元
11．已知关于x的方程，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，方程的两个实数根之和为0 B．方程无实数根的一个必要条件是
C．方程有两个正根的充要条件是 D．方程有一个正根和一个负根的充要条件是
12．已知函数，若x1A．x1＋x2＝－1 B．x3x4＝1
C．1三、填空题：本题共4小题．
13．某居民小区收取冬季供暖费，根据规定，住户可以从以下两种方案中任选其一：（1）按照使用面积缴纳，每平方米元；（2）按照建筑面积缴纳，每平方米元.李明家的使用面积为平方米.如果他家选择第（2）种方案缴纳供暖费较少，那么它的建筑面积最多不超过_______平方米.
14．设函数，若关于的方程恰好有6个不同的实数解，则实数的取值范围为________
15．已知函数，若存在实数，使函数有两个零点，则实数的取值范围是___________.
16．已知函数，若关于的方程恰有两个不同实根，则实数的取值范围是_______
四、解答题：本题共4小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．某地区预计年的前个月内对某种商品的需求总量（万件）与月份的近似关系式是：，，，求：
（1）年的第月的需求量（万件）与月份的函数关系式.
（2）求第几个月需求量最大.
18．某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商店一种商品销售情况的调查发现：该商品在过去的一个月内（以30天计）的日销售价格（元）与时间（天）的函数关系近似满足（为正常数）.该商品的日销售量（个）与时间（天）部分数据如下表所示：
（天） 10 20 25 30
（个） 110 120 125 120
已知第10天该商品的日销售收入为121元.
（1）求的值;
（2）给出以下二种函数模型：
①，②，
请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量与时间的关系，并求出该函数的解析式;
（3）求该商品的日销售收入（元）的最小值.
19．已知关于的方程.
（1）求证：不论为何值，方程必有实数根；
（2）当为整数时，方程是否有有理根？若有，求出的值；若没有，请说明理由.
20．某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为y200x+80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.
（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？课时4.5 函数的应用（二）
一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．函数的零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】；；
；；；
所以.
故选：A.
2．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在(1，1.5)内的近似解的过程中，有f（1）<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则该方程的根所在的区间为（ ）
A．(1，1.25) B．(1.25，1.5)
C．(1.5，2) D．不能确定
【答案】B
【解析】∵f(1.25)·f(1.5)<0，且f(x)是单调增函数，∴该方程的根所在的区间为(1.25，1.5)．
故选：B.
3．将进货价为每个80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，每涨价1元，销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，则售价（元/个）的取值范围应是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设每个涨价元，涨价后的利润与原利润之差为元，
则.
要使商家利润有所增加，则必须使，即，得，所以的取值为.
故选：A
4．对于下表格中的数据进行回归分析时，下列四个函数模型拟合效果最优的是（ ）
1 2 3
3 5.99 12.01
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据题意，这3组数据可近似为，，；
得到增长速度越来越快，排除，对于选项，三组数据都不满足，
对于选项，三组数据代入后近似满足，
则模拟效果最好的函数是．
故选：．
5．近几个月某地区的口罩的月消耗量逐月增加，若第1月的口罩月消耗量增长率为，第2月的口罩月消耗量增长率为，这两个月口罩月消耗量的月平均增长率为，则以下关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意，，
时，，，
时，，
，，因此，
综上，．
故选：D．
6．若关于x的方程有四个不同的实数解，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题设，有四个不同的实数解，
∴，即，故，
则，可得.
故选：D
7．已知函数，若函数有3个零点，则实数m的取值范围（ ）
A． B． C．（0，1） D．
【答案】C
【解析】因为函数有3个零点，所以有三个实根，即直线与函数的图象有三个交点．
作出函数图象，由图可知，实数的取值范围是．
故选：C．
8．已知函数若(互不相等)，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】作出函数的图象，如图所示:
设，则.
因为，所以，
所以，所以，即.
当时，解得或，所以.
设，
因为函数在上单调递增，所以，即，
所以.
故选：D.
二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9．已知函数若函数恰有2个零点，则实数m可以是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】ABC
【解析】因为函数恰有2个零点，
所以函数的图象与直线恰有两个交点，
画出函数的图象如图：
由图可知，或，结合选项，因此可以为-1，0，1．
故选：ABC．
10．某杂志以每册元的价格发行时，发行量为万册.经过调查，若单册价格每提高元，则发行量就减少册.要该杂志销售收入不少于万元，每册杂志可以定价为（ ）
A．元 B．元
C．元 D．元
【答案】BC
【解析】依题意可知，要使该杂志销售收入不少于万元，只能提高销售价，
设每册杂志定价为元，则发行量为万册，
则该杂志销售收入为万元，
所以，化简得，解得，
故选：BC
11．已知关于x的方程，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，方程的两个实数根之和为0 B．方程无实数根的一个必要条件是
C．方程有两个正根的充要条件是 D．方程有一个正根和一个负根的充要条件是
【答案】BCD
【解析】对于选项A，方程为，方程没有实数根，所以选项A错误；
对于选项B，如果方程没有实数根，则所以，是的必要条件，所以选项B正确；
对于选项C，如果方程有两个正根，则所以，所以方程有两个正根的充要条件是，所以选项C正确；
对于选项D，如果方程有一个正根和一个负根，则所以，所以方程有一个正根和一个负根的充要条件是，所以选项D正确.
故选：BCD
12．已知函数，若x1A．x1＋x2＝－1 B．x3x4＝1
C．1【答案】BCD
【解析】由函数解析式可得图象如下：
∴由图知：，，而当时，有，即或2，
∴，而知：，
∴，.
故选：BCD
三、填空题：本题共4小题．
13．某居民小区收取冬季供暖费，根据规定，住户可以从以下两种方案中任选其一：（1）按照使用面积缴纳，每平方米元；（2）按照建筑面积缴纳，每平方米元.李明家的使用面积为平方米.如果他家选择第（2）种方案缴纳供暖费较少，那么它的建筑面积最多不超过_______平方米.
【答案】
【解析】解：设李明家建筑面积为平方米，
按方案（1），李明家需缴元，
按方案（2），李明家需缴元，
因为选择第（2）种方案缴纳供暖费较少，
则，解得，
所以它的建筑面积最多不超过80平方米.
故答案为：80.
14．设函数，若关于的方程恰好有6个不同的实数解，则实数的取值范围为________
【答案】
【解析】解：作出函数的图象如图：
令，则方程化为，
要使关于的方程恰好有六个不同的实数解，
则方程在内有两个不同的实数根，
，解得且，
实数的取值范围为．
故答案为：．
15．已知函数，若存在实数，使函数有两个零点，则实数的取值范围是___________.
【答案】（-∞，2）∪（4，+∞）
【解析】作出函数图像，易知与有3个交点，其中，是其两个交点的横坐标，
①当时，函数的图像为：
由图知，存在实数b，使函数有两个零点；
②当时，函数的图像为：
由图知，函数单调递增，不存在实数b，使函数有两个零点；
③当时，函数的图像为：
或
由图知，存在实数b，使函数有两个零点；
综上所述，存在实数b，使函数有两个零点的参数a的范围为
故答案为：
16．已知函数，若关于的方程恰有两个不同实根，则实数的取值范围是_______
【答案】
【解析】若关于的方程恰有两个不同实根，
则函数与的图象恰有两个不同的交点，
作出的图象如图：
当时，，所以
当时，，
当时，，
当时，，此时最大值为，
由图知：当或时函数与的图象恰有两个不同的交点，
所以实数的取值范围是，
故答案为：.
四、解答题：本题共4小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．某地区预计年的前个月内对某种商品的需求总量（万件）与月份的近似关系式是：，，，求：
（1）年的第月的需求量（万件）与月份的函数关系式.
（2）求第几个月需求量最大.
【答案】（1），，；（2）第六个或第七个月.
【解析】（1）由题意得，当时，；
当时，第月需求量为：，，；
又因为满足.
所以年的第月的需求量（万件）与月份的函数关系式为，，.
（2），又因为，所以根据二次函数性质知，当或时，最大.
所以第六个或第七个月需求量最大
18．某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商店一种商品销售情况的调查发现：该商品在过去的一个月内（以30天计）的日销售价格（元）与时间（天）的函数关系近似满足（为正常数）.该商品的日销售量（个）与时间（天）部分数据如下表所示：
（天） 10 20 25 30
（个） 110 120 125 120
已知第10天该商品的日销售收入为121元.
（1）求的值;
（2）给出以下二种函数模型：
①，②，
请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量与时间的关系，并求出该函数的解析式;
（3）求该商品的日销售收入（元）的最小值.
【答案】（1）；（2）；（3）最小值为121元.
【解析】（1）依题意知第10天该商品的日销售收入为
，解得.
（2）由题中的数据知，当时间变化时，该商品的日销售量有增有减并不单调，故只能选②.
，，可得，解得：
（3）由（2）知
∴
当时，在区间上是单调递减的，在区间上是单调递增，
所以当时，取得最小值，且;
当时，是单调递减的，所以当时，取得最小值，且.
综上所述，当时，取得最小值，且.
故该商品的日销售收入的最小值为121元.
19．已知关于的方程.
（1）求证：不论为何值，方程必有实数根；
（2）当为整数时，方程是否有有理根？若有，求出的值；若没有，请说明理由.
【答案】（1）见解析；（2）当为整数时，关于的方程没有有理根. 理由见解析.
【解析】（1）证明：当，即时，原方程为，
此方程为一元一次方程，其根为；
当，即时，
∴当时，原方程必有两个不相等的实数根，
综上所述，不论为何值，方程必有实数根；
（2）解：当为整数时，关于的方程没有有理根.
理由如下：
①当时，（不合题意舍去）；
②当且为整数时，假设关于的方程有有理根.
则要为完全平方数，设（为整数），
即（为整数），所以有，
∵与的奇偶性相同，并且、都是整数，
∴或，
解得（不合题意舍去）.
综上所述，当为整数时，关于的方程没有有理根.
20．某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为y200x+80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.
（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？
【答案】（1）该单位每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低；（2）该单位每月不能获利，国家至少需要补贴35000元才能使该单位不亏损.
【解析】（1）由题意可知：，
于是得每吨二氧化碳的平均处理成本为，
由基本不等式可得：(元)，当且仅当，即x=400时，等号成立，
所以该单位每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低；
（2）该单位每月的获利f(x)=100xx2+300x-80000，
因300≤x≤600，函数f(x)在区间[300，600]上单调递减，
从而得当x=300时，函数f(x)取得最大值，即=f(300)=-35000，
所以，该单位每月不能获利，国家至少需要补贴35000元才能使该单位不亏损.
