课时5.4 三角函数的图象与性质
一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．函数y=tan(3x+)的一个对称中心是（ ）
A．(0，0) B．(，0)
C．(，0) D．以上选项都不对
2．已知函数（，，），若的图象经过点，相邻对称轴的距离为，则的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
3．设函数，则下列结论错误的是（ ）
A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称
C．在单调递减 D．的一个零点为
4．下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是（ ）
A．y＝sin B．y＝cos
C．y＝sin D．y＝cos
5．设函数f(x)=sinx，则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2019)=( )
A． B． C．0 D．
6．函数f（x）=是（ ）
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数
7．函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．函数f(x)＝|cos x|在[－π，π]上的单调递减区间为（ ）
A． B．
C．及 D．∪
二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求
9．关于x的函数f(x)=sin(x+φ)有以下说法，其中正确的是（ ）
A．对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数
B．存在φ，使f(x)是偶函数
C．存在φ，使f(x)是奇函数
D．对任意的φ，f(x)都不是偶函数
10．下列在(0,2π)上的区间能使cos x＞sin x成立的是（ ）
A． B． C． D．∪
11．已知函数部分自变量，函数值如下表示，下列结论正确的是（ ）
A．函数解析式为
B．函数图象的一条对称轴为
C．是函数图象的一个对称中心
D．函数的图象向左平移个单位，再向下平移个单位使得的函数为奇函数
12．若函数()的图象和直线围成一个封闭的平面图形，则下列说法正确的是（ ）
A．当(，)时，B．C．D．阴影部分的面积为
三、填空题：本题共4小题
13．若函数的图象关于点对称，则实数_______．
14．用“五点法”作函数y＝1－cos x，x∈[0，2π]的图象时，应取的五个关键点分别是______________.
15．函数y＝sin x的定义域为[a，b]，值域为，则b－a的最大值是________．
16．已知函数，给出下列结论：
①是周期函数；
②在区间上是增函数；
③若，则；
④函数在区间上有且仅有1个零点．
其中正确结论的序号是______．（将你认为正确的结论序号都填上）
四、解答题：本题共4小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．用“五点法”作下列函数的简图.
（1）；
（2）.
18．已知函数.
（1）完成下列表格，并用五点法在下面直角坐标系中画出在上的简图；
0
（2）求不等式的解集.
19．已知函数，其中常数.
（1）在上单调递增，求的取值范围；
（2）若，将函数图像向左平移个单位，得到函数的图像，且过，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
20．已知函数，，，在同一周期内，当时，取得最大值4；当时，取得最小值．
（1）求函数的解析式；
（2）若时，函数有两个零点，求实数的取值范围．课时5.4 三角函数的图象与性质
一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．函数y=tan(3x+)的一个对称中心是（ ）
A．(0，0) B．(，0)
C．(，0) D．以上选项都不对
【答案】C
【解析】解：因为正切函数y=tanx图象的对称中心是(，0)，k∈Z；
令3x+=，解得，k∈Z；
所以函数y=tan(3x+)的图象的对称中心为(，0)，k∈Z；
当k=3时,C正确，
故选：C.
2．已知函数（，，），若的图象经过点，相邻对称轴的距离为，则的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为相邻对称轴的距离为周期的一半，所以函数的最小正周期，又，所以，故选项B，D错误；把点代入选项A，，选项A成立，而把点代入选项C，，选项C不成立.
故选：A.
3．设函数，则下列结论错误的是（ ）
A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称
C．在单调递减 D．的一个零点为
【答案】C
【解析】函数，的最小正周期为，故A正确；
，的图象关于直线对称，故B正确；
当时，，没有单调性，故C错误；
，的一个零点为，故D正确.
综上，错误的选项为C.
故选：C.
4．下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是（ ）
A．y＝sin B．y＝cos
C．y＝sin D．y＝cos
【答案】A
【解析】对于选项A，y＝sin＝cos 2x，周期为π，当时，，
所以在上是减函数，所以该选项正确；
对于选项B，y＝cos，周期是，在上是增函数，所以该选项错误；
对于选项C，y＝sin，最小正周期是，所以该选项错误；
对于选项D，y＝cos，最小正周期是，所以该选项错误.
故选：A
5．设函数f(x)=sinx，则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2019)=( )
A． B． C．0 D．
【答案】D
【解析】∵f(x)=sinx的周期，
∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2019)=336[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)]+f(2017)+f(2018)+f(2019)
=336(sin+sin+sinπ+sin+sin+sin2π)+f(336×6+1)+f(336×6+2)+f(336×6+3)
=336×0+f(1)+f(2)+
=sin+sin+sin=.
故选：D．
6．函数f（x）=是（ ）
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数
【答案】C
【解析】由1+sinx≠0得sinx≠-1，
所以
所以函数f（x）的定义域为，不关于原点对称，也不关于y轴对称，所以f（x）是非奇非偶函数.
7．函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由，
则
所以，即函数是偶函数
故排除A，C，
当时，，排除D.
故选：B
8．函数f(x)＝|cos x|在[－π，π]上的单调递减区间为（ ）
A． B．
C．及 D．∪
【答案】C
【解析】在[－π，π]上，依据函数图象的对称性可知y＝|cos x|的单调递增区间是及，而f(x)依|cos x|取值的递增而递减，故及为f(x)的单调递减区间．
故选：C．
二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求
9．关于x的函数f(x)=sin(x+φ)有以下说法，其中正确的是（ ）
A．对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数
B．存在φ，使f(x)是偶函数
C．存在φ，使f(x)是奇函数
D．对任意的φ，f(x)都不是偶函数
【答案】BC
【解析】解：因为φ=0时，f(x)=sinx是奇函数；φ=时，f(x)=cosx是偶函数，
所以B，C正确，A，D错误，
故选：BC.
10．下列在(0,2π)上的区间能使cos x＞sin x成立的是（ ）
A． B． C． D．∪
【答案】AC
【解析】在同一平面直角坐标系中画出正、余弦函数的图象，
在(0,2π)上，当时，或，
结合图象可知，在(0,2π)上的区间能使成立的是和.
故选：AC
11．已知函数部分自变量，函数值如下表示，下列结论正确的是（ ）
A．函数解析式为
B．函数图象的一条对称轴为
C．是函数图象的一个对称中心
D．函数的图象向左平移个单位，再向下平移个单位使得的函数为奇函数
【答案】BCD
【解析】由表格可知，， 函数的最大值是5，所以，即，
当时，函数取得最小值，
最小值点和相邻的零点间的距离是，所以，
当时，，解得：，，
，所以函数，故A不正确；
B.当时，，能使函数取得最小值，所以是函数的一条对称轴，故B正确；
C.当时，，此时，所以是函数的一个对称中心，故C正确；
D.函数向左平移个单位后，再向下平移2个单位后，得，函数是奇函数，故D正确.
故选：BCD
12．若函数()的图象和直线围成一个封闭的平面图形，则下列说法正确的是（ ）
A．当(，)时，B．C．D．阴影部分的面积为
【答案】AC
【解析】作出函数的图象，函数的图象与直线围成的平面图形为如图所示的阴影部分，由图可知，A正确；B错误；C正确；
利用图象的对称性，可知该阴影部分的面积等于矩形的面积，
又∵，，∴，∴D错误．
故选：AC．
三、填空题：本题共4小题
13．若函数的图象关于点对称，则实数_______．
【答案】3
【解析】由题得，
所以
所以.
当时，函数的图象关于点对称.
故答案为：3
14．用“五点法”作函数y＝1－cos x，x∈[0，2π]的图象时，应取的五个关键点分别是______________.
【答案】（0，0），，（π，2），，（2π，0）
【解析】因为y＝1－cos x，x∈[0，2π]，则
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
故五个关键点（0，0），，（π，2），，（2π，0）
故答案为：（0，0），，（π，2），，（2π，0）.
15．函数y＝sin x的定义域为[a，b]，值域为，则b－a的最大值是________．
【答案】
【解析】因为函数y＝sin x，x∈[a，b]的最小值和最大值分别为－1和.
不妨在一个区间[0，2π]内研究，可知，，
由正弦函数的周期性可知(b－a)min＝，(b－a)max＝.
故答案为：．
16．已知函数，给出下列结论：
①是周期函数；
②在区间上是增函数；
③若，则；
④函数在区间上有且仅有1个零点．
其中正确结论的序号是______．（将你认为正确的结论序号都填上）
【答案】①③
【解析】解：函数，
对于①：由所以函数的最小正周期为，故①正确；
对于②：由于，，，，
故函数在上不是单调增函数，故②错误；
对于③：函数）的最大值为1，若，
则，
所以，，，
故则；故③正确；
对于④：当时，，
由于，即，解得或，
所以函数有两个零点，故④错误．
故答案为：①③．
四、解答题：本题共4小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．用“五点法”作下列函数的简图.
（1）；
（2）.
【答案】（1）图象见解析；（2）图象见解析.
【解析】（1）列表如下：
描点连线如图：
（2）列表如下：
描点连线如图：
18．已知函数.
（1）完成下列表格，并用五点法在下面直角坐标系中画出在上的简图；
0
（2）求不等式的解集.
【答案】（1）答案见解析；（2）().
【解析】（1）由函数，可得完成表格如下：
0
1 1
可得在的大致图象如下：
（2）由，可得，即，
当时，由，得.
又由函数的最小正周期为，
所以原不等式的解集为().
19．已知函数，其中常数.
（1）在上单调递增，求的取值范围；
（2）若，将函数图像向左平移个单位，得到函数的图像，且过，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由题意得，又，得的最小正周期为，
由正弦函数的性质，当，函数取得最小值，函数取得最大值，
∴是函数的一个单调递增区间，
又因为函数()在上单调递增，则，解得.
（2）由（1）得，将函数图像向左平移个单位，得到函数的图像，
即，∵的图像过，∴，
得：，即：，，∴，，∵，∴，
得，，，，
令，参变分离得在恒成立，令，
则函数在上递增，当时，..
20．已知函数，，，在同一周期内，当时，取得最大值4；当时，取得最小值．
（1）求函数的解析式；
（2）若时，函数有两个零点，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由题意知，，得周期，∴
当时，取得最大值4，即，得，
得，得，
又，当时，，
即．
（2）由已知在区间上有两个实根，即方程在区间上有两个实根.
，，，
由于函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减，
又当时，，当时，
当时，，当时，，如图所示：
又方程有两个实根，∴或
得或，
即实数的取值范围是：
