课时2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
01考点梳理
1. 一元二次不等式：形如 或 的不等式(其中a≠0)，叫作一元二次不等式．
2. 一元二次不等式的解：一般地，使某个一元二次不等式成立的 叫这个一元二次不等式的
3. 一元二次不等式的解集：一元二次不等式的所有 ，叫作这个一元二次不等式的
4．二次函数、二次方程、二次不等式间的关系
5．求解一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的程序框图
6.实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的个数由判别式___________来确定．设x1、x2是该方程的两个根，则x1＋x2＝____；x1·x2＝____.
7．分式不等式的解法
________含有未知数的不等式，叫作分式不等式．解该类不等式的关键是先把不等式的右边化成0，再把它转化成整式不等式．
8．解有关不等式应用题的步骤
(1) ．用字母表示题中的未知数．
(2)_____________．找出题中的不等量关系，列出关于未知数的不等式(组)．
(3)_____________．运用不等式知识求解不等式(组)，同时要注意未知数在实际问题中的取值范围．
(4)作答．规范地写出答案．
答案：ax2＋bx＋c>0(≥0) ax2＋bx＋c<0(≤0) 未知数的值 解 解组成的集合 解集 Δ＝b2－4ac － 分母里 设未知数 列不等式(组) 解不等式(组)
02考点解读
题型一 解含有参数的一元二次不等式
1．已知不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}
（1）求a、b；
（2）解关于x的不等式ax2+（ac+b）x+bc＜0．
【答案】（1）2，（2）见解析
【解析】（1）由题意知且，是方程的根，
所以，解得，.
（2）不等式可化为，即.
当，即时，不等式的解集为，
当，即时，不等式的解集为，
当，即时，不等式的解集为.
题型二 由一元二次不等式的解确定参数
2．不等式的解集为，则函数的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】∵不等式的解集为，
∴，∴，
，图象开口向下，两个零点为．
故选：C．
题型三 一元二次方程根的分布问题
3．若实数为方程的两根，则的最小值为（ ）
A．8 B．14 C． D．
【答案】A
【解析】，
，或.
.
或，且离对称轴更近，
∴当时，取得最小值8.
故选：A.
题型四 一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系
4．已知函数
(1)若对任意，有，求实数的取值范围；
(2)若能取到不小于0的任意值，求实数的取值范围．
【答案】（1）或；（2）.
【解析】(1) 当时，得
若，不恒成立，不合题意；若，恒成立，符合题意
当时，，解得：或
综上所述：的取值范围为或
(2) 当时，得
若，，符合题意；若，，不合题意
当时，，解得：
综上所述：的取值范围为
题型五 一元二次不等式在实数集上恒成立问题
5．已知不等式的解集为，且不等式的解集为，则的解集是（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】B
【解析】又因为不等式的解集为，
则，
又，，
则不等式即为，即，
由于不等式的解集为，则，解得，.
不等式即为，即为，解得.
故选：B.
题型六 一元二次不等式其他恒成立问题
6．若，不等式恒成立，则有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】作出函数的图象，并截取在内的部分如图所示（实线部分），由图象知，当时，取得最小值，所以
故选：A.
题型七 一元二次不等式有解问题
7．若关于的不等式在内有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】原不等式在内有解等价于在内有解，
设函数，
所以原问题等价于
又当时，，
所以.
故选：A.
题型八 一元二次不等式的应用
8．十九大以来，国家深入推进精准脱贫，加大资金投入，强化社会帮扶，为了更好的服务于人民，派调查组到某农村去考察和指导工作．该地区有100户农民，且都从事水果种植，据了解，平均每户的年收入为2万元．为了调整产业结构，调查组和当地政府决定动员部分农民从事水果加工，据估计，若能动员户农民从事水果加工，则剩下的继续从事水果种植的农民平均每户的年收入有望提高，而从事水果加工的农民平均每户收入将为万元．
（1）若动员户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，求的取值范围；
（2）在（1）的条件下，要使这100户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，求的最大值．
【答案】（1）＜（2）最大值为9
【解析】（1）由题意
得，
由可得.
答：的取值范围为.
（2）由题意得，
所以在上恒成立，
又 ，（当且仅当时取“=”），
所以.
答：的最大值为9.
03题组训练
1．下列不等式：①；②；③；④；⑤；⑥.其中一定是一元二次不等式的有（ ）.
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】D
【解析】根据一元二次不等式的定义不等式①；②是一元二次不等式，
其中当时，不等式和不是一元二次不等式；
不等式是一元三次不等式，不是一元二次不等式；
当时，不等式为一元一次不等式，当时，不等式为二元二次不等式，
所以一定是一元二次不等式的有2个，
故选D.
2．不等式的解集为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由得：，
的解为： 解集为
故选
3．若且则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，则，
因为，则,的解集为,选.
4．若不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是
A． B．
C．或 D．
【答案】A
【解析】对恒成立
原不等式等价于对恒成立
即对恒成立
，解得：
的取值范围为
故选
5．已知关于的不等式.
(1)若不等式的解集为，求的值.
(2)求关于的不等式（其中）的解集.
【答案】(1) ，(2)见解析
【解析】（1）将x=1代入ax2+3x+2=0求出a的值，再求对应不等式的解集，从而求出b的值；
（2）把不等式ax2+3x+2＞﹣ax﹣1化为（ax+3）（x+1）＞0，讨论a的取值，从而求出对应不等式的解集．
试题解析：
(1)将代入，得；
所以不等式为，
再转化为 ，
所以原不等式解集为，
所以；
(2)不等式可化为，
即 ；
当，，不等式的解集为或；
当时，,不等式的解集为；
当时，,不等式的解集为或；
综上所述，原不等式解集为
①当时，或,
②当时，，
③当时，或.课时2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
01考点梳理
1. 一元二次不等式：形如 或 的不等式(其中a≠0)，叫作一元二次不等式．
2. 一元二次不等式的解：一般地，使某个一元二次不等式成立的 叫这个一元二次不等式的
3. 一元二次不等式的解集：一元二次不等式的所有 ，叫作这个一元二次不等式的
4．二次函数、二次方程、二次不等式间的关系
5．求解一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的程序框图
6.实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的个数由判别式___________来确定．设x1、x2是该方程的两个根，则x1＋x2＝____；x1·x2＝____.
7．分式不等式的解法
________含有未知数的不等式，叫作分式不等式．解该类不等式的关键是先把不等式的右边化成0，再把它转化成整式不等式．
8．解有关不等式应用题的步骤
(1) ．用字母表示题中的未知数．
(2)_____________．找出题中的不等量关系，列出关于未知数的不等式(组)．
(3)_____________．运用不等式知识求解不等式(组)，同时要注意未知数在实际问题中的取值范围．
(4)作答．规范地写出答案．
02考点解读
题型一 解含有参数的一元二次不等式
1．已知不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}
（1）求a、b；
（2）解关于x的不等式ax2+（ac+b）x+bc＜0．
题型二 由一元二次不等式的解确定参数
2．不等式的解集为，则函数的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
题型三 一元二次方程根的分布问题
3．若实数为方程的两根，则的最小值为（ ）
A．8 B．14 C． D．
题型四 一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系
4．已知函数
(1)若对任意，有，求实数的取值范围；
(2)若能取到不小于0的任意值，求实数的取值范围．
题型五 一元二次不等式在实数集上恒成立问题
5．已知不等式的解集为，且不等式的解集为，则的解集是（ ）
A． B． C． D．不能确定
题型六 一元二次不等式其他恒成立问题
6．若，不等式恒成立，则有（ ）
A． B．
C． D．
题型七 一元二次不等式有解问题
7．若关于的不等式在内有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型八 一元二次不等式的应用
8．十九大以来，国家深入推进精准脱贫，加大资金投入，强化社会帮扶，为了更好的服务于人民，派调查组到某农村去考察和指导工作．该地区有100户农民，且都从事水果种植，据了解，平均每户的年收入为2万元．为了调整产业结构，调查组和当地政府决定动员部分农民从事水果加工，据估计，若能动员户农民从事水果加工，则剩下的继续从事水果种植的农民平均每户的年收入有望提高，而从事水果加工的农民平均每户收入将为万元．
（1）若动员户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，求的取值范围；
（2）在（1）的条件下，要使这100户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，求的最大值．
03题组训练
1．下列不等式：①；②；③；④；⑤；⑥.其中一定是一元二次不等式的有（ ）.
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
2．不等式的解集为
A． B．
C． D．
3．若且则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
4．若不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是
A． B．
C．或 D．
5．已知关于的不等式.
(1)若不等式的解集为，求的值.
(2)求关于的不等式（其中）的解集.
