课时2.2 基本不等式
01考点梳理
知识点一 基本不等式
(1)基本不等式
如果a，b都是非负数，那么___，当且仅当a＝b时，等号成立，称上述不等式为基本不等式，其中称为a，b的_____________，称为a，b的___________．
(2)基本不等式的文字叙述
两个非负数算术平均数_______它们的几何平均数．
(3)意义
①几何意义：半径________半弦．
②数列意义：两个正数的______中项不小于它们的______中项．
知识点二 基本不等式的证明
一般地，对于任意实数a，b，我们有a2＋b2≥2ab，当且仅当______时，等号成立．特别地，如果a>0，b>0，我们用____，____分别代替a，b可得a＋b≥______，通常把上式写作≤(a>0，b>0)．
知识点三 两个常用命题
x、y都为正数时，下面的命题成立．
(1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值________；
(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值________．
知识点四 基本不等式的变形公式
(1)ab≤；(2)2(a2＋b2)≥(a＋b)2；(3)()2≥－1(b≠0)；(4)ab≤()2；(5)a＋≥2(a∈R＋)．
知识点五 不等式≥ab和≥的区别与联系
(1)≥ab与≥成立的条件不同．前者中的a、b为___________，后者中的a、b只能取___________．
(2)两个不等式都是____________时取到等号，在求最值时经常用到这一点．
答案：≥ 算术平均数 几何平均数 不小于 不小于 等差 等比 a＝b 任意实数 非负实数 当且仅当a＝b
02考点解读
题型一 由基本不等式比较大小
1．设，其中，是正实数，且，，则与的大小关系是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，都是正实数，且，
∴，即，
又∵，
，即，
∴，
故选B.
题型二 由基本不等式证明不等关系
2．若，，，则下列不等式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对于A，因为，所以，所以A不正确；
对于B，若，设，得，
所以
当且仅当时，等号成立，所以B正确；
对于C，因为，由，所以，即，当且仅当时，等号成立，所以C不正确；
对于D，由上面可知，则，得，所以D不正确；
故选：B
题型三 基本不等式求积的最大值
3．如图，在半径为4（单位：cm）的半圆形（为圆心）铁皮上截取一块矩形材料，其顶点在直径上，顶点在圆周上，则矩形面积的最大值为（ ）（单位：cm2）.
A．8 B．10
C．16 D．20
【答案】C
【解析】设BC=x，连结OC，得OB=，所以AB＝2，
所以矩形面积S＝2，x∈（0，4），
S＝2 ．
即x2＝16﹣x2，即x＝2时取等号，此时
故选：C
题型四 基本不等式求和的最小值
4．已知ab＞0，则的最小值为_____.
【答案】4.
【解析】解：根据题意，ab＞0，故，当且仅当a＝2b时等号成立，
则原式，又由ab＞0，则4ab+1＞1，
则有4，
当且仅当4ab+1＝2，即4ab＝1时等号成立，
综合可得：的最小值为4，
当且仅当a＝2b时等号成立
故答案为：4.
题型五 二次与二次（或一次）的商式的最值问题
5．（1）若，且，求的最小值；
（2）若，求的最大值．
【答案】（1）18；（2）-1.
【解析】（1）由，得，
，当且仅当时取等号
故当，取最小值18.
（2）若，则
当且仅当时取等号
.
即若，的最大值为．
题型六 条件等式求最值
6．已知0＜a＜1，0＜b＜1，且，则的最小值是______．
【答案】
【解析】已知，
由得，即，
令，
所以，所以，
故
，
当且仅当即时，取等号.
故答案为：．
题型七 基本不等式的恒成立问题
7．已知，为正实数，且，若对于满足条件的、恒成立，则的取值范围为.（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】将变形为，
所以，
当且仅当时，即时取等号.
恒成立等价于恒成立，即，所以
故选：A.
题型八 对勾函数求最值
8．设，均为负数，且，那么有（ ）.
A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值
【答案】D
【解析】设，，则，.由得.
由函数的图像得，当时，在处取得最小值，
，当且仅当时取等号成立.
综上可得，有最小值.
故选D.
题型九 基本不等式的应用
9．《几何原本》中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成为了后世数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．如图所示的图形，在上取一点，使得，，过点作交圆周于，连接．作交于．由可以证明的不等式为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】解：由射影定理可知，即，
由得，
故选：．
03题组训练
1．已知、，求证：.
【答案】证明见解析
【解析】，，即.
2．已知都是正数，且.
求证：（1）；
（2）.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】（1），，，由于当且仅当，即时取等号，但，因此不能取等号，；
（2），，，当且仅当时取等号，但，因此不能取等号，.
3．用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长.当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
【答案】当矩形菜园平行于墙的一边的长为，与之相邻的边的长为时，菜园的面积最大，最大面积是.
【解析】设矩形菜园平行于墙的一边的长为，与之相邻的边的长为，菜园的面积为，
则，.
由基本不等式得.
当，即，时，菜园的面积最大，最大面积是.
因此，当矩形菜园平行于墙的一边的长为，与之相邻的边的长为时，菜园的面积最大，最大面积是.
4．某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为，房屋正面每平方米的造价为元，房屋侧面每平方米的造价为元，屋顶的造价为元，如果墙高为，且不计房屋背面和地面的费用，那么怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？
【答案】当房屋的正面边长为，侧面边长为时，房屋总造价最低，为元.
【解析】设房屋的正面边长为，侧面边长为，总造价为元，则，即，
.
当时，即当时，有最小值，最低总造价为元.
答：当房屋的正面边长为，侧面边长为时，房屋总造价最低，为元.
5．已知、、都是正数，求证：.
【答案】见解析
【解析】，，，由基本不等式可得，，，
由不等式的性质可得，
当且仅当时等号成立.
6．设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，设，求的最大面积及相应的值.
【答案】最大面积是，.
【解析】如图，设，由矩形的周长为，可知.设，则，
，，，，
.
在中，由勾股定理得，即，
解得，所以.
所以的面积为
.
由基本不等式与不等式的性质，得，
当且仅当时，即当时，的面积最大，面积的最大值为.课时2.2 基本不等式
01考点梳理
知识点一 基本不等式
(1)基本不等式
如果a，b都是非负数，那么___，当且仅当a＝b时，等号成立，称上述不等式为基本不等式，其中称为a，b的_____________，称为a，b的___________．
(2)基本不等式的文字叙述
两个非负数算术平均数_______它们的几何平均数．
(3)意义
①几何意义：半径________半弦．
②数列意义：两个正数的______中项不小于它们的______中项．
知识点二 基本不等式的证明
一般地，对于任意实数a，b，我们有a2＋b2≥2ab，当且仅当______时，等号成立．特别地，如果a>0，b>0，我们用____，____分别代替a，b可得a＋b≥______，通常把上式写作≤(a>0，b>0)．
知识点三 两个常用命题
x、y都为正数时，下面的命题成立．
(1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值________；
(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值________．
知识点四 基本不等式的变形公式
(1)ab≤；(2)2(a2＋b2)≥(a＋b)2；(3)()2≥－1(b≠0)；(4)ab≤()2；(5)a＋≥2(a∈R＋)．
知识点五 不等式≥ab和≥的区别与联系
(1)≥ab与≥成立的条件不同．前者中的a、b为___________，后者中的a、b只能取___________．
(2)两个不等式都是____________时取到等号，在求最值时经常用到这一点．
02考点解读
题型一 由基本不等式比较大小
1．设，其中，是正实数，且，，则与的大小关系是（ ）.
A． B． C． D．
题型二 由基本不等式证明不等关系
2．若，，，则下列不等式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
题型三 基本不等式求积的最大值
3．如图，在半径为4（单位：cm）的半圆形（为圆心）铁皮上截取一块矩形材料，其顶点在直径上，顶点在圆周上，则矩形面积的最大值为（ ）（单位：cm2）.
A．8 B．10
C．16 D．20
题型四 基本不等式求和的最小值
4．已知ab＞0，则的最小值为_____.
题型五 二次与二次（或一次）的商式的最值问题
5．（1）若，且，求的最小值；
（2）若，求的最大值．
题型六 条件等式求最值
6．已知0＜a＜1，0＜b＜1，且，则的最小值是______．
题型七 基本不等式的恒成立问题
7．已知，为正实数，且，若对于满足条件的、恒成立，则的取值范围为.（ ）
A． B．
C． D．
题型八 对勾函数求最值
8．设，均为负数，且，那么有（ ）.
A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值
题型九 基本不等式的应用
9．《几何原本》中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成为了后世数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．如图所示的图形，在上取一点，使得，，过点作交圆周于，连接．作交于．由可以证明的不等式为
A． B．
C． D．
03题组训练
1．已知、，求证：.
2．已知都是正数，且.
求证：（1）；
（2）.
3．用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长.当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
4．某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为，房屋正面每平方米的造价为元，房屋侧面每平方米的造价为元，屋顶的造价为元，如果墙高为，且不计房屋背面和地面的费用，那么怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？
5．已知、、都是正数，求证：.
6．设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，设，求的最大面积及相应的值.
