课时2.1 （考点讲解）等式性质与不等式性质
01考点梳理
（一）基本事实
两个实数a，b，其大小关系有三种可能，即a>b，a＝b，a依据 如果a>b . 如果a＝b . 如果a结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的 与 的大小
重要不等式
a，b∈R，有a2＋b2 2ab，当且仅当a＝b时，等号成立.
（三）等式的基本性质
1.如果a＝b，那么 .
2.如果a＝b，b＝c，那么 .
3.如果a＝b，那么a±c＝b±c.
4.如果a＝b，那么ac＝bc.
5.如果a＝b，c≠0，那么＝
（四）不等式的性质
序号 性质 注意事项
1 a>b b a
2 a>b，b>c a>c 不可逆
3 a>b a＋c b＋c 可逆
4 a>b，c>0 _______ a>b，c<0 _______ c的符号
5 a>b，c>d ___________ 同向
6 a>b>0，c>d>0 ________ 同向
7 a>b>0 an bn(n∈N，n≥2) 同正
02考点解读
题型一 由不等式性质比较数（式）大小
1．若，，且，，则，，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
题型二 作差法比较代数式大小
2．已知a，b为非零实数，且a＜b，则下列命题成立的是（ ）
A．a2＜b2 B．a2b＜ab2
C． D．
3．已知，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
题型二 作差法比较代数式大小
4．已知a，b为非零实数，且a＜b，则下列命题成立的是（ ）
A．a2＜b2 B．a2b＜ab2
C． D．
题型三 作商法比较代数式大小
5．比较下列各组中两个代数式的大小：
（1）与；
（2）当，且时，与.
题型四 由不等式性质证明不等式
6．若，,
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）在（2）中的不等式中，能否找到一个代数式，满足所求式？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由.
03题组训练
1．下列命题为真命题的是
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
2．用不等号“>”或“<”填空:
(1)如果,,那么______;
(2)如果,,那么____;
(3)如果,那么____;
(4)如果,那么____.
3．比较和的大小.
4．比较下列各组中两个代数式的大小：
（1）与；
（2）与；
（3）当时，与；
（4）与.
5．已知，，，求证：．
6．火车站有某公司待运的甲种货物，乙种货物，现计划用A，B两种型号的货厢共50节运送这批货物，已知35t甲种货物和15乙种货物可装满一节A型货厢，25t甲种货物和35乙种货物可装满一节B型货厢，据此安排A，B两种货厢的节数，共有几种方案？若每节A型货厢的运费是0.5万元，每节B型货用的运费是0.8万元，哪种方案的运费较少？课时2.1 （考点讲解）等式性质与不等式性质
01考点梳理
（一）基本事实
两个实数a，b，其大小关系有三种可能，即a>b，a＝b，a依据 如果a>b . 如果a＝b . 如果a结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的 与 的大小
重要不等式
a，b∈R，有a2＋b2 2ab，当且仅当a＝b时，等号成立.
（三）等式的基本性质
1.如果a＝b，那么 .
2.如果a＝b，b＝c，那么 .
3.如果a＝b，那么a±c＝b±c.
4.如果a＝b，那么ac＝bc.
5.如果a＝b，c≠0，那么＝
（四）不等式的性质
序号 性质 注意事项
1 a>b b a
2 a>b，b>c a>c 不可逆
3 a>b a＋c b＋c 可逆
4 a>b，c>0 _______ a>b，c<0 _______ c的符号
5 a>b，c>d ___________ 同向
6 a>b>0，c>d>0 ________ 同向
7 a>b>0 an bn(n∈N，n≥2) 同正
答案：（一）a－b>0 a－b＝0 a－b<0 （二）≥ （三）b＝a a＝c （四）< > ac>bc
acb＋d ac>bd >
02考点解读
题型一 由不等式性质比较数（式）大小
1．若，，且，，则，，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为，，所以，
因为，，所以或，而，，所以．
所以．
故选：A．
题型二 作差法比较代数式大小
2．已知a，b为非零实数，且a＜b，则下列命题成立的是（ ）
A．a2＜b2 B．a2b＜ab2
C． D．
【答案】C
【解析】对于A，取，则，但，故A错误.
对于B，取，则，但，故B错误.
而，故D错误.
对于C，因为，故，故C正确.
故选：C.
3．已知，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】对于A项，，故A正确；
对于B项，，结合可得，故B正确；
对于C项，，，即，故C正确；
对于D项，当时，，故D错误；
故选：ABC
题型二 作差法比较代数式大小
4．已知a，b为非零实数，且a＜b，则下列命题成立的是（ ）
A．a2＜b2 B．a2b＜ab2
C． D．
【答案】C
【解析】对于A，取，则，但，故A错误.
对于B，取，则，但，故B错误.
而，故D错误.
对于C，因为，故，故C正确.
故选：C.
题型三 作商法比较代数式大小
5．比较下列各组中两个代数式的大小：
（1）与；
（2）当，且时，与.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1），
因此，；
（2）.
①当时，即，时，，；
②当时，即，时，，.
综上所述，当，且时，.
题型四 由不等式性质证明不等式
6．若，,
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）在（2）中的不等式中，能否找到一个代数式，满足所求式？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）能，.
【解析】（1）因为，且，所以，所以.
（2）因为，所以．又因为 ，所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得．所以．
所以，
因为，所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得．
所以，
所以由两边都是正数的同向不等式的相乘可得.
（3）因为，，
所以，
因为，，
所以，
所以.
所以在（2）中的不等式中，能找到一个代数式满足题意.
03题组训练
1．下列命题为真命题的是
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【解析】当时，A显然不成立；
若时，则，即B正确；
当时，，显然C不成立；
当时，，，显然D不成立；
故选：B.
2．用不等号“>”或“<”填空:
(1)如果,,那么______;
(2)如果,,那么____;
(3)如果,那么____;
(4)如果,那么____.
【答案】> < < <
【解析】解析:(1),.,.
(2),.,,.
(3),,,,,
,即.
(4),所以,.于是,即,即.
,.
故答案为:(1)>；(2)<；(3)<；(4)<
3．比较和的大小.
【答案】.
【解析】解： -
=
=-3<0
所以
4．比较下列各组中两个代数式的大小：
（1）与；
（2）与；
（3）当时，与；
（4）与.
【答案】（1）.（2）.（3）.（4）.
【解析】解：（1）因为，所以.
（2）因为，所以.
（3）因为，所以当时，.
（4）因为，所以.
5．已知，，，求证：．
【答案】
【解析】，
，
又，
，
，
又，
．
6．火车站有某公司待运的甲种货物，乙种货物，现计划用A，B两种型号的货厢共50节运送这批货物，已知35t甲种货物和15乙种货物可装满一节A型货厢，25t甲种货物和35乙种货物可装满一节B型货厢，据此安排A，B两种货厢的节数，共有几种方案？若每节A型货厢的运费是0.5万元，每节B型货用的运费是0.8万元，哪种方案的运费较少？
【答案】见解析
【解析】解：设安排A型货厢x节，B型货厢y节，总运费为z
所以，所以
又因为，所以或或.
所以共有三种方案，方案一安排A型货厢28节，B型货厢22节；
方案二安排A型货厢29节，B型货厢21节；
方案三安排A型货厢30节，B型货厢20节.
当时，总运费（万元）此时运费较少.
