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矩形的性质与判定第3课时课后作业
一．基础性作业（必做题）
1．已知 ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（ ）
A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AB⊥BC
2．如图1，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB＝5，AD＝12，则OM+OB的长为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
3．如图2，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，设AC＝12，BD＝16，则OE的长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
4．如图3，已知矩形ABCD，将△BCD沿对角线BD折叠，记点C的对应点为C'，若∠ADC'＝20°，则∠BDC的度数为（ ）
A．55° B．50° C．60° D．65°
5．如图4，已知矩形ABCD，AB ( http: / / www.21cnjy.com )＝6cm，AD＝8cm，过对角线BD的中点O作BD的垂直平分线EF，分别交AD，BC于点E，F，则AE的长为 cm．
6．如图5，在△ABC中 ( http: / / www.21cnjy.com )，AB＝AC＝5，BC＝6，AD为BC边上的高，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AC，AE与DE交于点E，AB与DE交于点F，连接BE．
（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）求四边形AEBD的面积．
二、拓展性作业（选做题）
1．如图6，在平行四边形A ( http: / / www.21cnjy.com )BCD中，P是AB上一点（不与点A，B重合），CP＝CD，过点P作PQ⊥CP，交AD于点Q，连接CQ，∠BPC＝∠AQP．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）当AP＝3，AD＝9时，求AQ和CQ的长．
2．如图7，在Rt△AB ( http: / / www.21cnjy.com )C中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，求AM的最小值．
3．如图8，四边形ABCD ( http: / / www.21cnjy.com )中，AC＝6，BD＝8且AC⊥BD．顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1；再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2…如此进行下去得到四边形AnBn nDn．
（1）证明：四边形A1B1C1D1是矩形；
（2）写出四边形A1B1C1D1和四边形A2B2C2D2的面积；
（3）写出四边形AnBn nDn的面积；
（4）求四边形A5B5C5D5的周长．
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矩形的性质与判定第3课时参考答案
一．基础性作业（必做题）
1．B； 2．C； 3．C； 4．A；5．；
6．（1）证明：∵AE∥BC，BE∥AC，
∴四边形AEDC是平行四边形．
∴AE＝CD．
在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的高，
∴∠ADB＝90°，BD＝CD．
∴BD＝AE．
∴四边形AEBD是矩形．
（2）解：在Rt△ADC中，∠ADB＝90°，AC＝5，BD＝CD＝BC＝3，
∴AD＝＝4．
∴四边形AEBD的面积＝BD AD═3×4＝12．
二、拓展性作业（选做题）
1．（1）证明：∵∠BPQ＝∠BPC+∠CPQ＝∠A+∠AQP，∠BPC＝∠AQP，
∴∠CPQ＝∠A，
∵PQ⊥CP，
∴∠A＝∠CPQ＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠CPQ＝90°，
在Rt△CDQ和Rt△CPQ中，
CQ＝CQ
CD＝CP ，
∴Rt△CDQ≌Rt△CPQ（HL），
∴DQ＝PQ，
设AQ＝x，则DQ＝PQ＝9﹣x，
在Rt△APQ中，AQ2+AP2＝PQ2，
∴x2+32＝（9﹣x）2，
解得：x＝4，
∴AQ的长是4．
设CD＝AB＝CP＝y，则PB＝y﹣3，在Rt△PCB中，根据勾股定理列方程，求出y＝15．
在Rt△CDQ中，CQ＝．
2．解：连接AP，如图所示：
∵∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，
∴BC＝＝10，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴四边形AFPE是矩形，
∴EF＝AP，EF与AP互相平分，
∵M是EF的中点，
∴M为AP的中点，
∴AM＝AP，
∵AP⊥BC时，AP最短，同样AM也最短，
∴当AP⊥BC时，AP＝＝4.8，
∴AP最短时，AP＝4.8，
∴当AM最短时，AM＝AP＝2.4．
即AM的最小值为2.4．
3. （1）证明：∵点A1，D1分别是AB、AD的中点，
∴A1D1是△ABD的中位线
∴A1D1∥BD，A1D1＝BD，
同理：B1C1∥BD，B1C1＝BD
∴A1D1∥B1C1，A1D1＝B1C1＝BD
∴四边形A1B1C1D1是平行四边形．
∵AC⊥BD，AC∥A1B1，BD∥A1D1，
∴A1B1⊥A1D1即∠B1A1D1＝90°
∴四边形A1B1C1D1是矩形；
（2）解：由三角形的中位线的性质知，B1C1＝BD＝4，B1A1＝AC＝3，
得：四边形A1B1C1D1的面积为12；四边形A2B2C2D2的面积为6；
（3）解：由三角形的中位线的性质可以推得，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，故四边形AnBn nDn的面积为；
（4）解：方法一：由（1）得矩形A1B1C1D1的长为4，宽为3．
∵矩形A5B5C5D5∽矩形A1B1C1D1
∴可设矩形A5B5C5D5的长为4x，宽为3x，则，
解得
∴，
∴矩形A5B5C5D5的周长＝
方法二：矩形A5B5C5D5的面积/矩形A1B1C1D1的面积
＝（矩形A5B5C5D5的周长）2/（矩形A1B1C1D1的周长）2
即：12＝（矩形A5B5C5D5的周长）2：142
∴矩形A5B5C5D5的周长＝．
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