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正方形性质的判定第2课时课后作业
一．基础性作业（必做题）
1．如图1，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，添加下列条件中的一个，能使菱形ABCD成为正方形的是（ ）
∠ABC＝90° B．AC＝AD
C．BD＝AB D．OD＝AC
2．四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，下列条件能使这个四边形是正方形的是（ ）
A．∠D＝90° B．AB＝CD
C．BC＝CD D．AC＝BD
3．下列说法不正确的是（ ）
A．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
B．对角线相等的菱形是正方形
C．对角线互相垂直的矩形是正方形
D．一条对角线平分一组对角的矩形是正方形
4．矩形各角的角平分线交成的四边形是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
5．如图2，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，∠BAE＝∠BCE，∠AED＝∠CED．
求证：四边形ABCD是正方形．
6．已知：如图3，点D是△ABC中BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是点EF，且BF＝CE．
（1）求证：Rt△BDF≌Rt△CDE
（2）问：△ABC满足什么条件时，
四边形AEDF是正方形，并说明理由．
二、拓展提高题（选做题）
1．在平行四边形ABCD中，对角线AC与 ( http: / / www.21cnjy.com )BD相交于点O．要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了五组条件：①AB＝AD，且AC＝BD；②AB⊥AD，且AC⊥BD；③AB⊥AD，且AB＝AD；④AB＝BD，且AB⊥BD；⑤OB＝OC，且OB⊥OC．其中正确的是________（填写序号）．
2. 如图4，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点．
（1）求证：BM＝CM．
（2）当AB：AD的值为多少时，四边形MENF是正方形？请说明理由．
3. 如图5，以△ABC的各边，在边BC的同侧分别作三个正方形ABDI，BCFE，ACHG．
（1）求证：△BDE≌△BAC；
（2）求证：四边形ADEG是平行四边形．
（3）直接回答下面两个问题，不必证明：
①当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是矩形？
②当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是正方形？
D
O
C
A
B
图1
图1
图2
图3
图4
图5
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正方形性质的判定第2课时参考答案
一．基础性作业（必做题）
1．A． 2．C． 3．A． 4．D．
5．证明：∵∠CED是△BCE的外角，∠AED是△ABE的外角，
∴∠CED＝∠CBE+∠BCE，∠AED＝∠BAE+∠ABE，
∵∠BAE＝∠BCE，∠AED＝∠CED，
∴∠CBE＝∠ABE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠BCD＝∠BAD＝90°，AB＝CD，
∴∠CBE＝∠ABE＝45°，
∴△ABD与△BCD是等腰直角三角形，
∴AB＝AD＝BC＝CD，
∴四边形ABCD是正方形．
6（1）证明：∵DE⊥AC，DF⊥AB，
∴∠BDF＝∠CED＝90°
∵点D是△ABC中BC边上的中点，
∴BD＝CD，在Rt△BDF和Rt△CDF中，，
∴Rt△BDF≌Rt△CDE（HL）；
（2）解：当△ABC满足∠A＝90°（答案不唯一），四边形AEDF是正方形；理由如下：
∵∠BDF＝∠CED＝90°，∠A＝90°，
∴四边形AEDF是矩形，
∵Rt△BDF≌Rt△CDE，
∴DE＝DF，
∴四边形AEDF是正方形．
二、拓展提高题（选做题）
1． ①②③⑤ ．
2．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC，∠A＝∠D＝90°，
∵M为AD中点，
∴AM＝DM，
在△ABM和△DCM中，
，
∴△ABM≌△DCM（SAS），
∴BM＝CM；
（2）解：当AB：AD＝1：2时，四边形MENF是正方形，理由如下：
∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点，
∴NE∥CM，NE＝CM，
∵MF＝CM，
∴NE＝FM，
∵NE∥FM，
∴四边形MENF是平行四边形，
由（1）知△ABM≌△DCM，
∴BM＝CM，
∵E、F分别是BM、CM的中点，
∴ME＝MF，
∴平行四边形MENF是菱形；
∵M为AD中点，
∴AD＝2AM，
∵AB：AD＝1：2，
∴AD＝2AB，
∴AM＝AB，
∵∠A＝90°，
∴∠ABM＝∠AMB＝45°，
同理∠DMC＝45°，
∴∠EMF＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∵四边形MENF是菱形，
∴菱形MENF是正方形．
3. （1）证明：∵四边形ABDI、四边形BCFE、四边形ACHG都是正方形，
∴AC＝AG，AB＝BD，BC＝BE，∠GAC＝∠EBC＝∠DBA＝90°．
∴∠ABC＝∠EBD（同为∠EBA的余角）．
在△BDE和△BAC中，
，
∴△BDE≌△BAC（SAS），
（2）∵△BDE≌△BAC，
∴DE＝AC＝AG，∠BAC＝∠BDE．
∵AD是正方形ABDI的对角线，
∴∠BDA＝∠BAD＝45°．
∵∠EDA＝∠BDE﹣∠BDA＝∠BDE﹣45°，
∠DAG＝360°﹣∠GAC﹣∠BAC﹣∠BAD
＝360°﹣90°﹣∠BAC﹣45°
＝225°﹣∠BAC
∴∠EDA+∠DAG＝∠BDE﹣45°+225°﹣∠BAC＝180°
∴DE∥AG，
∴四边形ADEG是平行四边形（一组对边平行且相等）．
（3）①当四边形ADEG是矩形时，∠DAG＝90°．
则∠BAC＝360°﹣∠BAD﹣∠DAG﹣∠GAC＝360°﹣45°﹣90°﹣90°＝135°，
即当∠BAC＝135°时，平行四边形ADEG是矩形；
②当四边形ADEG是正方形时，∠DAG＝90°，且AG＝AD．
由①知，当∠DAG＝90°时，∠BAC＝135°．
∵四边形ABDI是正方形，
∴AD＝AB．
又∵四边形ACHG是正方形，
∴AC＝AG，
∴AC＝AB．
∴当∠BAC＝135°且AC＝AB时，四边形ADEG是正方形．
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