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课时3.1.2 函数的表示方法
01考点梳理
（一）函数的表示法
（二）分段函数
1.一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的 的函数.
2.分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的 ；各段函数的定义域的交集是 .
3.作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象.
02考点解读
题型一 求函数的解析式
1．定义在R上的函数满足，则______.
题型二 函数的表示法
2．在函数 的图象上有一点，此函数与x轴、直线及围成图形如图阴影部分的面积为S，则S与t的函数关系图可表示为
A． B．C． D．
题型三 分段函数问题
3．已知函数，若对任意，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
题型四 函数图像问题
4．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数图像的特征.我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（ ）
A． B．
C． D．
03题组训练
1．一个面积为100 cm2的等腰梯形，上底长为x cm，下底长为上底长的3倍，则把它的高y表示成x的函数为( )
A．y＝50x(x>0) B．y＝100x(x>0)
C．y＝(x>0) D．y＝(x>0)
2．某同学在一学期的5次大型考试中的数学成绩（总分120分）如下表所示：
考试次数 1 2 3 4 5
成绩/分 90 102 106 105 106
则下列说法正确的是
A．成绩不是考试次数的函数
B．成绩是考试次数的函数
C．考试次数是成绩的函数
D．成绩不一定是考试次数的函数
3．若函数则函数的值域是
A． B． C． D．
4．已知A，B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A地，汽车离开A地的距离x(千米)与时间t(小时)之间的函数表达式是( )
A． B．
C． D．
5．一个弹簧不挂物体时长，挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比如果挂上物体后弹簧总长是，则弹簧总长与所挂物体质量之间的函数解析式为______（注：弹簧始终在弹性限度内）
6．已知函数f（x）的图象如图，则f（x）的解析式为____________．
7．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度（单位：千克/年）是养殖密度（单位：尾/立方米）的函数.当时，的值为2千克/年；当时，是的一次函数；当时，因缺氧等原因，的值为0千克/年.
（1）当时，求关于的函数表达式.
（2）当养殖密度为多少时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？并求出最大值.
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01考点梳理
（一）函数的表示法
（二）分段函数
1.一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的 的函数.
2.分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的 ；各段函数的定义域的交集是 .
3.作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象.
答案：对应关系 并集 空集
02考点解读
题型一 求函数的解析式
1．定义在R上的函数满足，则______.
【答案】2005.
【解析】令，则，
从而有，
所以
解得，
所以，
故答案为：.
题型二 函数的表示法
2．在函数 的图象上有一点，此函数与x轴、直线及围成图形如图阴影部分的面积为S，则S与t的函数关系图可表示为
A． B．C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以其对应图象为B,
故选：B
题型三 分段函数问题
3．已知函数，若对任意，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】分和两种情况讨论：
（1）当时，等价于恒成立，因为时，恒成立，所以；
（2）当时，等价于恒成立，
即或 恒成立.
也就是或恒成立
而当时，，，
所以或，即或.
综合（1）（2）可知，的取值范围是.
故选：B.
题型四 函数图像问题
4．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数图像的特征.我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由图知的定义域为，排除选项B、D，
又因为当时，，不符合图象，所以排除C，
故选：A
03题组训练
1．一个面积为100 cm2的等腰梯形，上底长为x cm，下底长为上底长的3倍，则把它的高y表示成x的函数为( )
A．y＝50x(x>0) B．y＝100x(x>0)
C．y＝(x>0) D．y＝(x>0)
【答案】C
【解析】由梯形的面积公式得，化简得.故选C.
2．某同学在一学期的5次大型考试中的数学成绩（总分120分）如下表所示：
考试次数 1 2 3 4 5
成绩/分 90 102 106 105 106
则下列说法正确的是
A．成绩不是考试次数的函数
B．成绩是考试次数的函数
C．考试次数是成绩的函数
D．成绩不一定是考试次数的函数
【答案】B
【解析】题表中列出了两个变量：考试次数和成绩之间的对应关系，
因为每个x有且仅有一个y与之对应，所以根据函数的定义可得B正确.
因为y=106时有两个x与之对应，所以根据函数的定义可得C错误.
故选B.
3．若函数则函数的值域是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为所以函数的值域是.
故选A.
4．已知A，B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A地，汽车离开A地的距离x(千米)与时间t(小时)之间的函数表达式是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】依题意，到达地需要＝2.5小时；
所以当时，；
当时，；
当时，．
所以汽车离开A地的距离与时间之间的函数表达式是
.
5．一个弹簧不挂物体时长，挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比如果挂上物体后弹簧总长是，则弹簧总长与所挂物体质量之间的函数解析式为______（注：弹簧始终在弹性限度内）
【答案】
【解析】设所求函数解析式为，把，代入，得，解得，所以所求的函数解析式为.
故填：.
6．已知函数f（x）的图象如图，则f（x）的解析式为____________．
【答案】f（x）=
【解析】如图，当–1≤x<0时，设f（x）=ax+b，由题意，解得：，故f（x）=x+1，
x∈[–1，0）；0≤x≤1时，设f（x）=kx，则k=–1，f（x）=–x，故f（x）=，故答案为f（x）=．
7．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度（单位：千克/年）是养殖密度（单位：尾/立方米）的函数.当时，的值为2千克/年；当时，是的一次函数；当时，因缺氧等原因，的值为0千克/年.
（1）当时，求关于的函数表达式.
（2）当养殖密度为多少时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？并求出最大值.
【答案】（1）（2）当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米.
【解析】（1）由题意得当时，.
当时，设，
由已知得解得所以.
故函数
（2）设鱼的年生长量为千克/立方米，依题意，由（1）可得，
当时，，；
当时，，.
所以当时，的最大值为12.5，
即当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米.
