课时3.2.2 函数的奇偶性
01考点梳理
知识点一 偶函数与奇函数
1．偶函数的概念
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．
2．奇函数的概念
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I，
且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．
3．奇、偶函数的图象特征
(1)奇函数的图象关于________成中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．
(2)偶函数的图象关于________对称；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数．
知识点二 用奇偶性求解析式
如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，求关于原点的对称区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路：
(1)“求哪个设哪个”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设.
(2)要利用已知区间的解析式进行代入.
(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x).
知识点三 函数的奇偶性与单调性
1.若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a2.若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a答案：原点 y轴 单调递增 一致(相同) 单调递减 相反
02考点解读
题型一 函数奇偶性的判断
1．已知函数，则（ ）
A．的极值点不止一个 B．的最小值为
C．的图象关于轴对称 D．在上单调递减
【答案】BCD
【解析】因为，
，所以，
函数的定义域为，，
所以，函数为偶函数，它的图象关于轴对称，C选项正确；
当时，函数单调递增；当时，函数单调递减.
所以，函数的极值点有且只有一个，A选项错误，D选项正确；
由上可知，，B选项正确.
故选：BCD.
题型二 由奇偶性求函数解析式
2．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，其中.
（1）求函数的解析式;
（2）若函数在区间不单调，求出实数的取值范围;
（3）当时，若，不等式成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】解：（1）由是定义在上的奇函数，所以；
又时，，
所以时，，所以
所以的解析式为；
（2）①若，由图在上递增；
②，在上先减再增
综上，；
（3）当时，，可得函数是定义域上的单调增函数
又是定义域上的奇函数，
由，不等式成立，可得
，
.
题型三 函数奇偶性的应用
3．已知函数对任意的，都有，函数是奇函数，当时，，则方程在区间内的所有零点之和为_____________.
【答案】4
【解析】∵函数是奇函数，∴函数的图象关于点对称，
∴把函数的图象向右平移1个单位可得函数的图象，
即函数的图象关于点对称，
则，
又∵，
∴，从而，
∴，即，
∴函数的周期为2，且图象关于直线对称，
画出函数的图象如图所示：
∴结合图象可得区间内有8个零点，且所有零点之和为.
故答案为：4.
题型四 抽象函数的奇偶性
4．f(x)是定义在R上的函数，对x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且当x>0时，f(x)<0，且f(-1)=1.
（1）求f(0)，f(-2)的值；
（2）求证：f(x)为奇函数；
（3）求f(x)在[-2，4]上的最值.
【答案】（1）f(0)=0，f(-2)=2；（2）证明见解析；（3）f(x)max=2，f(x)min=-4.
【解析】（1）f(x)的定义域为R，
令x=y=0，则f(0)=f(0)+f(0)，∴f(0)=0，
∵f(-1)=1，∴f(-2)=f(-1)+f(-1)=2，
（2）令y=-x，则f(x-x)=f(x)+f(-x)，
∴f (-x)+f (x)=f(0)=0，∴f(-x)=-f(x)，∴f (x)是奇函数.
（3）任取x2>x1，
f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)
∵x2-x1>0，∴f(x2-x1)<0，∴f(x2)-f(x1)<0，
即f(x2)∴f（2）= -f (-2) = -2，
∴f (4) = f（2）+f（2）=-4，
∵f(x)在[-2，4]上为减函数，∴f (x)max = f(-2)=2， f(x)min=f(4) = -4.
03题组训练
5．一个偶函数定义在[－7，7]上，它在[0，7]上的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．这个函数仅有一个单调增区间 B．这个函数有两个单调减区间
C．这个函数在其定义域内有最大值是7 D．这个函数在其定义域内有最小值是－7
【答案】C
【解析】结合偶函数图象关于y轴对称可知，这个函数在[－7，7]上有三个单调递增区间，三个单调递减区间，且定义域内有最大值7，无法判断最小值是多少．
故选：C.
6．已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(x)是
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
【答案】B
【解析】
根据题意知F(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x)，
又x∈(－a，a)关于原点对称，∴F(x)是偶函数．
7．下列判断正确的是
A．函数是奇函数 B．函数是偶函数
C．函数是偶函数 D．函数既是奇函数又是偶函数
【答案】C
【解析】解：对于中，函数的定义域为{，且}，不关于原点对称，所以是非奇非偶函数;
对于中，函数的定义域为，不关于原点对称，所以是非奇非偶函数;
对于中，由得，定义域关于原点对称，且，所以是偶函数;
对于中，函数是偶函数，但不是奇函数.
故选：.
8．设偶函数的定义域为，当时是增函数，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为是偶函数，所以，
又，且在上是增函数，
所以，即．
故选：B．
9．已知函数是定义域为R的奇函数，且则________.
【答案】
【解析】解:因为函数是定义域为的奇函数，
所以,
所以，，
所以.
故答案为：
10．判断下列函数的奇偶性:
(1);
(2);
(3).
【答案】(1) 既是奇函数又是偶函数. (2) 非奇非偶函数. (3) 奇函数.
【解析】解：（1）
，且，即，.
因此函数的定义域为，关于原点对称，且.
，，
既是奇函数又是偶函数.
（2）
所以函数的定义域是，不关于原点对称，
是非奇非偶函数.
（3）易得函数的定义域是，关于原点对称任取，当时，，;
当时，，.
函数为奇函数.
11．（Ⅰ）若奇函数是定义在上的增函数，求不等式（3）的解集；
（Ⅱ）若是定义在上的偶函数，且在区间，上是增函数，求不等式的解集．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）根据题意，f（x）为奇函数且在R上的增函数，则
，
解可得
即不等式的解集为；
（2）根据题意，f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上是增函数，
则，
解可得：，
即不等式的解集为．
12．设函数（且），对任意实数，满足．
（）求和的值．
（）求证：为偶函数．
（）若在上为减函数，试求满足不等式的的取值范围．
【答案】（）；；（）证明见解析；（）．
【解析】（）当时，，
得，当，时，
，
∴，∴．
（）当时，，
又，∴，又且，
定义域关于对称，∴是偶函数．
（）∵在上为减函数，
且是偶函数，
∴在上为增函数，
又，即使，
解得．课时3.2.2 函数的奇偶性
01考点梳理
知识点一 偶函数与奇函数
1．偶函数的概念
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．
2．奇函数的概念
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I，
且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．
3．奇、偶函数的图象特征
(1)奇函数的图象关于________成中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．
(2)偶函数的图象关于________对称；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数．
知识点二 用奇偶性求解析式
如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，求关于原点的对称区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路：
(1)“求哪个设哪个”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设.
(2)要利用已知区间的解析式进行代入.
(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x).
知识点三 函数的奇偶性与单调性
1.若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a2.若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a02考点解读
题型一 函数奇偶性的判断
1．已知函数，则（ ）
A．的极值点不止一个 B．的最小值为
C．的图象关于轴对称 D．在上单调递减
题型二 由奇偶性求函数解析式
2．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，其中.
（1）求函数的解析式;
（2）若函数在区间不单调，求出实数的取值范围;
（3）当时，若，不等式成立，求实数的取值范围.
题型三 函数奇偶性的应用
3．已知函数对任意的，都有，函数是奇函数，当时，，则方程在区间内的所有零点之和为_____________.
题型四 抽象函数的奇偶性
4．f(x)是定义在R上的函数，对x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且当x>0时，f(x)<0，且f(-1)=1.
（1）求f(0)，f(-2)的值；
（2）求证：f(x)为奇函数；
（3）求f(x)在[-2，4]上的最值.
03题组训练
5．一个偶函数定义在[－7，7]上，它在[0，7]上的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．这个函数仅有一个单调增区间 B．这个函数有两个单调减区间
C．这个函数在其定义域内有最大值是7 D．这个函数在其定义域内有最小值是－7
6．已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(x)是
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
7．下列判断正确的是
A．函数是奇函数 B．函数是偶函数
C．函数是偶函数 D．函数既是奇函数又是偶函数
8．设偶函数的定义域为，当时是增函数，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知函数是定义域为R的奇函数，且则________.
10．判断下列函数的奇偶性:
(1);
(2);
(3).
11．（Ⅰ）若奇函数是定义在上的增函数，求不等式（3）的解集；
（Ⅱ）若是定义在上的偶函数，且在区间，上是增函数，求不等式的解集．
12．设函数（且），对任意实数，满足．
（）求和的值．
（）求证：为偶函数．
（）若在上为减函数，试求满足不等式的的取值范围．课时3.2.1 函数的单调性与最大(小)值
01考点梳理
知识点一 增函数、减函数的概念
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D I：
(1)如果 x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有_____________，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增(如图①)．
特别地，当函数f(x)在它的定义域上_________时，我们就称它是增函数．
(2)如果 x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有______________，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减(如图②)
特别地，当函数f(x)在它的定义域上_________时，我们就称它是减函数．
知识点二 函数的单调性与单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上_________或_________，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的_________．
知识点三 函数的最大值与最小值
知识点四 求函数最值的常用方法
1.图象法：作出y＝f(x)的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值.
2.运用已学函数的值域.
3.运用函数的单调性：
(1)若y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则ymax＝ ，ymin＝ .
(2)若y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则ymax＝ ，ymin＝ .
4.分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个.
02考点解读
题型一 函数单调性的判断（证明）和单调区间的求解
1．已知函数的定义域为,对任意的 都有且则的解集为( )
A． B． C． D．
题型二 函数的最值及参数问题
2．设函数，，则函数的最小值为______；若，使得成立，则实数的取值范围是_________.
题型三 复合函数的最值
3．已知函数在区间，上的最大值为，当实数，变化时，最小值为__，当取到最小值时，__.
题型四 函数不等式恒成立问题
4．设函数的图象关于直线对称，
（1）求实数的值；
（2）在（1）的条件下若对任意实数恒成立，求实数的取值范围．
题型五 函数不等式能成立（有解）问题
5．已知函数，
（1）若，求的值域；
（2）若存在，使得能成立，求实数t的取值范围．
03题组训练
1．函数的最大值是（ ）
A． B．0 C．4 D．2
2．若函数，的图象如图所示，则该函数的最大值、最小值分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
3．已知函数f(x)＝4x2－kx－8在区间(5,20)上既没有最大值也没有最小值，则实数k的取值范围是( )
A．[160，＋∞)
B．(－∞，40]
C．(－∞，40]∪[160，＋∞)
D．(－∞，20]∪[80，＋∞)
4．在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x为_______(m).
5．求二次函数在上的最小值.
6．已知函数．
（）用定义证明在上是增函数．
（）若在区间上取得最大值为，求实数的值．课时3.2.1 函数的单调性与最大(小)值
01考点梳理
知识点一 增函数、减函数的概念
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D I：
(1)如果 x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有_____________，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增(如图①)．
特别地，当函数f(x)在它的定义域上_________时，我们就称它是增函数．
(2)如果 x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有______________，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减(如图②)
特别地，当函数f(x)在它的定义域上_________时，我们就称它是减函数．
知识点二 函数的单调性与单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上_________或_________，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的_________．
知识点三 函数的最大值与最小值
知识点四 求函数最值的常用方法
1.图象法：作出y＝f(x)的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值.
2.运用已学函数的值域.
3.运用函数的单调性：
(1)若y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则ymax＝ ，ymin＝ .
(2)若y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则ymax＝ ，ymin＝ .
4.分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个.
答案：f(x1)＜f(x2) 单调递增 f(x1)＞f(x2) 单调递减 泊驰 鵘 单调递减 单调区间 ≤ ≥ f(x0)＝M 纵坐标 纵坐标 f(b) f(a) f(a) f(b)
02考点解读
题型一 函数单调性的判断（证明）和单调区间的求解
1．已知函数的定义域为,对任意的 都有且则的解集为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意,,
因为且所以函数是上的增函数.
,
因为,所以,
则,解得.
故选:A.
题型二 函数的最值及参数问题
2．设函数，，则函数的最小值为______；若，使得成立，则实数的取值范围是_________.
【答案】2
【解析】解：因为函数，，
易得函数在为减函数，在为增函数，所以，
即函数的最小值为,
又，使得成立，则，即，
解得：或，即实数的取值范围是或，
故答案为(1). 2 (2).
题型三 复合函数的最值
3．已知函数在区间，上的最大值为，当实数，变化时，最小值为__，当取到最小值时，__.
【答案】2
【解析】解：，
上述函数可理解为当横坐标相同时，函数，，与函数，，图象上点的纵向距离，
则即为函数与函数图象上点的纵向距离的最大值中的最小值，
由图象可知，当函数的图象刚好为时，取得最小值为2，此时，且，即，，
故.
故答案为：2，.
题型四 函数不等式恒成立问题
4．设函数的图象关于直线对称，
（1）求实数的值；
（2）在（1）的条件下若对任意实数恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）、在数轴上表示点到点、的距离，
他们的和关于对称，
因此点、关于对称，
所以；
（2），
∵对任意实数恒成立，
∴对任意实数x恒成立，
∵，即，
∴，
∴．
题型五 函数不等式能成立（有解）问题
5．已知函数，
（1）若，求的值域；
（2）若存在，使得能成立，求实数t的取值范围．
【答案】（1）答案见解析；（2）
【解析】（1）的图像为抛物线，开口向上，对称轴为.所以：
当时，在上单调递减，此时：
，；
值域为；
当时，在上单调递减，在上单调递增，此时：
，；
值域为；
当时，在上单调递减，在上单调递增，但，此时：
，；
值域为；
当时，在上单调递减，在上单调递增，但，此时：
，；
值域为；
（2）可化为：，
即存在，使得能成立，
只需对能成立，
只需，其中.
记
任取，则
因为，所以，，，
所以，
所以，
即在上单调递减，所以，
所以，
即实数t的取值范围为.
03题组训练
1．函数的最大值是（ ）
A． B．0 C．4 D．2
【答案】C
【解析】函数，当时，函数取得最大值4.
故选：C
2．若函数，的图象如图所示，则该函数的最大值、最小值分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【解析】由题图可得，函数最大值对应图象中的最高点的纵坐标，同理，最小值对应.
故选：C
3．已知函数f(x)＝4x2－kx－8在区间(5,20)上既没有最大值也没有最小值，则实数k的取值范围是( )
A．[160，＋∞)
B．(－∞，40]
C．(－∞，40]∪[160，＋∞)
D．(－∞，20]∪[80，＋∞)
【答案】C
【解析】由于二次函数在区间上既没有最大值也没有最小值，
因此函数在区间上是单调函数，
二次函数图象的对称轴方程为，
因此或，或，故选C.
4．在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x为_______(m).
【答案】20
【解析】设矩形高为，由三角形相似得且，
所以，仅当时，矩形的面积取最大值，所以其边长为.
5．求二次函数在上的最小值.
【答案】当时，最小值为；当时，最小值为；当时，最小值为
【解析】由题意，函数，可得在区间递减递增，
（1）当时，函数在区间递减，所以
（2）当时，在区间递增，所以
（3）当时，在区间递减，在区间递增，
所以
6．已知函数．
（）用定义证明在上是增函数．
（）若在区间上取得最大值为，求实数的值．
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】（）设任意，，且，
则，
∵，
∴，，
∴，
即，
故在上是增函数．
（）在区间上是增函数，
∴，
∴，
解得．
