课时4.1.1 n次方根与分数指数幂
01考点梳理
1．根式的概念
一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的 ，其中n>1，且n∈N*.
(1)当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号
表示．
(2)当n是偶数时，正数a的n次方根有两个，记为 ，负数没有偶次方根．
(3)0的任何次方根都是0，记作 .式子叫做根式，其中n(n>1，且n∈N*)叫做根指数，a叫做被开方数．
2．根式的性质
根据n次方根的意义，可以得到：
(1)()n＝ .
(2)当n是奇数时，＝a；当n是偶数时，＝|a|＝
注意：()n中当n为奇数时，a∈R；n为偶数时，a≥0，而()中a∈R.
02考点解读
题型一 指数与指数幂的运算
1．已知，则（ ）
A． B． C． D．
题型二 根式、指数幂的化简、求值
2．若，则等式成立的条件是
A．， B．，
C．， D．，
3．已知函数，则________.
题型三 根数指数幂与根式的互化
4．若有意义，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
03题组训练
5．化简·的结果为（ ）
A． B．
C． D．
6．把根号外的移到根号内等于（ ）
A． B． C． D．
7．化简，结果是（ ）
A．6x―6 B．―6x+6 C．―4 D．4
8．某工厂一年中第十二个月的产量是第一个月产量的a倍，那么该工厂这一年的月平均增长率是（ ）
A． B． C． D．
9．已知，则化简求值的结果是（ ）
A． B． C． D．
10．下列各式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
11．当有意义时，化简的结果是________．
12．已知、是方程的两根，则的值为______．
13．化简：（1）；
14．化简下列各式．
（Ⅰ）计算：；
（Ⅱ）若为，正数，化简．课时4.1.2 无理数指数幂及其运算性质
01考点梳理
1．分数指数幂的意义
分数指数幂 正分数指数幂 规定：a＝_____(a>0，m，n∈N*，且n>1)
负分数指数幂 规定= (a>0，m，n∈N*，且n>1)
0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于 ，0的负分数指数幂____意义
2．有理数指数幂的运算性质
(1)aras＝ (a>0，r，s∈Q)．(2)(ar)s＝ (a>0，r，s∈Q)．(3)(ab)r＝ (a>0，b>0，r∈Q)．
3．无理数指数幂
一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的 ．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
02考点解读
题型一 指数与指数幂的运算
1．设，则_________.
题型二 根式、指数幂的化简、求值
2．化简（其中）的结果是
A． B． C． D．
题型三 根数指数幂与根式的互化
3．化简求值:
（1）；（2）(a>0，b>0).
03题组训练
1．化简 (a>0，b>0)的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．若，且，则的值是（ ）
A．18 B．24 C．21 D．27
3．设，m，n是正整数，且，则下列各式；；；正确的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
4．（ ）
A． B． C． D．
5．计算： ________.
6．已知，，求的值．
7．（1）计算×+80.25×（2）已知＝3，求的值．
8．化简下列各式：
（1）计算（2）化简：（其中，）.课时4.1.1 n次方根与分数指数幂
01考点梳理
1．根式的概念
一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的 ，其中n>1，且n∈N*.
(1)当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号
表示．
(2)当n是偶数时，正数a的n次方根有两个，记为 ，负数没有偶次方根．
(3)0的任何次方根都是0，记作 .式子叫做根式，其中n(n>1，且n∈N*)叫做根指数，a叫做被开方数．
2．根式的性质
根据n次方根的意义，可以得到：
(1)()n＝ .
(2)当n是奇数时，＝a；当n是偶数时，＝|a|＝
注意：()n中当n为奇数时，a∈R；n为偶数时，a≥0，而()中a∈R.
答案：n次方根 ± ＝0 a
02考点解读
题型一 指数与指数幂的运算
1．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，，，
∴，
故选B．
题型二 根式、指数幂的化简、求值
2．若，则等式成立的条件是
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【解析】，，．由 ，得 .
故选C.
3．已知函数，则________.
【答案】
【解析】，
设，
.
因此，.
故答案为：.
题型三 根数指数幂与根式的互化
4．若有意义，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】要使 有意义，需使，解得，表示为区间形式即.
故选C.
03题组训练
1．化简·的结果为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意，可知，
∴·.
故选：A.
2．把根号外的移到根号内等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：由，得，则，
．
故选：C．
3．化简，结果是（ ）
A．6x―6 B．―6x+6 C．―4 D．4
【答案】D
【解析】∵，
∴，∴，
∴
故选：D.
4．某工厂一年中第十二个月的产量是第一个月产量的a倍，那么该工厂这一年的月平均增长率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设月平均增长率为，据条件可知：，
所以，所以，
故选：D.
5．已知，则化简求值的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由已知，
,
代入，
原式，
故选：B
6．下列各式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，显然不成立，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选：D.
7．当有意义时，化简的结果是________．
【答案】
【解析】由有意义，得．
所以．
故答案为：
8．已知、是方程的两根，则的值为______．
【答案】
【解析】对于方程，，
由韦达定理可得，，，
因此，.
故答案为：.
9．化简：（1）；
（2）
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）原式
.
（2）原式
，
即
10．化简下列各式．
（Ⅰ）计算：；
（Ⅱ）若为，正数，化简．
【答案】（Ⅰ）6；（Ⅱ）24b.
【解析】（1）原式；
（2）原式．课时4.1.2 无理数指数幂及其运算性质
01考点梳理
1．分数指数幂的意义
分数指数幂 正分数指数幂 规定：a＝_____(a>0，m，n∈N*，且n>1)
负分数指数幂 规定= (a>0，m，n∈N*，且n>1)
0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于 ，0的负分数指数幂____意义
2．有理数指数幂的运算性质
(1)aras＝ (a>0，r，s∈Q)．(2)(ar)s＝ (a>0，r，s∈Q)．(3)(ab)r＝ (a>0，b>0，r∈Q)．
3．无理数指数幂
一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的 ．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
答案： 0 没有 ar＋s ars arbr
02考点解读
题型一 指数与指数幂的运算
8．设，则_________.
【答案】
【解析】，
，
故答案为：
题型二 根式、指数幂的化简、求值
2．化简（其中）的结果是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】=,选C.
3．解方程：．
【答案】
【解析】令，则原方程为，
当时，；当时，．
故.
题型三 根数指数幂与根式的互化
4．化简求值:
（1）；
（2）(a>0，b>0).
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）原式=+=.
（2）原式=．
03题组训练
5．化简 (a>0，b>0)的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
故选：B
6．若，且，则的值是（ ）
A．18 B．24 C．21 D．27
【答案】D
【解析】解：，有，；
又，，；
联立方程，解得，，
故选：C.
7．设，m，n是正整数，且，则下列各式；；；正确的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】A
【解析】解：∵a＞0，m，n是正整数，且n＞1，
∴，正确，
显然a0＝1，正确，
而，∴正确，
故选：A．
8．（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：原式=﹣
=
=
故选：A.
9．计算： ________.
【答案】
【解析】由题意，.
故答案为：.
10．已知，，求的值．
【答案】
【解析】，
将代入，得原式=．
故答案为：
11．（1）计算×+80.25×
（2）已知＝3，求的值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）×+80.25×
（2）∵＝3，
∴，
故．
12．化简下列各式：
（1）计算
（2）化简：（其中，）.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）；
（2）.
