课时4.2.2 指数函数的图象和性质
01考点梳理
指数函数的图象和性质
0＜a＜1 a＞1
图象
定义域
值域 __________
性质 过定点 ，即x＝ 时，y＝
减函数 增函数
02考点解读
题型一 指数函数的图像及应用
1．如图是指数函数①y=；②y=；③y=cx；④y=dx的图象，则，b，c，d与1的大小关系是（ ）
A．a
题型二 指数函数的定义域与值域
2．已知.
（1）求函数的定义域；
（2）判断的奇偶性，并说明理由；
（3）证明.
题型三 指数函数的单调性
3．已知函数是定义在R上的奇函数.
（1）求a的值；
（2）判断并证明函数的单调性，并利用结论解不等式：；
（3）是否存在实数k，使得函数在区间上的取值范围是？若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，请说明理由.
题型四 指数函数的最值问题
4．已知函数，且在区间上的最大值比最小值大．
（1）求的值；
（2）若函数在区间的最小值是，求实数的值．
03题组训练
1．若指数函数在上的最大值与最小值的和为，则（ ）
A．或 B．
C． D．
2．设函数的定义域为，函数的值域为，则（ ）
A． B． C． D．
3．函数的图象如图所示，则（ ）
A．， B．， C．， D．，
4．已知函数，则下面几个结论正确的有（ ）
A．的图象关于原点对称
B．的图象关于y轴对称
C．的值域为
D．，且恒成立
5．函数，且在上的最大值与最小值的和为，则函数
在上的最大值为________.
6．已知函数的图像经过点，
（1）求值；
（2）求函数的值域；
7．已知函数是奇函数.
（1）求实数m的值；
（2）证明：函数在R上是单调递增函数；
（3）当时，函数的值域为，求实数a，b的值.
8．已知函数.
（1）求在上的值域；
（2）解不等式；
（3）若关于的方程在上有解，求的取值范围.
9．已知函数f(x)＝ax2﹣2x+1+b（a≠0）在x＝1处取得最小值0．
（1）求a，b的值；
（2），求函数的最小值与最大值及取得最小值与最大值时对应的x值．课时4.2.2 指数函数的图象和性质
01考点梳理
指数函数的图象和性质
0＜a＜1 a＞1
图象
定义域
值域 __________
性质 过定点 ，即x＝ 时，y＝
减函数 增函数
答案： (0，＋∞) (0,1) 0 1
02考点解读
题型一 指数函数的图像及应用
1．如图是指数函数①y=；②y=；③y=cx；④y=dx的图象，则，b，c，d与1的大小关系是（ ）
A．a【答案】B
【解析】根据函数图象可知函数①y=；②y=为减函数，且时，②y=①y=，
所以，
根据函数图象可知函数③y=cx；④y=dx为增函数，且时，③y=c1④y=d1，
所以
故选：B
题型二 指数函数的定义域与值域
2．已知.
（1）求函数的定义域；
（2）判断的奇偶性，并说明理由；
（3）证明.
【答案】（1）；（2）为偶函数，理由见解析；（3）证明见解析.
【解析】（1）由，得，即.
函数的定义域是；
（2）函数的定义域关于原点对称，，
，
所以，函数为偶函数；
（3）当时，，，则；
由于函数为偶函数，当时，，则.
综上所述，.
题型三 指数函数的单调性
3．已知函数是定义在R上的奇函数.
（1）求a的值；
（2）判断并证明函数的单调性，并利用结论解不等式：；
（3）是否存在实数k，使得函数在区间上的取值范围是？若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）是R上的增函数，证明见解析；；（3）存在；实数k的取值范围是.
【解析】解：（1）是定义在R上的奇函数，
，从而得出，
时，，
；
（2）是R上的增函数，证明如下：
设任意，且，
，
，，，，
，
是在上是单调增函数.
，
又是定义在R上的奇函数且在上单调递增，
，
，；
（3）假设存在实数k，使之满足题意，
由（2）可得函数在上单调递增，
，
，n为方程的两个根，即方程有两个不等的实根，
令，即方程有两个不等的正根，
于是有且且，
解得：.
存在实数k，使得函数在上的取值范围是，并且实数k的取值范围是.
题型四 指数函数的最值问题
4．已知函数，且在区间上的最大值比最小值大．
（1）求的值；
（2）若函数在区间的最小值是，求实数的值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）当时，函数在区间上单调递增，
则该函数的最大值为，最小值为，
由题意得，解得，或（舍去）；
当时，函数在区间上单调递减，
则该函数的最大值为，最小值为，
由题意得，即，该方程无实数解．
综上；
（2）函数，
令，，任取，
因，
，所以，有，，所以．
则函数在上单调递增，故．
令，因此，，所以问题转化为：
函数在上有最小值，求实数的值．
因，对称轴方程为，
当时，即当时，函数在上单调递增，
故，由，解得与矛盾；
当时，即当时，，
由，解得或（舍去）.
综上，．
03题组训练
1．若指数函数在上的最大值与最小值的和为，则（ ）
A．或 B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为函数为指数函数，所以.
当时，在上的最大值为，最小值为，则，解得或（舍）；
当时，在上的最大值为，最小值为，则，解得（舍）或（舍）.
综上可知，.
故选：C.
2．设函数的定义域为，函数的值域为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函数定义域满足：，即，所以，
函数的值域，
所以.
故选：A．
3．函数的图象如图所示，则（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【解析】由图可知，，故，故，故排除A B；
又函数关于对称，由图象可知，，故C错，D正确；
故选：D.
4．已知函数，则下面几个结论正确的有（ ）
A．的图象关于原点对称
B．的图象关于y轴对称
C．的值域为
D．，且恒成立
【答案】ACD
【解析】对于A，，则，
则为奇函数，故图象关于原点对称，故A正确.
对于B，计算，，故的图象不关于y轴对称，故B错误.
对于C，，，
故，易知：，故的值域为,故C正确.
对于D，，
因为在上为增函数，为上的减函数，
由复合函数的单调性的判断法则可得在上单调递减，
故，且，恒成立，故D正确.
故选：ACD.
5．函数，且在上的最大值与最小值的和为，则函数
在上的最大值为________.
【答案】12.
【解析】指数函数，且在定义域上是单调函数，
又在上的最大值与最小值的和为，
，解得，
函数在定义域上为减函数，在为减函数，
在上的最大值为.
故答案为：12.
6．已知函数的图像经过点，
（1）求值；
（2）求函数的值域；
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由函数的图像经过点，可得，解得.
（2）由（1）可知，
因为，所以在上单调递减，则在时有最大值，
所以，
因为，所以函数的值域为.
7．已知函数是奇函数.
（1）求实数m的值；
（2）证明：函数在R上是单调递增函数；
（3）当时，函数的值域为，求实数a，b的值.
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.
【解析】（1）的定义域为R，因为为奇函数，所以，
即，解得，经检验符合题意，.
（2）证明：由可知，任意取设
函数在区间上是单调增函数
（3）因为是R上的增函数，所以解得.
8．已知函数.
（1）求在上的值域；
（2）解不等式；
（3）若关于的方程在上有解，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）令，当时，，则可将原函数转化为，
当时，；当时，；
在上的值域为；
（2），即，，
解得：，，即不等式的解集为；
（3）令，当时，，
在上有解等价于与在时有交点，
由（1）知：在时的值域为，
，解得：，即的取值范围为.
9．已知函数f(x)＝ax2﹣2x+1+b（a≠0）在x＝1处取得最小值0．
（1）求a，b的值；
（2），求函数的最小值与最大值及取得最小值与最大值时对应的x值．
【答案】（1）a＝1，b＝0；（2）当x＝2时，g(|2x﹣1|)max＝，x＝1时，g(|2x﹣1|)min＝0．
【解析】（1）f(x)＝ax2﹣2x+1+b（a≠0）在x＝1处取得最小值0，
即＝1，f(1)＝a+b﹣1＝0，解得a＝1，b＝0；
（2）由（1）知f(x)＝(x﹣1)2，
，g(|2x﹣1|)＝，
令t＝|2x﹣1|，∵，则，
由对勾函数的性质可得，
此时t＝1即|2x﹣1|＝1，解得x＝1；
又，，
当t＝3时，解得x＝2时，
所以当x＝2时，g(|2x﹣1|)max＝，当x＝1时，g(|2x﹣1|)min＝0课时4.2.1 指数函数的概念
01考点梳理
1．指数函数的概念
一般地，函数 (a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中 是自变量，函数的定义域是 .
2．指数函数的图象和性质
a的范围 a＞1 0＜a＜1
图象
性质 定义域 R
值域 __________
过定点 ，即当x＝0时，y＝
单调性 在R上是 在R上是
奇偶性 非奇非偶函数
对称性 函数y＝ax与y＝a－x的图象关于 对称
答案：y＝ax x R (0，＋∞) (0,1) 1 增函数 减函数 y轴
02考点解读
题型一 指数函数的图像及应用
1．在同一直角坐标系中，函数与在上的图象可能是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】为幂函数，为指数函数
A. 过定点，可知，，的图象符合，故可能.
B. 过定点，可知，，的图象不符合，故不可能.
C. 过定点，可知，，的图象不符合，故不可能.
D.图象中无幂函数图象，故不可能.
故选：A
题型二 指数函数的定义域与值域
2．函数的值域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】当时，函数单调递增，因为，则，
所以，，此时，函数的值域为；
当时，函数单调递减，因为，则.
所以，，此时，函数的值域为.
综上所述，函数的值域是.
故选：D.
题型三 指数函数的单调性
3．若函数单调递增,则实数a的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：函数单调递增，
解得
所以实数的取值范围是．
故选：．
题型三 指数函数的单调性
4．若函数单调递增,则实数a的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：函数单调递增，
解得
所以实数的取值范围是．
故选：．
题型四 指数函数的最值问题
5．若指数函数在区间上的最大值和最小值的和为，则的值可能是（ ）.
A．2 B． C．3 D．
【答案】AB
【解析】设，
当时，指数函数单调递增，所以在区间上的最大值，最小值.所以，求得或者（舍）；
当时，指数函数单调递减，所以在区间上的最大值，最小值，所以，求得（舍）或者.
综上所述：或者.
故选：AB
03题组训练
1．函数与，其中，且，它们的大致图象在同一直角坐标系中有可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】解：对于A，C，由于函数是增函数，图象应该呈上升趋势，所以A，C错误；
对于B，若函数的图象是正确的，则，所以，所以函数是正确的，所以B正确；
对于D，若函数的图象是正确的，则，所以，所以函数是增函数，所以D错误，
故选：B
2．如果指数函数(，且)的图象经过点，那么的值是（ ）
A． B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】由题意可知，解得或（舍）
故选：B
3．已知函数是上的偶函数，且的图象关于点对称，当时，，则的值为（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】D
【解析】因为是上的偶函数，所以，
又的图象关于点对称，则，
所以，则，得，
即，所以是周期函数，且周期，
由时，，则，
，，
则，
则
故选：D
4．已知函数的大致图象如下图，则幂函数在第一象限的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由的图象可知，，
所以，得，，
所以，所以幂函数在第一象限的图象可能为.
故选：B.
5．已知函数，则___.
【答案】16
【解析】根据题意，函数，则，
则，
故答案为：16.
6．下列函数中指数函数的个数是_____________．
①；②；③；④（为常数，，）；⑤； ⑥；⑦
【答案】③④
【解析】根据指数函数的定义直接判断：形如（且）的函数是指数函数.
可知只有③，④（为常数，，）符合指数函数的定义.
故答案为：③④.
7．已知常数，函数的图象经过点，．若，则______．
【答案】6
【解析】函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）．
则：，
整理得：=1，
解得：2p+q=a2pq，
由于：2p+q=36pq，
所以：a2=36，
由于a＞0，
故：a=6．
故答案为6
8．已知点在函数（且）图象上，对于函数定义域中的任意，，有如下结论：
①；
②；
③；
④.
上述结论中正确结论的序号是___________.
【答案】①④
【解析】点在函数（且）图象上，即，，，
∵对于函数定义域中的任意的，
有
∴结论（1）正确；
又，，，
∴结论（2）错误；
又是定义域上的增函数，
∴对任意的，不妨设，则，，，，
∴结论（3）错误；
又，
，
，
∴结论（4）正确；
故答案为：（1），（4）.
9．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用[x]表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，则函数奇偶性是______函数，的值域是__________
【答案】奇函数
【解析】∵，，
∴为奇函数，
化，
∵，∴，则.
∴当时，，；
当时，，；
当时，.
∴函数的值域是.
故答案为：奇函数，.
10．已知（为常数，且）的图像过点.
（1）求的解析式；
（2）若函数 ，试判断的奇偶性并给出证明.
【答案】（1）；（2）奇函数；证明见解析.
【解析】解：（1）∵ 的图像过点
∴，解得，故；
（2）由（1）知 ，
则的定义域为R，关于原点对称，
且
故为奇函数.课时4.2.1 指数函数的概念
01考点梳理
1．指数函数的概念
一般地，函数 (a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中 是自变量，函数的定义域是 .
2．指数函数的图象和性质
a的范围 a＞1 0＜a＜1
图象
性质 定义域 R
值域 __________
过定点 ，即当x＝0时，y＝
单调性 在R上是 在R上是
奇偶性 非奇非偶函数
对称性 函数y＝ax与y＝a－x的图象关于 对称
02考点解读
题型一 指数函数的图像及应用
1．在同一直角坐标系中，函数与在上的图象可能是（ ）．
A． B． C． D．
题型二 指数函数的定义域与值域
2．函数的值域是（ ）
A． B．
C． D．
题型三 指数函数的单调性
3．若函数单调递增,则实数a的取值范围是( )
A． B． C． D．
题型三 指数函数的单调性
4．若函数单调递增,则实数a的取值范围是( )
A． B． C． D．
题型四 指数函数的最值问题
5．若指数函数在区间上的最大值和最小值的和为，则的值可能是（ ）.
A．2 B． C．3 D．
03题组训练
1．函数与，其中，且，它们的大致图象在同一直角坐标系中有可能是（ ）
A． B．
C． D．
2．如果指数函数(，且)的图象经过点，那么的值是（ ）
A． B．2 C．3 D．4
3．已知函数是上的偶函数，且的图象关于点对称，当时，，则的值为（ ）
A． B． C．0 D．1
4．已知函数的大致图象如下图，则幂函数在第一象限的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知函数，则___.
6．下列函数中指数函数的个数是_____________．
①；②；③；④（为常数，，）；⑤； ⑥；⑦
7．已知常数，函数的图象经过点，．若，则______．
8．已知点在函数（且）图象上，对于函数定义域中的任意，，有如下结论：
①；
②；
③；
④.
上述结论中正确结论的序号是___________.
9．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用[x]表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，则函数奇偶性是______函数，的值域是__________
10．已知（为常数，且）的图像过点.
（1）求的解析式；
（2）若函数 ，试判断的奇偶性并给出证明.