课时4.4.1 对数函数的概念
01考点梳理
1．对数函数的概念
函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中 是自变量，函数的定义域是_____________．
温馨提示：(1)对数函数y＝logax是由指数函数y＝ax反解后将x、y互换得到的．
(2)无论是指数函数还是对数函数，都有其底数a>0且a≠1.
2．对数函数的图象及性质
注意：底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a>1时，对数函数的图象“上升”；当0
3．当底数不同时对数函数图象的变化规律
作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为对数的底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可得b>a>1>d>c>0.
答案：x (0，＋∞)
02考点解读
题型一 对数函数的定义域和值域
1．函数的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】函数的定义域为，
又，
所以函数是奇函数，故排除A，C；
又因为，故排除D.
故选：B
题型二 对数函数的图像问题
2．如果函数的反函数是增函数，那么函数的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为函数的反函数是增函数，可得函数为增函数，所以，
所以函数为减函数，可排除B、D；
又由当时，，排除A.
故选：C.
题型三 对数函数的单调性
3．函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，
而对数函数在上是减函数，在上是增函数，
所以函数单调递增区间为．
故选：C
题型四 对数函数的最值及参数问题
4．已知，，若，，使得，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】若，，使得，则.
由于函数在区间上为增函数，则，
由于函数在区间上为减函数，则，
所以，，解得.
故选：D.
03题组训练
5．在b＝log3a－1(3－2a)中，实数a的取值范围是（ ）
A．∪B．∪ C．D．
【答案】B
【解析】要使式子b＝log3a－1(3－2a)有意义，
则
解得 或 .
故选：B．
6．已知函数在（0，2）上为减函数，则的取值范围是（ ）
A．（1，3] B．（1，3） C．（0，1） D．[3，+∞）
【答案】A
【解析】由函数在（0，2）上为减函数，
可得函数在（0，2）上大于零，且为减函数，，
故有，解得
故选：A．
7．若函数的定义域为，则（ ）
A．1 B．－1
C．2 D．无法确定
【答案】B
【解析】函数的定义域为，则的解集为，
即，且的根，故.
故选：B.
8．下列不等号连接不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】对于选项A：因为在单调递减，，所以，故选项A正确；
对于选项B：，，即，，
所以，故选项B正确；
对于选项C：，
，
因为，所以，
故选项C正确；
对于选项D：，，所以，故选项D不正确；
所以只有选项D不正确，
故选：D
9．函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题可得，，解得．所以函数的定义域是．
故选：D．
12．已知，且，函数与的图象只能是下图中的（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当时，函数与的大致图象如图所示：
当时，函数与的大致图象如图所示：
根据题意，所以正确的是B．
故选：B．
13．下列函数表达式中，是对数函数的有（ ）
①y＝logx2；②y＝logax(a∈R)；③y＝log8x；④y＝ln x；⑤y＝logx(x＋2)；⑥y＝log2(x＋1)．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】形如（且）的函数为对数函数，
故③④为对数函数，
所以共有个.
故选：B
14．已知函数f(x)＝|lg x|，若0【答案】(5，＋∞)
【解析】函数f(x)＝|lg x|定义域为，图象如下：
因为f(a)＝f(b)，且0即，所以a＋4b＝a＋，
令g(a)＝a＋，易知对勾函数g(a)在(0，1)上为减函数，所以g(a)>g（1）＝1＋＝5，即a＋4b的取值范围是(5，＋∞)．
故答案为：(5，＋∞)．
15．已知.
（1）求x的取值的集合A；
（2）时，求函数的值域；
（3）设若有两个零点 ()，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）由得，
，
∴，∴，
故为所求.
（2）当时，
，
∵，∴，
∴，即为的值域.
（3）作出函数的图象，
∵有两个零点 且，
∴，，
且，
∴，
∵，
∴
即的取值范围为.课时4.4.3 不同函数增长的差异
01考点梳理
三种函数模型的性质
y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝kx(k>0)
在(0，＋∞)上的增减性 _________ __________ __________
图象的变化趋势 随x增大逐渐近似与 平行 随x增大逐渐近似与 平行 保持固定增长速度
增长速度 ①y＝ax(a>1)：随着x的增大，y增长速度 ，会远远大于y＝kx(k>0)的增长速度，y＝logax(a>1)的增长速度 ； ②存在一个x0，当x>x0时，有
02考点解读
题型一 平均变化率
1．已知函数，则下列关于这三个函数的描述中，正确的是（ ）
A．随着的逐渐增大，增长速度越来越快于
B．随着的逐渐增大，增长速度越来越快于
C．当时，增长速度一直快于
D．当时，增长速度有时快于
2．已知函数的定义域为R，分别判断下列条件下的单调性：
（1）在任意区间内的平均变化率均为正数；
（2）在任意区间内的平均变化率均比在同一区间内的平均变化率小.
03题组训练
3．下面对函数，与在区间上的递减情况说法正确的是（ ）
A．递减速度越来越慢，递减速度越来越快，递减速度比较平稳
B．递减速度越来越快，递减速度越来越慢，递减速度越来越快
C．递减速度越来越慢，递减速度越来越慢，递减速度比较平稳
D．递减速度越来越快，递减速度越来越快，递减速度越来越快
4．函数的大致图像为（ ）．
A．B．4C．D．
5．四人赛跑，假设他们跑过的路程fi(x)(其中i∈{1,2,3,4})和时间x(x>1)的函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是( )
A．f1(x)＝x2 B．f2(x)＝4x C．f3(x)＝log2x D．f4(x)＝2x
6．某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每期利率为r，存期是x，本利和(本金加利息)为y元，则本利和y随存期x变化的函数解析式是_________．
7．据报道，某淡水湖的湖水50年内减少了10%，若年平均减少率相等，按此规律，设2019年的湖水水量为m，从2019年起，经过x年后湖水水量y与x的函数解析式为________．
8．某科研单位在研发新产品的过程中发现了一种新材料，由大数据测得该产品的性能指标值y与这种新材料的含量x(单位：克)的关系如下：当时，y是x的二次函数；当时，. 测得数据如表(部分).
x(克) 0 1 2 9 …
y 0 3 …
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）求函数f(x)的最大值．
9．（1）求满足不等式的的范围．
（2）当在（1）中求得的范围内变化时，求函数的最大值和最小值．课时4.4.2 对数函数的图象和性质
01考点梳理
1．对数函数值的符号规律
(1)a>1时，当x>1时，_______；当0(2)01时，______.
可简记为“底真同，对数正；底真异，对数负”，“同”指同大于1或同小于1，“异”指一个大于1一个小于1.
2．对称关系
(1)函数y＝与y＝logax的图象关于_________对称．
(2)函数y＝ax与y＝logax的图象关于直线_______对称．
3．反函数
指数函数________________________和对数函数__________________________互为反函数．
答案：y>0 y<0 y>0 y<0 x轴 y＝x y＝ax(a>0，且a≠1) y＝logax(a>0，且a≠1)
02考点解读
题型一 对数函数的定义域和值域
1．已知函数，给出下述论述，其中正确的是（ ）
A．当时，的定义域为
B．一定有最小值
C．当时，的定义域为
D．若在区间上单调递增，则实数的取值范围是
【答案】A
【解析】对A，当时，解有，故A正确；
对B，当时，，此时，，
此时值域为，故B错误；
对C，由A，的定义域为，故C错误；
对D，若在区间上单调递增，此时在上单调递增，所以对称轴，解得，但当时，在处无定义，故D错误.
故选：A.
题型二 对数函数的图像问题
2．若关于的不等式在恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意知关于的不等式在恒成立，
所以当时，函数的图象不在的图象的上方，
由图可知，解得.
故选：A
题型三 对数函数的单调性
3．已知函数，若实数是方程的解，且，则的值( )
A．恒为正值 B．恒为负值 C．等于0 D．不能确定
【答案】A
【解析】
由于实数是方程的解，则，
由于在上递减,在上递增，
则在上递减，
由于,则，
即有，
本题选择A选项.
题型四 对数函数的最值及参数问题
4．设函数，且．
（1）求的值；
（2）若令，求实数t的取值范围；
（3）将表示成以为自变量的函数，并由此求函数的最大值与最小值及与之对应的x的值．
【答案】（1）6；（2）；（3），此时；，此时．
【解析】（1）；
（2），又，，，所以t的取值范围为；
（3）由，
令，，
当时，，即，解得，
所以
，此时；
当时，，即，
，此时．
03题组训练
5．已知函数f(x)＝则函数y＝f(1－x)的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为函数，
所以函数，
当x＝0时，y＝f(1)＝3，即y＝f(1－x)的图象过点(0，3)，排除A；
当x＝－2时，y＝f(3)＝－1，即y＝f(1－x)的图象过点(－2，－1)，排除B；
当时，，排除C，
故选：D．
6．函数f(x)＝logax(0＜a＜1)在[a2，a]上的最大值是（ ）
A．0 B．1
C．2 D．a
【答案】C
【解析】∵0＜a＜1，∴f(x)＝logax在[a2，a]上是减函数，
∴f(x)max＝f(a2)＝logaa2＝2．
故选：C
7．已知对数式（Z）有意义，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意可知:，解之得:且.
∵Z，∴的取值范围为.
故选：C.
8．设，函数的图象大致是（ ）
A．B． C． D．
【答案】C
【解析】的定义域为，当时，，
，在上是减函数，且时，，
又，
是偶函数，图象关于y轴对称．
故选：C．
9．已知f(x)＝在区间[2，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是________．
【答案】(－4，4]
【解析】解析二次函数y＝x2－ax＋3a的对称轴为x＝，由已知，应有≤2，且满足当x≥2时y＝x2－ax＋3a>0，即解得－4故答案为：(－4，4]
10．设实数满足，则________．
【答案】或2
【解析】由于，所以原式转化为，
即，解得或，所以或．
故答案为: 或2.
11．已知函数，则与的大小关系是__________．
【答案】
【解析】因为，定义域为，
令，为减函数，
，为减函数，所以，为增函数，
所以.
故答案为：.
12．设函数为常数，且
（1）求的值；
（2）设，求不等式的解集．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1），；
（2）由（1）知：，；
①当时，，即，解得：；
②当时，，即，，
解得：，；
综上所述：的解集为.
13．若．
（1）如果，求x，y的值；
（2）当x，y为何值时，有最小值．
【答案】（1）或；（2）当时，有最小值为.
【解析】解析：（1）若，则由条件可得，
求得或，即或，
∴或
（2）解析：令，则由已知得，
即，
故当时，取得最小值，此时.
当，时，有最小值为.课时4.4.3 不同函数增长的差异
01考点梳理
三种函数模型的性质
y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝kx(k>0)
在(0，＋∞)上的增减性 _________ __________ __________
图象的变化趋势 随x增大逐渐近似与 平行 随x增大逐渐近似与 平行 保持固定增长速度
增长速度 ①y＝ax(a>1)：随着x的增大，y增长速度 ，会远远大于y＝kx(k>0)的增长速度，y＝logax(a>1)的增长速度 ； ②存在一个x0，当x>x0时，有
答案：增函数 增函数 增函数 y轴 x轴 越来越快 越来越慢 ax>kx>logax
02考点解读
题型一 平均变化率
1．已知函数，则下列关于这三个函数的描述中，正确的是（ ）
A．随着的逐渐增大，增长速度越来越快于
B．随着的逐渐增大，增长速度越来越快于
C．当时，增长速度一直快于
D．当时，增长速度有时快于
【答案】BD
【解析】如图
对于，
从负无穷开始，大于，然后大于，再然后再次大于，最后大于，再也追不上，故随着的逐渐增大，增长速度越来越快于，A错误，BD正确；
由于的增长速度是不变的，当时，大于，当时，大于，再也追不上，增长速度有时快于，C错误．
故选：BD．
2．已知函数的定义域为R，分别判断下列条件下的单调性：
（1）在任意区间内的平均变化率均为正数；
（2）在任意区间内的平均变化率均比在同一区间内的平均变化率小.
【答案】（1）增函数；（2）减函数.
【解析】（1）是增函数，理由如下：
取且，则，
由题意知在任意区间内的平均变化率
.
是增函数
（2）是减函数，理由如下：
取任意区间，则在该区间上的平均变化率为
在该区间上的平均变化率为.
由题意，.
，
是减函数.
03题组训练
3．下面对函数，与在区间上的递减情况说法正确的是（ ）
A．递减速度越来越慢，递减速度越来越快，递减速度比较平稳
B．递减速度越来越快，递减速度越来越慢，递减速度越来越快
C．递减速度越来越慢，递减速度越来越慢，递减速度比较平稳
D．递减速度越来越快，递减速度越来越快，递减速度越来越快
【答案】C
【解析】观察函数、、在区间上的图象如下图所示：
函数的图象在区间上递减较快，但递减速度逐渐变慢；
函数在区间上，递减较慢，且越来越慢．
同样，函数的图象在区间上递减较慢，且递减速度越来越慢．
函数的图象递减速度比较平稳．
故选：C.
4．函数的大致图像为（ ）．
A．B．4C．D．
【答案】D
【解析】，，
，
所以函数为偶函数，故A,B选项错误；
又时，，
，C选项错误，
故选：D.
5．四人赛跑，假设他们跑过的路程fi(x)(其中i∈{1,2,3,4})和时间x(x>1)的函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是( )
A．f1(x)＝x2 B．f2(x)＝4x C．f3(x)＝log2x D．f4(x)＝2x
【答案】D
【解析】由函数的增长趋势可知，指数函数增长最快，所以最终最前面的具有的函数关系为，故选D．
6．某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每期利率为r，存期是x，本利和(本金加利息)为y元，则本利和y随存期x变化的函数解析式是_________．
【答案】y＝a(1＋r)x，x∈N*
【解析】已知本金为a元，利率为r，
则1期后本利和为y＝a＋ar＝a(1＋r)，
2期后本利和为y＝a(1＋r)＋a(1＋r)r＝a(1＋r)2
3期后本利和为y＝a(1＋r)3，…
x期后本利和为y＝a(1＋r)x，x∈N*.
故答案为：y＝a(1＋r)x，x∈N*.
7．据报道，某淡水湖的湖水50年内减少了10%，若年平均减少率相等，按此规律，设2019年的湖水水量为m，从2019年起，经过x年后湖水水量y与x的函数解析式为________．
【答案】.
【解析】设每年湖水量为上一年的，则，所以，
所以年后的湖水量为.
故答案为：.
8．某科研单位在研发新产品的过程中发现了一种新材料，由大数据测得该产品的性能指标值y与这种新材料的含量x(单位：克)的关系如下：当时，y是x的二次函数；当时，. 测得数据如表(部分).
x(克) 0 1 2 9 …
y 0 3 …
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）求函数f(x)的最大值．
【答案】（1） ；（2）4.
【解析】解：（1）当时，由题意，设，
由表格数据可得，解得
所以，当时，
当时，，由表格数据可得，解得
所以当时，
综上，
（2）当时，
所以当时，函数f(x)的最大值为4；
当时，单调递减，所以f(x)的最大值为
因为，所以函数的最大值为4.
9．（1）求满足不等式的的范围．
（2）当在（1）中求得的范围内变化时，求函数的最大值和最小值．
【答案】（1）；（2）．.
【解析】（1）令，则原不等式可化为，
由二次函数图象解得，
即．
又，，
∴，即．
（2）将变形为关于的形式：
．
由（1）知．
∴当，即时，；
当，即时，．课时4.4.2 对数函数的图象和性质
01考点梳理
1．对数函数值的符号规律
(1)a>1时，当x>1时，_______；当0(2)01时，______.
可简记为“底真同，对数正；底真异，对数负”，“同”指同大于1或同小于1，“异”指一个大于1一个小于1.
2．对称关系
(1)函数y＝与y＝logax的图象关于_________对称．
(2)函数y＝ax与y＝logax的图象关于直线_______对称．
3．反函数
指数函数________________________和对数函数__________________________互为反函数．
02考点解读
题型一 对数函数的定义域和值域
1．已知函数，给出下述论述，其中正确的是（ ）
A．当时，的定义域为
B．一定有最小值
C．当时，的定义域为
D．若在区间上单调递增，则实数的取值范围是
题型二 对数函数的图像问题
2．若关于的不等式在恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型三 对数函数的单调性
3．已知函数，若实数是方程的解，且，则的值( )
A．恒为正值 B．恒为负值 C．等于0 D．不能确定
题型四 对数函数的最值及参数问题
4．设函数，且．
（1）求的值；
（2）若令，求实数t的取值范围；
（3）将表示成以为自变量的函数，并由此求函数的最大值与最小值及与之对应的x的值．
03题组训练
5．已知函数f(x)＝则函数y＝f(1－x)的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
6．函数f(x)＝logax(0＜a＜1)在[a2，a]上的最大值是（ ）
A．0 B．1
C．2 D．a
7．已知对数式（Z）有意义，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
8．设，函数的图象大致是（ ）
A．B． C． D．
9．已知f(x)＝在区间[2，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是________．
10．设实数满足，则________．
11．已知函数，则与的大小关系是__________．
12．设函数为常数，且
（1）求的值；
（2）设，求不等式的解集．
13．若．
（1）如果，求x，y的值；
（2）当x，y为何值时，有最小值．课时4.4.1 对数函数的概念
01考点梳理
1．对数函数的概念
函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中 是自变量，函数的定义域是_____________．
温馨提示：(1)对数函数y＝logax是由指数函数y＝ax反解后将x、y互换得到的．
(2)无论是指数函数还是对数函数，都有其底数a>0且a≠1.
2．对数函数的图象及性质
注意：底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a>1时，对数函数的图象“上升”；当03．当底数不同时对数函数图象的变化规律
作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为对数的底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可得b>a>1>d>c>0.
02考点解读
题型一 对数函数的定义域和值域
1．函数的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
题型二 对数函数的图像问题
2．如果函数的反函数是增函数，那么函数的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
题型三 对数函数的单调性
3．函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
题型四 对数函数的最值及参数问题
4．已知，，若，，使得，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
03题组训练
5．在b＝log3a－1(3－2a)中，实数a的取值范围是（ ）
A．∪B．∪ C．D．
6．已知函数在（0，2）上为减函数，则的取值范围是（ ）
A．（1，3] B．（1，3） C．（0，1） D．[3，+∞）
7．若函数的定义域为，则（ ）
A．1 B．－1
C．2 D．无法确定
8．下列不等号连接不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知，且，函数与的图象只能是下图中的（ ）
A． B． C． D．
13．下列函数表达式中，是对数函数的有（ ）
①y＝logx2；②y＝logax(a∈R)；③y＝log8x；④y＝ln x；⑤y＝logx(x＋2)；⑥y＝log2(x＋1)．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
14．已知函数f(x)＝|lgx|，若015．已知.
（1）求x的取值的集合A；
（2）时，求函数的值域；
（3）设若有两个零点 ()，求的取值范围.