课时4.5.3 函数模型的应用
01考点梳理
1．常用函数模型
常用函数模型 (1)一次函数模型 y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)
(2)二次函数模型 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
(3)指数函数模型 y＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
常用函数模型 (4)对数函数模型 y＝mlogax＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1)
(5)幂函数模型 y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
(6)分段函数模型 y＝
2.建立函数模型解决问题的基本过程
02考点解读
题型一 二次函数模型解决实际问题
1．若矩形的一边长为，周长为，则当矩形面积最大时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】矩形另一边长为，且有，
面积为，所以，当时，取最大值．
故选：C.
题型一 二次函数模型解决实际问题
2．某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元.为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为万元，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高.
（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？
（2）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润条件下，若要求调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？
【答案】（1）500名；（2）.
【解析】解：（1）由题意，得，
即，又，所以.
即最多调整500名员工从事第三产业.
（2）从事第三产业的员工创造的年总利润为万元，
从事原来产业的员工的年总利润为万元，
则，
所以.
所以，即在时恒成立.
因为，
当且仅当，即时等号成立，所以，
又，所以.所以a的取值范围为.
题型二 分段函数模型的应用
3．新冠肺炎疫情防控中，核酸检测是新冠肺炎确诊的有效快捷手段．某医院在成为新冠肺炎核酸检测定点医院并开展检测工作的第天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时（单位：小时）大致服从的关系为（、为常数）.已知第天检测过程平均耗时为小时，第天和第天检测过程平均耗时均为小时，那么可得到第天检测过程平均耗时大致为（ ）
A．小时 B．小时 C．小时 D．小时
【答案】C
【解析】由第天和第天检测过程平均耗时均为小时知，，
所以，得．
又由知，，所以当时，，
故选：C．
题型三 分式函数模型的应用
4．某公司一年购买某种货物900吨，现分次购买，若每次购买x吨，运费为9万元/次，一年的总储存费用为4x万元，要使一年的总运费与总储存费用之和最小，则下列说法正确的是（ ）
A．时费用之和有最小值 B．时费用之和有最小值
C．最小值为万元 D．最小值为万元
【答案】BD
【解析】一年购买某种货物900吨，若每次购买x吨，则需要购买次，运费是9万元/次，
一年的总储存费用为万元，
所以一年的总运费与总储存费用之和为，
因为，
当且仅当，即时，等号成立，
所以当时，一年的总运费与总储存费用之和最小为万元，
故选：BD
题型四 指数函数模型的应用（2）
5．某新能源汽车公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2018年（记为第1年）全年投入研发资金5300万元，在此基础上，以后每年投入的研发资金比上一年增长，则该公司全年投入的研发资金开始超过7000万元的年份是________年．（参考数据：，，）
【答案】2023
【解析】设从第年开始超过7000万元，则，
即，
，
取，又，
所以开始超过7000万元的年份是2023年．
题型五 对数函数模型的应用（2）
6．所谓声强，是指声音在传播途径上每1平方米面积上的声能流密度，用I表示，人类能听到的声强范围很广，其中能听见的1000Hz声音的声强（约10﹣12W/m2）为标准声强，记作I0，声强I与标准声强I0之比的常用对数称作声强的声强级，记作L，即L=lg，声强级L的单位名称为贝（尔），符号为B，取贝（尔）的十分之一作为响度的常用单位，称为分贝（尔）.简称分贝（dB）.《三国演义》中有张飞喝断当阳桥的故事，设张飞大喝一声的响度为140dB.一个士兵大喝一声的响度为90dB，如果一群士兵同时大喝一声相当一张飞大喝一声的响度，那么这群土兵的人数为（ ）
A．1万 B．2万 C．5万 D．10万
【答案】D
【解析】设张飞的声强为，一个士兵的声强为，根据题意可知：
，
所以，，所以，
所以这群士兵的人数为万.
故选：D.
题型六 幂函数模型的应用
7．在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数f(x)的图象恰好通过n（）个整点，则称函数f(x)为n阶整点函数．有下列函数:
① ② ③ ④
其中是一阶整点的是
A．①②③④ B．①③④ C．④ D．①④
【答案】D
【解析】对于函数，它只通过一个整点（1，2），故它是一阶整点函数；
对于函数，当x∈Z时，一定有g（x）=x3∈Z，即函数g（x）=x3通过无数个整点，它不是一阶整点函数；
对于函数，当x=0，-1，-2，时，h（x）都是整数，故函数h（x）通过无数个整点，它不是一阶整点函数；
对于函数，它只通过一个整点（1，0），故它是一阶整点函数．
故选D．
03题组训练
1．下面是一幅统计图，根据此图得到的以下说法中，正确的个数是（ ）
①这几年生活水平逐年得到提高；
②生活费收入指数增长最快的一年是2014年；
③生活价格指数上涨速度最快的一年是2015年；
④虽然2016年生活费收入增长缓慢，但生活价格指数也略有降低，因而生活水平有较大的改善．
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】C
【解析】由图知，“生活费收入指数”减去“生活价格指数”的差是逐年增大的，故①正确；
“生活费收入指数”在2014～2015年最陡；故②正确；
“生活价格指数”在2015～2016年最平缓，故③不正确；
“生活价格指数”略呈下降，而“生活费收入指数”呈上升趋势，故④正确．
故选：C.
2．当x越来越大时，下列函数中增长速度最快的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为指数函数是几何级数增长，当x越来越大时，增长速度最快.
故选：B．
3．某地区植被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷 0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加值y(万公顷)关于年数x(年)的函数关系较为近似的是（ ）
A．y=0.2x B．
C．y=x2+2x D．
【答案】B
【解析】由题意得图像上三点：，
对于A选项：y=0.2x，将三点代入y=0.2x，
当时，函数值与0.76相差较大；
对于B选项：，将三点代入，
当时，函数值与0.76相差仅有0.04；
对于C选项：y=x2+2x，将三点代入y=x2+2x，
当时，函数值都与实际数值相差较大；
对于D选项：，将三点代入，
当时，函数值都与0.76相差较大；
综上：沙漠增加值y(万公顷)关于年数x(年)的函数关系较为近似的是.
故选：B.
4．下列四个图象中，与所给三个事件吻合最好的顺序为（ ）
①我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学；
②我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；
③我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速.
其中y表示离开家的距离，t表示所用时间.
A．④①② B．③①② C．②①④ D．③②①
【答案】A
【解析】对于事件①，中途返回家，离家距离为0，故图像④符合；
对于事件②，堵车中途耽搁了一些时间，中间有段时间离家距离不变，故图像①符合；
对于事件③，前面速度慢，后面赶时间加快速度，故图像②符合；
故选：A.
5．在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由计算机记录后显示的图象如图所示．
则下列说法正确的是（ ）
A．前5min温度增加的速度越来越快
B．前5min温度增加的速度越来越慢
C．5min以后温度保持匀速增加
D．5min以后温度保持不变
【答案】BD
【解析】因为温度y关于时间t的图象是先凸后平，即前5min每当t增加一个单位增量Δt，则y相应的增量Δy越来越小，而5min后是y关于t的增量保持为0，则BD正确．
故选：BD.
6．(多选)某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，先收取固定的制版费，再按印刷数量收取印刷费，乙厂直接按印刷数量收取印刷费，甲厂的总费用y1(千元) 乙厂的总费用y2(千元)与印制证书数量x(千个)的函数关系图分别如图中甲 乙所示，则（ ）
A．甲厂的制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5元
B．甲厂的总费用y1与证书数量x之间的函数关系式为
C．当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费平均每个为1.5元
D．当印制证书数量超过2千个时，乙厂的总费用y2与证书数量x之间的函数关系式为
【答案】ABCD
【解析】由题图知甲厂制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5元，故A正确；
设甲厂的费用与证书数量满足的函数关系式为，
代入点，可得，解得，
所以甲厂的费用与证书数量满足的函数关系式为，故B正确；
当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费平均每个为元，故C正确；
设当时，设与之间的函数关系式为
代入点，可得，解得，
所以当时，与之间的函数关系式为，故D正确.
故选：ABCD.
7．某电脑公司2016年的各项经营总收入中电脑配件的收入为40万元，占全年经营总收入的40%，该公司预计2018年经营总收入要达到169万元，且计划从2016年到2018年每年经营总收入的年增长率相同，则2017年预计经营总收入为________万元．
【答案】130
【解析】设增长率为x，由题可得：，计算可得，
因此2017年预计经营收入为．
故答案为：130．
8．某车间生产一种仪器的固定成本为10 000元，每生产一台该仪器需要增加投入100元，已知总收入满足函数：H(x)＝其中x是仪器的月产量.
（1）将利润表示为月产量的函数(用f(x)表示)；
（2）当月产量为何值时，车间所获利润最大？最大利润为多少元？(总收入＝总成本＋利润)
【答案】（1）；（2）每月生产150台仪器时，利润最大，最大利润为12 500元.
【解析】(1)设每月产量为台，则总成本为.又，
(2)当时，，所以当时，有最大值12 500；
当时，是减函数，.
所以当时，f(x)取最大值，最大值为12 500.
所以每月生产150台仪器时，利润最大，最大利润为12 500元.
9．某公司为了实现2019年销售利润1000万元的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：从销售利润达到10万元开始，按销售利润进行奖励，且奖金数额y(万元)随销售利润x(万元)的增加而增加，但奖金数额不超过5万元.现有三个奖励模型：y=0.025x，y=1.003x，y=lnx+1，其中是否有模型能完全符合公司的要求？请说明理由.(参考数据：1.003538≈5，e≈2.71828…，e8≈2981)
【答案】奖励模型能完全符合公司的要求，答案见解析.
【解析】解：由题意，符合公司要求的模型需同时满足：
当x∈[10，1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x·25%.
（1）对于y=0.025x，易知满足①，但当x>200时，y>5，不满足公司的要求；
（2）对于y=1.003x，易知满足①，但当x>538时，不满足公司的要求；
（3）对于，易知满足①.
当x∈[10，1000]时，y≤ln1000+1.
下面证明ln1000+1<5.
因为ln1000+1-5=ln1000-4= (ln1000-8)=(ln1000-ln2981)<0，满足②.
再证明lnx+1≤x·25%，即2lnx+4-x≤0.
设F(x)=2lnx+4-x，则F′(x)= -1=<0，x∈[10，1000]，
所以F(x)在[10，1000]上为减函数，
F(x)max=F(10)=2ln10+4-10=2ln10-6=2(ln10-3)<0，满足③.
综上，奖励模型能完全符合公司的要求.课时4.5.2 用二分法求方程的近似解
01考点梳理
1．二分法的定义
对于在区间[a，b]上图象 且 的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在的区间 ，使所得区间的两个端点逐步逼近 ，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
2．二分法求函数零点近似值的步骤
(1)确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)＜0.
(2)求区间(a，b)的中点c.
(3)计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：
①若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点；
②若f(a)f(c)＜0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c；
③若f(c)f(b)＜0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c.
(4)判断是否达到精确度ε：若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)．
02考点解读
题型一 用二分法求近似解的条件
1．下列函数中不能用二分法求零点的是（ ）
A． B．
C． D．
题型二 二分法求方程近似解的过程
2．以下是用二分法求方程x3＋3x－5＝0的一个近似解(精确度为0.1)的不完整的过程，请补充完整，并写出结论．
设函数f(x)＝x3＋3x－5，其图象在(－∞，＋∞)上是连续不断的一条曲线．
先求值，f(0)＝________，f(1)＝________，f(2)＝________，f(3)＝________.
所以f(x)在区间________内存在零点x0.填表：
区间 中点m f(m)的符号 区间长度
题型三 二分法求函数零点的过程
3．已知二次函数在区间[1，5]上的图象是一条连续的曲线，且，，由零点存在性定理可知函数在[1，5]内有零点，用二分法求解时，取（1，5）的中点a，则___________．
03题组训练
1．利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表：
x -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 …
y=2x 0.3299 0.3789 0.4353 0.5 0.5743 0.6598 0.7579 0.8706 1 …
y=x2 2.56 1.96 1.44 1 0.64 0.36 0.16 0.04 0 …
那么方程2x＝x2有一个根位于区间（ ）
A．(－1.6，－1.2)内
B．(－1.2，－0.8)内
C．(－0.8，－0.6)内
D．(－0.6，－0.2)内
2．一种药在病人血液中的量保持以上才有效，现给某病人注射了这种药，如果药在血液中以每小时的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过（ ）小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效.(附：，，答案采取四舍五入精确到)
A．2.3小时 B．3.5小时 C．5.6小时 D．8.8小时
3．在用二分法求函数f (x)的一个正实数零点时，经计算，f (0.64)＜0，f (0.72)＞0，f (0.68)＜0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为_____．
4．用二分法求方程在区间[2，3]内的实根，由计算器可算得，，，那么下一个有根区间为_________．
5．关于“二分法”求方程的近似解，下列说法正确的有________.
①“二分法”求方程的近似解一定可将在内的所有根得到
②“二分法”求方程的近似解有可能得到在内的重根
③“二分法”求方程的近似解有可能得到在内没有根
④“二分法”求方程的近似解可能得到在内的精确解
6．用二分法求函数y＝f(x)在区间[2，4]上的近似零点(精确度为0.01)，验证f(2)·f(4)<0，取区间[2，4]的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0所在的区间是________.
7．今年上半年“新冠肺炎”全球大爆发.在某个时间点，某城市从有人发病到发现人传人时，已有发病人数（千人），从此时起，每周新增发病人数（单位：千人）与时间（单位：周）之间近似地满足，且当时，（千人）.为阻止病毒蔓延，该城市第3周后果断采取了封城的隔离措施，再经过2周后隔离措施产生了效果，新增发病人数.
（1）求该城市第5，6，7周新增发病人数；
（2）该城市从发现人传人时，就不断加大科技投入，第周治愈人数（单位：千人）与时间（单位：周）存在关系，为了保障每一位“新冠肺炎”病人能及时入院治疗，该城市前9周（不考虑死亡人数的前提下）至少需准备多少张床位？（注：出院人数不少于新增发病人数时，总床位不再增加）课时4.5.2 用二分法求方程的近似解
01考点梳理
1．二分法的定义
对于在区间[a，b]上图象 且 的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在的区间 ，使所得区间的两个端点逐步逼近 ，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
2．二分法求函数零点近似值的步骤
(1)确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)＜0.
(2)求区间(a，b)的中点c.
(3)计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：
①若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点；
②若f(a)f(c)＜0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c；
③若f(c)f(b)＜0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c.
(4)判断是否达到精确度ε：若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)．
答案：连续不断 f(a)·f(b)<0 一分为二 零点
02考点解读
题型一 用二分法求近似解的条件
1．下列函数中不能用二分法求零点的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】选项恒成立，不存在区间使，
所以不能用二分法求零点.
故选：C
题型二 二分法求方程近似解的过程
2．以下是用二分法求方程x3＋3x－5＝0的一个近似解(精确度为0.1)的不完整的过程，请补充完整，并写出结论．
设函数f(x)＝x3＋3x－5，其图象在(－∞，＋∞)上是连续不断的一条曲线．
先求值，f(0)＝________，f(1)＝________，f(2)＝________，f(3)＝________.
所以f(x)在区间________内存在零点x0.填表：
区间 中点m f(m)的符号 区间长度
【答案】答案见解析.
【解析】因为方程为x3＋3x－5＝0，
令f(x)=x3＋3x－5，
所以f(0)＝－5，f(1)＝－1，f(2)＝9，f(3)＝31，
f(x)在区间(1，2)内存在零点x0，填表为
区间 中点m f(m)的符号 区间长度
(1，2) 1.5 ＋ 1
(1，1.5) 1.25 ＋ 0.5
(1，1.25) 1.125 － 0.25
(1，125，1.25) 1.187 5 ＋ 0.125
(1.125，1.187 5) 1.156 25 ＋ 0.062 5
因为|1.187 5－1.125|＝0.062 5<0.1，
所以原方程的近似解可取为1.187 5.
故答案为：-5，-1，9，31，，表见解析；
题型三 二分法求函数零点的过程
3．已知二次函数在区间[1，5]上的图象是一条连续的曲线，且，，由零点存在性定理可知函数在[1，5]内有零点，用二分法求解时，取（1，5）的中点a，则___________．
【答案】0
【解析】由于（1，5）的中点为3，
则=0．
故答案为：0.
03题组训练
1．利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表：
x -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 …
y=2x 0.3299 0.3789 0.4353 0.5 0.5743 0.6598 0.7579 0.8706 1 …
y=x2 2.56 1.96 1.44 1 0.64 0.36 0.16 0.04 0 …
那么方程2x＝x2有一个根位于区间（ ）
A．(－1.6，－1.2)内
B．(－1.2，－0.8)内
C．(－0.8，－0.6)内
D．(－0.6，－0.2)内
【答案】C
【解析】设f(x)＝2x－x2，则f(－1.2)＝0.4353－1.44<0，
f(－0.8)＝0.5743－0.64<0，
f(－0.6)＝0.6598－0.36>0，
∴函数f(x)在区间(－0.8，－0.6)内必有一个零点．
所以方程2x＝x2有一个根位于区间(－0.8，－0.6)，
故选：C．
2．一种药在病人血液中的量保持以上才有效，现给某病人注射了这种药，如果药在血液中以每小时的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过（ ）小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效.(附：，，答案采取四舍五入精确到)
A．2.3小时 B．3.5小时 C．5.6小时 D．8.8小时
【答案】A
【解析】设从现在起经过小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效.
则，
即，
所以，，
.
故选：A
3．在用二分法求函数f (x)的一个正实数零点时，经计算，f (0.64)＜0，f (0.72)＞0，f (0.68)＜0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为_____．
【答案】0.7
【解析】已知f (0.64)＜0，f (0.72)＞0，则函数f (x)的零点的初始区间为[0.64，0.72]，
又，且f (0.68)＜0，所以零点在区间[0.68，0.72]，且该区间的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是0.7.
因此，0.7就是所求函数的一个正实数零点的近似值．
故答案为：0.7.
4．用二分法求方程在区间[2，3]内的实根，由计算器可算得，，，那么下一个有根区间为_________．
【答案】
【解析】，，，
所以下一个有根区间为.
故答案为：
5．关于“二分法”求方程的近似解，下列说法正确的有________.
①“二分法”求方程的近似解一定可将在内的所有根得到
②“二分法”求方程的近似解有可能得到在内的重根
③“二分法”求方程的近似解有可能得到在内没有根
④“二分法”求方程的近似解可能得到在内的精确解
【答案】④
【解析】解：利用二分法求方程在内的根，
即在区间内肯定有根存在，
而对于重根无法求解出来，
且所得的近似解可能是内的精确解.
故答案为：④.
6．用二分法求函数y＝f(x)在区间[2，4]上的近似零点(精确度为0.01)，验证f(2)·f(4)<0，取区间[2，4]的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0所在的区间是________.
【答案】(2，3)
【解析】解：由题意可知：对于函数在区间，上，
有，
利用函数的零点存在性定理，所以函数在上有零点．
取区间的中点，计算得，
利用函数的零点存在性定理，函数在上有零点．
故答案为：．
7．今年上半年“新冠肺炎”全球大爆发.在某个时间点，某城市从有人发病到发现人传人时，已有发病人数（千人），从此时起，每周新增发病人数（单位：千人）与时间（单位：周）之间近似地满足，且当时，（千人）.为阻止病毒蔓延，该城市第3周后果断采取了封城的隔离措施，再经过2周后隔离措施产生了效果，新增发病人数.
（1）求该城市第5，6，7周新增发病人数；
（2）该城市从发现人传人时，就不断加大科技投入，第周治愈人数（单位：千人）与时间（单位：周）存在关系，为了保障每一位“新冠肺炎”病人能及时入院治疗，该城市前9周（不考虑死亡人数的前提下）至少需准备多少张床位？（注：出院人数不少于新增发病人数时，总床位不再增加）
【答案】（1）16千人，8千人，4千人；（2）23.55千张床位.
【解析】（1），
当时，；
当时，.
∴，，.
故第5，6，7周新增发病人数分别为16千人，8千人，4千人.
（2）.
记，则
当时，，
当时，，
所以，，，.
至少需准备的床位数为
.
故该城市前9周至少需准备23.55千张床位.课时4.5.3 函数模型的应用
01考点梳理
1．常用函数模型
常用函数模型 (1)一次函数模型 y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)
(2)二次函数模型 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
(3)指数函数模型 y＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
常用函数模型 (4)对数函数模型 y＝mlogax＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1)
(5)幂函数模型 y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
(6)分段函数模型 y＝
2.建立函数模型解决问题的基本过程
02考点解读
题型一 二次函数模型解决实际问题
1．若矩形的一边长为，周长为，则当矩形面积最大时，（ ）
A． B． C． D．
题型一 二次函数模型解决实际问题
2．某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元.为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为万元，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高.
（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？
（2）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润条件下，若要求调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？
题型二 分段函数模型的应用
3．新冠肺炎疫情防控中，核酸检测是新冠肺炎确诊的有效快捷手段．某医院在成为新冠肺炎核酸检测定点医院并开展检测工作的第天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时（单位：小时）大致服从的关系为（、为常数）.已知第天检测过程平均耗时为小时，第天和第天检测过程平均耗时均为小时，那么可得到第天检测过程平均耗时大致为（ ）
A．小时 B．小时 C．小时 D．小时
题型三 分式函数模型的应用
4．某公司一年购买某种货物900吨，现分次购买，若每次购买x吨，运费为9万元/次，一年的总储存费用为4x万元，要使一年的总运费与总储存费用之和最小，则下列说法正确的是（ ）
A．时费用之和有最小值 B．时费用之和有最小值
C．最小值为万元 D．最小值为万元
题型四 指数函数模型的应用（2）
5．某新能源汽车公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2018年（记为第1年）全年投入研发资金5300万元，在此基础上，以后每年投入的研发资金比上一年增长，则该公司全年投入的研发资金开始超过7000万元的年份是________年．（参考数据：，，）
题型五 对数函数模型的应用（2）
6．所谓声强，是指声音在传播途径上每1平方米面积上的声能流密度，用I表示，人类能听到的声强范围很广，其中能听见的1000Hz声音的声强（约10﹣12W/m2）为标准声强，记作I0，声强I与标准声强I0之比的常用对数称作声强的声强级，记作L，即L=lg，声强级L的单位名称为贝（尔），符号为B，取贝（尔）的十分之一作为响度的常用单位，称为分贝（尔）.简称分贝（dB）.《三国演义》中有张飞喝断当阳桥的故事，设张飞大喝一声的响度为140dB.一个士兵大喝一声的响度为90dB，如果一群士兵同时大喝一声相当一张飞大喝一声的响度，那么这群土兵的人数为（ ）
A．1万 B．2万 C．5万 D．10万
题型六 幂函数模型的应用
7．在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数f(x)的图象恰好通过n（）个整点，则称函数f(x)为n阶整点函数．有下列函数:
① ② ③ ④
其中是一阶整点的是
A．①②③④ B．①③④ C．④ D．①④
03题组训练
1．下面是一幅统计图，根据此图得到的以下说法中，正确的个数是（ ）
①这几年生活水平逐年得到提高；
②生活费收入指数增长最快的一年是2014年；
③生活价格指数上涨速度最快的一年是2015年；
④虽然2016年生活费收入增长缓慢，但生活价格指数也略有降低，因而生活水平有较大的改善．
A．1 B．2
C．3 D．4
2．当x越来越大时，下列函数中增长速度最快的是（ ）
A． B． C． D．
3．某地区植被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷 0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加值y(万公顷)关于年数x(年)的函数关系较为近似的是（ ）
A．y=0.2x B．
C．y=x2+2x D．
4．下列四个图象中，与所给三个事件吻合最好的顺序为（ ）
①我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学；
②我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；
③我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速.
其中y表示离开家的距离，t表示所用时间.
A．④①② B．③①② C．②①④ D．③②①
5．在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由计算机记录后显示的图象如图所示．
则下列说法正确的是（ ）
A．前5min温度增加的速度越来越快
B．前5min温度增加的速度越来越慢
C．5min以后温度保持匀速增加
D．5min以后温度保持不变
6．(多选)某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，先收取固定的制版费，再按印刷数量收取印刷费，乙厂直接按印刷数量收取印刷费，甲厂的总费用y1(千元) 乙厂的总费用y2(千元)与印制证书数量x(千个)的函数关系图分别如图中甲 乙所示，则（ ）
A．甲厂的制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5元
B．甲厂的总费用y1与证书数量x之间的函数关系式为
C．当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费平均每个为1.5元
D．当印制证书数量超过2千个时，乙厂的总费用y2与证书数量x之间的函数关系式为
7．某电脑公司2016年的各项经营总收入中电脑配件的收入为40万元，占全年经营总收入的40%，该公司预计2018年经营总收入要达到169万元，且计划从2016年到2018年每年经营总收入的年增长率相同，则2017年预计经营总收入为________万元．
8．某车间生产一种仪器的固定成本为10 000元，每生产一台该仪器需要增加投入100元，已知总收入满足函数：H(x)＝其中x是仪器的月产量.
（1）将利润表示为月产量的函数(用f(x)表示)；
（2）当月产量为何值时，车间所获利润最大？最大利润为多少元？(总收入＝总成本＋利润)
9．某公司为了实现2019年销售利润1000万元的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：从销售利润达到10万元开始，按销售利润进行奖励，且奖金数额y(万元)随销售利润x(万元)的增加而增加，但奖金数额不超过5万元.现有三个奖励模型：y=0.025x，y=1.003x，y=lnx+1，其中是否有模型能完全符合公司的要求？请说明理由.(参考数据：1.003538≈5，e≈2.71828…，e8≈2981)课时4.5.1 函数的零点与方程的解
01考点梳理
知识点一 函数的零点
1．对于函数y＝f(x)，把使__________________的实数________叫做函数y＝f(x)的零点．
2．函数的零点与方程的根的联系：方程f(x)＝0有实数解 函数y＝f(x)有__________ 函数y＝f(x)的图象与__________有公共交点．
知识点二 函数零点存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有______________，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得___________. 这个c也就是方程f(x)＝0的解．
02考点解读
题型一 求函数的零点
1．关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，，
B．若，则
C．当时，则
D．的零点是和
题型二 函数零点存在定理的应用
2．(多选题)已知函数，则下列对于的性质表述正确的是（ ）
A．为偶函数
B．
C．在上的最大值为
D．在区间上至少有一个零点
题型三 根据零点的分布求参数范围
3．若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是___.
题型四 函数与方程的综合应用
4．若直线l：y＝kx﹣2与函数的图象恰好有2个不同的公共点，则k的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，0） B．
C．（﹣∞，0）∪（2，+∞） D．
03题组训练
1．若函数经过点，则函数的零点是（ ）
A．0，2 B．0， C．0， D．2，
2．方程只有一个实数解，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
3．函数在下列区间内一定有零点的是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知函数，若函数恰有两个零点，则实数m不可能是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
5．已知函数，若x1A．x1＋x2＝－1 B．x3x4＝1
C．16．若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围为_______．
7．若函数只有一个零点，求实数的取值范围
8．已知，.若存在个零点，求实数的取值范围.课时4.5.1 函数的零点与方程的解
01考点梳理
知识点一 函数的零点
1．对于函数y＝f(x)，把使__________________的实数________叫做函数y＝f(x)的零点．
2．函数的零点与方程的根的联系：方程f(x)＝0有实数解 函数y＝f(x)有__________ 函数y＝f(x)的图象与__________有公共交点．
知识点二 函数零点存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有______________，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得___________. 这个c也就是方程f(x)＝0的解．
答案：f(x)＝0 x 零点 x轴 f(a)·f(b)＜0 f(c)＝0
02考点解读
题型一 求函数的零点
1．关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，，
B．若，则
C．当时，则
D．的零点是和
【答案】ABD
【解析】A选项，当时，原不等式可化为，解得，所以，；A正确；
B选项，设，所以；
因为不等式的解集为，，即不等式有解，所以必有，B正确；
C选项，令，当时，可由函数向上平移个单位得到；又的零点为和；函数的零点为和；所以；C错；
D选项，由C选项可知，，
所以，令可得或，即的零点是和.故D正确.
故选：ABD.
题型二 函数零点存在定理的应用
2．(多选题)已知函数，则下列对于的性质表述正确的是（ ）
A．为偶函数
B．
C．在上的最大值为
D．在区间上至少有一个零点
【答案】ABCD
【解析】解：因为，所以其定义域为，
A选项，，所以函数为偶函数，故A正确；
B选项，，故B正确；
C选项，因为，当，单调递增，所以单调递减，因此，故C正确；
D选项，因为，所以，，
即，由零点存在性定理可得：在区间上存在零点，故D正确；
故选：ABCD
题型三 根据零点的分布求参数范围
3．若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是___.
【答案】，.
【解析】当时，由，得.
函数有两个不同的零点，
当时，函数还有一个零点，
令得，
，，
实数的取值范围是.
故答案为：，.
题型四 函数与方程的综合应用
4．若直线l：y＝kx﹣2与函数的图象恰好有2个不同的公共点，则k的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，0） B．
C．（﹣∞，0）∪（2，+∞） D．
【答案】D
【解析】画出函数的图象，
由图可知，
当k＜0时，直线l与函数在区间（﹣∞，1）内有两个交点，与区间[1，+∞）的部分没有交点，因而满足条件，
当k＝0时，直线l与函数只有一个交点，不满足条件，
当k＞0时，直线l与函数在区间（﹣∞，1）内只有一个交点，
当直线l与在区间[1，+∞）内的部分也有一个交点时满足条件，
这时由y＝kx﹣2与y＝x2﹣4x+3联立，
得，由得，
当k＞2时，直线l也与f（x）在区间[1，+∞）内的部分也有一个交点，
所以满足条件的k的取值范围为．
故选：D．
03题组训练
1．若函数经过点，则函数的零点是（ ）
A．0，2 B．0， C．0， D．2，
【答案】C
【解析】函数经过点，，∴，
∴，
令，则
所以函数的零点是0和．
故选：C.
2．方程只有一个实数解，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【解析】令，则方程只有一个正根，
当方程有唯一根时，则，此时根为符合题意；
当方程有一正一负根或一正根和0根时，有，则．
综上所述，或
故选：D
3．函数在下列区间内一定有零点的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为函数连续，
且，
所以在区间内一定有零点，
故选：C
4．已知函数，若函数恰有两个零点，则实数m不可能是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】D
【解析】解：因为，画出函数图象如下所示，
函数的有两个零点，即方程有两个实数根，即，即函数与函数有两个交点，由函数图象可得或，
故选：D
5．已知函数，若x1A．x1＋x2＝－1 B．x3x4＝1
C．1【答案】BCD
【解析】由函数解析式可得图象如下：
∴由图知：，，而当时，有，即或2，
∴，而知：，
∴，.
故选：BCD
6．若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围为_______．
【答案】或
【解析】因为函数有两个不同的零点，
所以方程有两个不同的实数根.
所以，
解得或.
故答案为：或.
7．若函数只有一个零点，求实数的取值范围
【答案】或
【解析】当时，若二次函数只有一个零点，
则方程的判别式为零，
所以；
解得，
当时，，
解得，满足题意，
综上或
8．已知，.若存在个零点，求实数的取值范围.
【答案】
【解析】存在个零点等价于与有两个不同的交点；
在平面直角坐标系中作出图象如下图所示：
平移直线，当过图中时，取得最大值，
又，，，解得：，
即实数的取值范围为.
